2026屆浙南名校聯(lián)盟高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線l的方向向量為，且l過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.2．已知直線與平行，則系數(shù)（）A. B.C. D.3．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問(wèn)題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.165．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.6．在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（）A. B.C. D.7．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.8．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.9．圓C：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.12．以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為__________14．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)的和為，則______15．已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.16．圓和圓的公切線的條數(shù)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）如圖，在四棱柱中，底面，，，且，（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值19．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點(diǎn)（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.2、B【解析】由直線的平行關(guān)系可得，解之可得【詳解】解：直線與直線平行，，解得故選：3、A【解析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求、的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設(shè)，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A4、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.5、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)?，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.6、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A7、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長(zhǎng)及的模長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因?yàn)椋?，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D8、A【解析】先由列舉法計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為故選：C10、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.11、A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.12、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，c=1，且過(guò)點(diǎn)，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將代入得，故A錯(cuò)誤，所以選B.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為故答案為:14、-3033【解析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-303315、【解析】由題知方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，且，時(shí)，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：16、3【解析】判斷出兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線。【詳解】由題知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）易得，再由勾股定理逆定理證明，即可得線面垂直；（2）根據(jù)（1）得，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系，利用等體積法求解即可.【詳解】解：（1）連接，∵，是中點(diǎn)，∴，，又，，∴，∴，∵，∴，∴，，平面，∴平面；（2）∵點(diǎn)在棱上，且，，為的中點(diǎn).∴，∴由余弦定理得，即，∴，由（1）平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為∴，即，解得：所以點(diǎn)到平面的距離為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即因?yàn)榈酌?，所以底面，所以因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平面?）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決二面角相關(guān)問(wèn)題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯(cuò).（3）利用數(shù)量積驗(yàn)證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對(duì)數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)?，分別是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋允堑冗吶切?，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直