榮德基

第一

章三角形的證明及其應(yīng)用5角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定1.

已知AF

是等腰三角形ABC

底邊BC

上的高，若點(diǎn)F到直線AB

的距離為3,則點(diǎn)F到直線AC

的距離為(C)A.B.2C.3D.基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基UDoE

陽2.

[2025江門月考]如圖，在△ABC中，∠B=90°,DE垂直平分AC,DB=DE,

則∠C的度數(shù)為(

C

)A.30°

B.45°

C.60°D.75°基礎(chǔ)提優(yōu)題(第2題)榮德基UDoE

陽【點(diǎn)撥】連接CD.

∵∠B=90°

I∴∠A+∠ACB=90°∵DE

垂直平分AC,∴DA=DC,

∴∠A=∠ACD.∵DB=DE,∠B=90°,DE⊥AC,∴CD是∠ACB的平分線，∴∠

ACD=∠BCD,∴∠A=∠ACD=∠BCD,基礎(chǔ)提優(yōu)題∴∠ACB=2∠ACD=60°.(第2題)榮UDoE德

3.如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC

上的高，在BA,BC

上分別截取線段

BE,BF,

使BE=BF;

分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于EF

的長(zhǎng)為半徑畫弧，在

∠ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,

交AD于點(diǎn)M,

過點(diǎn)M作MN⊥AB

于點(diǎn)N.若MN=2,AD=4MD,

則AM=6

(第3題)基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基UDoE

陽A基礎(chǔ)提優(yōu)題4.新考向

知識(shí)情境化小明將兩把完全

相同的直尺如圖放置在∠AOB上，兩

把直尺的接觸點(diǎn)為P,邊OA

與其中一

把直尺邊緣的交點(diǎn)為C,點(diǎn)C,P

在這

把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2cm,5cm,則OC

的長(zhǎng)度是3

cm(第4題)榮德基UDoE

陽基礎(chǔ)提優(yōu)題5.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°,

過

點(diǎn)C作CE⊥AD

于點(diǎn)E,連接AC.若∠BAD=60°,CE=√3,且AC恰好平分3

√3∠BAD,

則△ABC

的面積

為

2

(第5題)榮UDoE德

6.如圖，CB=CD,∠D+∠ABC=180°,

CE⊥AD(1)求證：AC平分∠DAB;基礎(chǔ)提優(yōu)題于點(diǎn)E.榮德基UDoE

陽DECAB【證明】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB,

交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵CE⊥AD,

∴∠DEC=∠CFB=90°.基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF.又∵

CD=CB,∴△CDE≌△CBF(AAS).∴CE=CF,∴AC

平分∠DAB.基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基UDoE

陽∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).∴AF=AE=10.由(1)可得△CDE≌△CBF,∴BF=DE=4.∴AB=AF—BF=6.基礎(chǔ)提優(yōu)題(

2

)

若AE=10,DE=4,求AB

的長(zhǎng).【解】在Rt△ACE和Rt△ACF中

，

D德綜合應(yīng)用題7.

[2025合肥蜀山區(qū)期末]如圖，分別以△ABC

的邊AB,AC

為直角邊，向外作等腰

直角三角形ABD,ACE,

連接BE,CD,BE,CD交于點(diǎn)F,連接AF.下列結(jié)論中不一定成立的是(

D

)A.BE=CD

B.∠EFC=90°C.FA平分∠BFC

D.∠DAF=∠DCA榮德基UDoE

陽【點(diǎn)撥】由題意得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,

∴易得∠BAE=∠DAC,

∴△BAE≌△DAC(SAS),

∴BE=CD,故A正確，不符合題意；如圖①.

∵△BAE≌△DAC,

∴∠1=∠2.

∵∠3=∠4,∴∠DFB=∠DAB=90°,∴∠EFC=90°,故B正確，不符

合題意；綜合應(yīng)用題

E基①∴S△BAE=S△DAC

·∵BE=CD,∴AM=AN.∴FA平分∠BFC,

故C正確，不符合題意；現(xiàn)有條件不足以證明∠DAF=∠DCA,故D符合題意，故選D.EDF

NAB

C②綜合應(yīng)用題如圖②,過點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,

作AN⊥DC于點(diǎn)

N.

∵△BAE≌△DAC,榮德基UDoE

陽火8.如圖，∠BAC=30°

,∠BAC的平分線上有一點(diǎn)P,PM//AB,PD⊥AB,PM=6,

則AD=

6+3

√3

.BPAM綜合應(yīng)用題(第8題)榮德基綜合應(yīng)用題【點(diǎn)撥】如圖，過P作PF⊥AC

于點(diǎn)F.

∵AP

平分∠BAC,PD⊥AB,∴PD=PF,∠BAP=∠CAP.

在Rt△ADP和Rt△AFP中

，∴Rt△ADP≌Rt△AFP(HL).∴AD=AF.∵PM//AB,∠BAC=30°,榮德基UDoE

陽綜合應(yīng)用題∴∠FMP=∠BAC=30°∵PM=6,∴PF=3.∴MF=√PM2-PF2=

√62-32=3

√3.∵PM//AB,

∴∠BAP=∠APM,∴∠CAP=∠APM.∴AM=PM=6.∴AD=AF=AM+MF=6+3√3.DMBPC榮德基A綜合應(yīng)用題

榮UDoE德

9.如

圖

，AB//CD,BP,CP分別平分∠ABC,∠DCB,AD過

點(diǎn)P,且與AB

垂直，若AD=8cm,BC=10

cm,則四邊形ABCD

的面積是40

cm2

.(第9題)【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳D⊥AB,AB//CD,

所以AD⊥CD.因?yàn)锽P

平分∠ABC,CP

平分∠DCB,

所以易得又因?yàn)锽P=BP,所以Rt△EBP≌Rt△ABP(HL),

所以S△EBP=S△ABP.同理可得Rt△ECP≌Rt△DCP,

所以S△ECP=S△DCP,所以四邊形ABCD的面積=2S·PE=40cm2

.綜合應(yīng)用題榮UDoE德

10.如

圖

，AE

是∠CAM

的平分線，點(diǎn)B

在射線AM上

，DE是線段BC

的垂直平分線，交AE

于點(diǎn)E,交BC

于點(diǎn)D,EF⊥AM于點(diǎn)F.

若∠ACB=26°,∠CBE=25°,

則∠AED=

39°

.CD

EA綜合應(yīng)用題榮德基【點(diǎn)撥】如圖，連接CE,過點(diǎn)E作ER⊥AC于點(diǎn)R,交CD于點(diǎn)Q,設(shè)AE交BC

于點(diǎn)0.因?yàn)镈E是線段BC的垂直平分線，A所以∠

EDB=90°,CE=BE,

所以∠ECB=∠CBE=25°,∠DEB=90°-25°=65°.ER⊥AC,ED⊥BC,

所以∠

QRC=∠QDE=90°,

所以∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD+∠QED=90°

.

因?yàn)镃R/

0Do

EBF因

為綜合應(yīng)用題榮德基UDoE

陽M∠CQR=∠EQD,所

以∠QED=∠ACB=26°.

因

為AE

平分

∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM,所以ER=EF.

在Rt△ERC和Rt△EFB中，所以Rt△ERC≌Rt△EFB,所以∠EBF=∠ACE=∠ACB+∠ECD=

26°+25°=51°

.綜合應(yīng)用題榮德基UDoE

陽因?yàn)椤螮FB=90°,

所以∠BEF=90°-∠EBF=90°-51°=39°,所以∠REF=∠RED+∠BED+∠BEF=26°+65°+39°=130°

.因?yàn)椤螦RE=∠AFE=90°,

所以綜合應(yīng)用題榮德基UDoE

陽A綜合應(yīng)用題∠CAM=360°-90°-90°-130°=50°.因?yàn)锳E平分∠CAM,所以∠DOE=∠CAE

十∠ACB=25°+26°=51°.

因?yàn)椤螮DB=90°,所以∠AED=90°-∠DOE=90°-51°=39°.,所以榮德基UDoE

陽①②

③(1)如圖①,點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線與∠ACN的平分線交于點(diǎn)D,求證：∠BAC=2∠D;綜合應(yīng)用題11.榮UDoE德

綜合應(yīng)用題【證明】∵∠ABC的平分

線與∠ACN

的平分線交于點(diǎn)

D,∴∠ABD=∠CBD∠DCN=∠D+∠CBD,∴∠BAC+∠ABC=2∠D+2∠CBD,

∴∠BAC=2∠D..∵∠ACN=∠BAC+∠ABC,

D德②①③(2)如圖②,點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC

的平分線與∠ACN

的平分線交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作

DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.連接AD,求證：AD平分

∠CAM;綜合應(yīng)用題①

②

③榮UDoE德

【證明】如圖①,過點(diǎn)D作DP⊥BM于點(diǎn)P,DQ⊥AC

于點(diǎn)Q,∵DE⊥BC,BD

平分∠ABC,CD

平分∠ACN,∴DP=DE,DQ=DE,∴DP=DQ,∴AD平分∠CAM綜合應(yīng)用題榮UDoE德

①的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,DQ⊥AC交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵2∠ACD+∠ACB=180°∠ACB+∠ACE=180°

,于點(diǎn)Q,DE⊥BC,綜合應(yīng)用題(3)如圖③,在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC,2∠ACD+∠ACB=180°,

若∠BDC=20°,【解】如圖②,過點(diǎn)D分別作DP⊥BA交BA求∠DAC的度數(shù).榮UDoE德

②∴∠ACE=2∠ACD,∴CD

平分∠

ACE.又∵BD

平分∠ABC,∴由(1)得∠BAC=2∠BDC=40°

.∴∠CAP=180°—∠BAC=140°.由(2)得

AD

平分∠

CAP,綜合應(yīng)用題榮UDoE德

②①

②

③(1)【初步探究】如圖①,當(dāng)點(diǎn)A,C,D

在同一條直線上時(shí)，連接BD,AE,延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)F,則AE

與BD的數(shù)量

關(guān)系是

AE=BD,

位置關(guān)系是

AE⊥BD

;創(chuàng)新拓展題12.

【問題情境】在△ABC和△DEC中

，AC=BC,

DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°.榮UDoE德

上時(shí)，連接AE,BD,BD仍然成立?請(qǐng)說明理由.B樂F五A

C

D①交AE于

點(diǎn)F,(1)B

B

E

c有

AG

D③不在同一條直線中的結(jié)論是否E(2)

【類比探究】如圖②,當(dāng)點(diǎn)A,C,D創(chuàng)新拓展題F

D②榮德基UDoE

陽A即∠

BCD=∠ACE.又因?yàn)锳C=BC,EC=DC,所以△

ACE≌△

BCD(SAS),所以∠1=∠2,AE=BD.因?yàn)椤?=∠4,所以∠BFA=∠BCA=90°,所

以AE⊥BD.【解】成立.理由：如圖①,因?yàn)椤螦CB=∠ECD,所以∠ACB+