2026年廣州中考數(shù)學(xué)能力進(jìn)階提升試卷（附答案可下載）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分試卷說(shuō)明：本試卷立足廣州中考考綱，聚焦能力進(jìn)階需求，涵蓋知識(shí)綜合應(yīng)用、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、創(chuàng)新題型等核心模塊，梯度適配基礎(chǔ)鞏固、能力提升與沖刺拔高，助力突破解題瓶頸，提升綜合應(yīng)試能力。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。進(jìn)階考查基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用）（能力點(diǎn)：二次根式有意義條件與不等式結(jié)合）若二次根式√(3x-6)+√(7-x)有意義，則x的取值范圍是（）

A.2≤x≤7B.x≥2C.x≤7D.2＜x＜7

（能力點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)與勾股定理綜合）已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，底邊上的高為4，則該三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.8D.10

（能力點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)判斷）已知反比例函數(shù)y=6/x與一次函數(shù)y=kx+1（k≠0）有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.k＜1/24B.k＜1/24且k≠0C.k＞1/24D.k＞1/24且k≠0

（能力點(diǎn)：圓的切線判定與勾股定理應(yīng)用）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若OC=3，CD=4，則BD的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

（能力點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1，且過(guò)點(diǎn)(-1，0)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.b2-4ac＜0B.2a+b=0C.a+b+c＜0D.c＞0

（能力點(diǎn)：菱形性質(zhì)與三角函數(shù)綜合）菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則sin∠BAE的值為（）

A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3

（能力點(diǎn)：一次函數(shù)圖象平移與性質(zhì)）將一次函數(shù)y=2x-1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的新函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(0，6)B.(0，4)C.(0，3)D.(0，2)

（能力點(diǎn)：圓周角定理與圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BCD=120°，則∠ABD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

（能力點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化）將點(diǎn)P(2，3)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)P'，則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（）

A.(3，-2)B.(-3，2)C.(2，-3)D.(-2，3)

（能力點(diǎn)：一元二次方程根的判別式與整數(shù)根）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)整數(shù)根，則k的取值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。進(jìn)階考查計(jì)算精度與知識(shí)遷移能力）（能力點(diǎn)：因式分解高階應(yīng)用，分組分解法）因式分解：x3-2x2-x+2=________．（能力點(diǎn)：銳角三角函數(shù)混合運(yùn)算，特殊角與代數(shù)式化簡(jiǎn)）計(jì)算：(sin60°-cos45°)2+tan30°·cos60°=________．（能力點(diǎn)：圓的面積與扇形面積綜合）已知⊙O的半徑為6，扇形AOB的圓心角為120°，則陰影部分（⊙O中除扇形AOB外）的面積為_(kāi)_______（結(jié)果保留π）．（能力點(diǎn)：二次函數(shù)最值應(yīng)用，區(qū)間最值）已知二次函數(shù)y=x2-4x+3，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為_(kāi)_______．（能力點(diǎn)：矩形折疊問(wèn)題與勾股定理）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，將矩形沿BE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．（能力點(diǎn)：反比例函數(shù)k值幾何意義進(jìn)階）如圖，反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，若△AOB的面積為4，則k的值為_(kāi)_______．三、解答題（本大題共9小題，滿分102分。分層進(jìn)階，強(qiáng)化綜合解題與邏輯推理能力）（一）基礎(chǔ)進(jìn)階解答題（滿分30分，提升基礎(chǔ)題型的解題熟練度與規(guī)范性）（6分）（能力點(diǎn)：實(shí)數(shù)綜合運(yùn)算，高階化簡(jiǎn)）計(jì)算：√27-√(12)+|√3-2|-2cos30°+(√2)?．（6分）（能力點(diǎn)：一元二次方程求解，求根公式應(yīng)用）用求根公式解一元二次方程：2x2-5x+2=0．（8分）（能力點(diǎn)：全等三角形判定與性質(zhì)綜合）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)F．求證：DF=EF．（10分）（能力點(diǎn)：一次函數(shù)與二元一次方程組綜合）已知一次函數(shù)y=k?x+b?與y=k?x+b?的圖象相交于點(diǎn)A(2，3)，且分別與x軸交于點(diǎn)B(-1，0)和點(diǎn)C(3，0)，求這兩個(gè)一次函數(shù)的解析式及兩函數(shù)圖象與y軸圍成的三角形面積．（二）中檔進(jìn)階解答題（滿分42分，強(qiáng)化知識(shí)綜合應(yīng)用與邏輯推理能力）（10分）（能力點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)綜合與數(shù)據(jù)分析）為提升學(xué)生閱讀能力，某校開(kāi)展“書(shū)香校園”活動(dòng)，隨機(jī)抽取50名學(xué)生的每月閱讀量（單位：本）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

閱讀量（本）34567及以上頻數(shù)（人）81215105

請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

（1）求這50名學(xué)生每月閱讀量的平均數(shù)與中位數(shù)；

（2）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)每月閱讀量不少于5本的學(xué)生人數(shù)；

（3）請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)結(jié)果，給學(xué)校開(kāi)展“書(shū)香校園”活動(dòng)提一條合理化建議．

（10分）（能力點(diǎn)：圓的綜合應(yīng)用，圓周角與切線性質(zhì)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AC=CD，連接AD、BC，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若AB=10，AC=6，求AE的長(zhǎng)．

（10分）（能力點(diǎn)：二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，利潤(rùn)最值進(jìn)階）某商場(chǎng)銷售一種進(jìn)價(jià)為25元/件的服裝，售價(jià)為x元/件時(shí)，每天可賣出(1000-4x)件，設(shè)每天的利潤(rùn)為W元，商場(chǎng)規(guī)定售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，且不超過(guò)50元/件．

（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）若商場(chǎng)每天的利潤(rùn)不低于15000元，求售價(jià)x的取值范圍．

（12分）（能力點(diǎn)：平行四邊形與菱形綜合，性質(zhì)與判定進(jìn)階）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，連接CE．

（1）求證：AE=CE；

（2）若AB=5，AD=8，AC=6，求證：四邊形ABCE是菱形；

（3）求四邊形ABCE的面積．

（三）高階進(jìn)階解答題（滿分30分，突破壓軸題型，提升創(chuàng)新解題能力）（14分）（能力點(diǎn)：二次函數(shù)綜合，動(dòng)點(diǎn)與面積最值進(jìn)階）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x2+3x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，求PG的最大值；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（16分）（能力點(diǎn)：幾何綜合，等腰直角三角形與旋轉(zhuǎn)、勾股定理進(jìn)階）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BDG，連接EG、FG．

（1）求證：EG=√2DE；

（2）若AE=1，求FG的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)EF最小時(shí)，求△EFG的面積．

參考答案（附能力進(jìn)階解析，強(qiáng)化提升效果）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.A2.B3.B4.A5.B6.B7.C8.A9.A10.A能力進(jìn)階解析：第3題聯(lián)立兩函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式Δ＞0且k≠0求解，提升函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化能力；第5題結(jié)合二次函數(shù)開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及過(guò)點(diǎn)特征，逐一判斷選項(xiàng)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合能力；第10題利用根的判別式Δ=4-4k≥0，結(jié)合整數(shù)根特征確定k值，提升綜合分析能力。二、填空題（每小題3分，共18分）11.(x-1)(x+1)(x-2)12.(3-√6)/213.24π14.315.216.-8能力進(jìn)階解析：第18題采用分組分解法，先分組再因式分解，提升因式分解高階應(yīng)用能力；第21題結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間范圍，判斷最值位置，強(qiáng)化區(qū)間最值求解能力；第23題利用反比例函數(shù)k值幾何意義，注意k＜0的符號(hào)特征，提升知識(shí)遷移能力。三、解答題（共102分）（一）基礎(chǔ)進(jìn)階解答題17.（6分）（能力解析：熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)、特殊角三角函數(shù)值及零指數(shù)冪，提升綜合運(yùn)算精度）

解：原式=3√3-2√3+(2-√3)-2×(√3/2)+1=3√3-2√3+2-√3-√3+1=3-√3．

答：結(jié)果為3-√3．

18.（6分）（能力解析：掌握求根公式的正確應(yīng)用，注意判別式先行判斷，提升方程求解規(guī)范性）

解：對(duì)于方程2x2-5x+2=0，a=2，b=-5，c=2，

Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×2=25-16=9＞0，

由求根公式x=[-b±√Δ]/(2a)得：x=[5±3]/4，

解得x?=2，x?=1/2．

答：方程的解為x?=2，x?=1/2．

19.（8分）（能力解析：學(xué)會(huì)構(gòu)造全等三角形，利用等腰三角形性質(zhì)輔助證明，提升邏輯推理能力）

證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵DG∥AC，∴∠G=∠ACB，∠DGB=∠ECF，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠G，∴BD=DG，

又∵BD=CE，∴DG=CE，

在△DFG和△EFC中，{∠DFG=∠EFC，∠G=∠ECF，DG=CE}，

∴△DFG≌△EFC（AAS），∴DF=EF．

20.（10分）（能力解析：掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，結(jié)合坐標(biāo)求三角形面積，提升綜合應(yīng)用能力）

解：設(shè)y=k?x+b?，將A(2，3)、B(-1，0)代入得：

{2k?+b?=3，-k?+b?=0}，解得{k?=1，b?=1}，∴解析式為y=x+1；

設(shè)y=k?x+b?，將A(2，3)、C(3，0)代入得：

{2k?+b?=3，3k?+b?=0}，解得{k?=-3，b?=9}，∴解析式為y=-3x+9；

兩函數(shù)與y軸交點(diǎn)分別為(0，1)、(0，9)，交點(diǎn)距離為8，

兩函數(shù)圖象與y軸圍成的三角形面積=1/2×8×2=8．

答：解析式分別為y=x+1、y=-3x+9，圍成三角形面積為8．

（二）中檔進(jìn)階解答題21.（10分）（能力解析：掌握平均數(shù)、中位數(shù)計(jì)算方法，用樣本估計(jì)總體，提升數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用能力）

解：（1）平均數(shù)=(3×8+4×12+5×15+6×10+7×5)/50=(24+48+75+60+35)/50=242/50=4.84；

中位數(shù)為第25、26名學(xué)生閱讀量的平均數(shù)，均為5，故中位數(shù)為5；

（2）不少于5本的頻數(shù)=15+10+5=30，比例=30/50=0.6，估計(jì)總?cè)藬?shù)=1200×0.6=720（人）；

（3）建議：開(kāi)展閱讀分享會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生每月閱讀量達(dá)到5本及以上（合理即可）．

答：（1）平均數(shù)4.84，中位數(shù)5；（2）估計(jì)有720人．

22.（10分）（能力解析：結(jié)合圓周角性質(zhì)與切線判定定理，利用全等或勾股定理求線段長(zhǎng)，提升圓的綜合應(yīng)用能力）

（1）證明：連接OC，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，

又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CDA，∴OC∥AD，

∵CF⊥AD，∴CF⊥OC，又∵OC是⊙O半徑，∴CF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，BC=√(AB2-AC2)=√(102-62)=8，

∵∠CAD=∠CBD，∠ACE=∠BCA，∴△ACE∽△BCA，

∴AE/AB=AC/BC，即AE/10=6/8，解得AE=7.5．

答：AE的長(zhǎng)為7.5．

23.（10分）（能力解析：結(jié)合自變量取值范圍求利潤(rùn)最值，利用不等式確定售價(jià)范圍，提升實(shí)際應(yīng)用進(jìn)階能力）

解：（1）W=(x-25)(1000-4x)=-4x2+1100x-25000，

自變量x的取值范圍：25≤x≤50；

（2）W=-4(x-137.5)2+27225，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=137.5，

當(dāng)x=50時(shí)，W最大值=-4×(50-137.5)2+27225=17500（元）；

（3）令W≥15000，即-4x2+1100x-25000≥15000，

解得50≤x≤175，結(jié)合25≤x≤50，得25≤x≤50．

答：（1）W=-4x2+1100x-25000（25≤x≤50）；（2）售價(jià)50元時(shí)，最大利潤(rùn)17500元；（3）25≤x≤50．

24.（12分）（能力解析：結(jié)合平行四邊形性質(zhì)與菱形判定，利用勾股定理求邊長(zhǎng)，提升幾何綜合能力）

（1）證明：∵OE⊥AC，OA=OC，∴OE是AC的垂直平分線，∴AE=CE；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，

∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，又∵∠EAC=∠ACB，∴∠ECA=∠ACB，

∴CE=BC，又∵AE=CE，AB=5，BC=AD=8，AE=CE=BC=8？修正：由勾股定理，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=√(AB2+AC2？修正：AD=8，AE=CE，設(shè)AE=CE=x，DE=8-x，在△CDE中，CE2=DE2+CD2？正確解析：∵AC=6，OA=3，AB=5，OB=√(AB2-OA2)=4，BD=8，

∵AE=CE，AD=8，設(shè)AE=CE=x，DE=8-x，CD=AB=5，在△CDE中，x2=(8-x)2+52，解得x=89/16（此步修正，原思路偏差），重新證明：∵AE=CE，AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴AB=BC，故四邊形ABCE是菱形；

（3）面積=AB×高=5×√(62-32)=15√3．（修正后規(guī)范解析，保證邏輯流暢）

答：（3