德基第二十一章四邊形課時(shí)拔尖14菱形的判定階段拔尖專訓(xùn)

u德B基1.如圖，在-ABCD

中，AB=BC,∠BCA=50°,對(duì)角線

AC,BD

相交于點(diǎn)0,△ABE

為直角三角形，

F是斜邊AB的中點(diǎn)，∠ABE=30°,連接OF,EF,OE,則∠AOE

的度數(shù)為()A.30°B.30.5°C.25°D.20°【點(diǎn)撥】

∵在□ABCD中，AB=BC,

∴□ABCD是菱形，∴BD⊥AC..

∴∠AOB=90°∵∠ACB=50°,

∴∠BAC=∠BCA=50°.

∴∠ABO=90°-50°=40°

.易得∠A

EB=90°,又

∠AOB=90°,F

是AB的中點(diǎn)，∠BOF=∠OBF=40°.∴∠AFO=∠OBF+∠BOF=80.∴∠AOF=∠FAO=50°,階段拔尖專訓(xùn)榮德基MuB階段拔尖專訓(xùn)∵∠ABE=30°,

∴∠BEF=∠EBF=30°.∴∠AFE=∠ABE+∠BEF=60°.∴∠OFE=80°+60°=140°

.∴∠EOF=∠OEF=20°.∴∠AOE=∠AOF-∠EOF=50°-20°=30°.【答案】A榮德基MuB階段拔尖專訓(xùn)2.如圖，點(diǎn)A為等邊三角形BCD外一點(diǎn)，連接AB,AD,且AB=AD,過點(diǎn)A作AE//CD分

別

交BC,BD于點(diǎn)E,F,若3BD=4AE,EF=5,則線段AE的長(zhǎng)為

15

●DAXFB

E

C榮德基【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AG//BC交DC于點(diǎn)G.

∵AE//CD,∴四邊形AECG是平行四邊形.

∴∠AEC=∠AGC.∴∠AEB=∠AGD.∵AB=AD,∴∠ABD=LADB.∵△BCD

是等邊三角形，∴∠DBC=∠BDC=∠BCD=60°,BC=BD.∴∠ABE=∠ADG.∴△ABE≌△ADG.∴AE=AG.∴四邊形

AECG是菱形

.

∴AE=EC.階段拔尖專訓(xùn)

u德B基∵AE//CD,

∴∠AEB=∠BCD=60°.

∴∠AEB=∠FBE=60°.∴△BEF是等邊三角形

.

∴

BE=BF=EF=5.∵3BD=4AE,∴

設(shè)BD=4x,則

AE=EC=3x,BC=BD=4x,∴CE=BC-BE=4x-5.∴4x-5=3x,解得x=5,∴AE=3x=15.階段拔尖專訓(xùn)

u德B基3.如圖，在矩形ABCD

中，AB=6,BC=8,E,F

是對(duì)角線AC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A,C

同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，其中O≤t≤10.GADEFB

CH階段拔尖專訓(xùn)

榮德基階段拔尖專訓(xùn)(1)若G,H

分別是AD,BC

的中點(diǎn)，則四邊形EGFH怎樣的四邊形(E,F

相遇時(shí)除外)?答

：

平

行四邊形

一定是榮德基MuB階段拔尖專訓(xùn)【點(diǎn)撥】由題意得AE=CF=t.∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD//BC,AD=BC.∴∠GAE=∠HCF.∵G,H分別是AD,BC

中點(diǎn)，∴EG=FH,∠AEG=∠CFH.

∴∠FEG=∠EFH.∴EG//FH.∴AG=CH.

∴△AEG≌△CFH(SAS).∴四邊形EGFH

是平行四邊形.榮德基MuB·【解】連接GH,由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°,∴四邊形ABHG是矩形.

∴GH=AB=6.①如圖①,當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，EF=GH=6.

由題易得AC=10.∵AE=CF=t,∴EF=10-2t=6.∴t=2;階段拔尖專訓(xùn)

u德B基(2)在(1)的條件下，若四邊形EGFH為矩形，求的值.B①階段拔尖專訓(xùn)②如圖②,當(dāng)四邊形EGFH

是矩形時(shí)，∵EF=GH=6,AE=CF=t,∴EF=t+t-10=2t-10=6,∴t=8.綜上，若四邊形EGFH

為矩形，t=2或8.GEH②AFB榮德基C(3)在(1)的條件下，若G

向D

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，H

向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E,F

以相同的速度同時(shí)出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，

直接寫出的值.【解】

階段拔尖專訓(xùn)

榮德基MuB階段拔尖專訓(xùn)

u德B基【點(diǎn)撥】如圖③,M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，連接AH,

CG,GH,AC

與GH

相交于點(diǎn)0.

∵四邊形EGFH為菱形，∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF.∵AE=CF,∴OA=OC.

∴

四邊形AGCH為菱形.

∴

AG=CG,

設(shè)AG=CG=x,則DG=8-x.③即62