§2.3隨機變量的分布函數(shù)一概念二分布函數(shù)的性質(zhì)三小結(jié)思考題/sundae_meng一隨機變量的分布函數(shù)稱為

X的分布函數(shù)．0xxX

設(shè)X

是一個隨機變量，x是任意實數(shù),函數(shù)幾何定義：/sundae_meng(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機變量,x是參變量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請注意

:/sundae_meng

分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學的工具來研究隨機變量./sundae_meng二、分布函數(shù)的性質(zhì)(1)/sundae_meng

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.(3)F(x)

右連續(xù)，即

(2)/sundae_meng例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(1)(2)(3)/sundae_meng解(1)由題設(shè),在上單調(diào)不減,右連續(xù),并有所以是某一隨機變量的分布函數(shù).(2)因在上單調(diào)下降,不可能是分布函數(shù).(3)因為在上單調(diào)不減,右連續(xù),且有所以所以是某一隨機變量的分布函數(shù).完/sundae_meng二離散型隨機變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機變量的概率分布為則的分布函數(shù)為即，當時，時，當當時，當時，/sundae_meng當時，如圖，是一個階它在有跳躍，反之，若一個隨機變量和分布函則一定是一個離散型隨機變量，其概率分布亦由分布亦由唯一確定.完梯函數(shù)，跳躍度恰為隨機變量點處的概率在數(shù)，數(shù)為階梯函/sundae_meng當

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例1設(shè)隨機變量X的分布律為當

0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函數(shù)F(x)./sundae_meng當

1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1/sundae_meng故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下./sundae_meng的分布函數(shù)圖/sundae_meng【練習】0２xX３-1xXpk

-123解/sundae_mengXpk

-123２xX３-1x/sundae_meng２xX３-1xXpk

-123/sundae_meng同理當-10123x1/sundae_meng-10123x1/sundae_meng-10123x1

分布函數(shù)F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍,其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-123說明/sundae_meng練習具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).解將所取的個值按從小到大的順序排列為則時,時,時,時,時,/sundae_meng例4具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).解將所取的個值按從小到大的順序排列為故中恰有個不大于且完/sundae_meng例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點,記為落點的位置(數(shù)軸上的坐標),求隨機變量的分布函數(shù).解當時,是不可能事件,于是,當時,由于且由幾何概率得知,當時,由于于是/sundae_meng例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點,記為落點的位置(數(shù)軸上的坐標),求隨機變量的分布函數(shù).解