/安徽省安慶市部分學校2025?2026學年上學期九年級第三次教學調(diào)研數(shù)學試題一、單選題1．的值等于（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．若，則反比例函數(shù)的圖象分布在（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限4．如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B．6 C． D．85．下列函數(shù)中，當時，隨的增大而減小的是（

）A． B． C． D．6．如圖，與有公共頂點，且，添加下列條件仍不能判斷與相似的是（

）A． B． C． D．7．為倡導全民健身，某小區(qū)在公共活動區(qū)域安裝了健身器材，其中蹺蹺板很受歡迎．如圖，點為蹺蹺板中點，支柱垂直于地面，垂足為點，已知m，蹺蹺板的一端落到地面時與地面的夾角，則支柱的高度是（

）A． B． C． D．8．如圖，已知等腰直角三角形的直角邊長與正方形的邊長均為，與在同一條直線上，開始時點與點重合，讓以的速度向左運動，當點與點重合時停止運動，則重疊部分的面積與時間之間的函數(shù)關系式為（

）A． B．C． D．9．如圖，點是正方形的邊的中點，連接并延長交對角線于點，交的延長線于點，過點作于點，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．是等腰直角三角形 B．C． D．若正方形的邊長為6，則10．如圖，在中，，點，分別為，上的點，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的值為（

）A． B． C．5 D．二、填空題11．若拋物線的開口向下，則a的取值范圍是．12．比較大?。海ㄌ睢啊被颉?”或“”）13．在Rt中，，，，平分交于點，于點，過點作的延長線于點，則線段的長為．14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點，在直線位于第一象限內(nèi)的部分上，點的坐標為．（1）的值為；（2）若邊軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，把矩形沿折疊，點的對應點為，當點落在軸上時，的值為．三、解答題15．計算：．16．已知，求的值．17．如圖是我國“九三”閱兵式上展示的某新型戰(zhàn)機機翼的平面設計圖，已知，，，，，，求這款戰(zhàn)機機翼的面積．（精確到1m2）（參考數(shù)據(jù)：，，）18．如圖，在由若干個邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點（格點是網(wǎng)格線的交點）．（1）將向右平移5個單位長度，得到，畫出；（2）以點為位似中心，在網(wǎng)格中畫出的位似圖形，使與的相似比為；（3）若的面積為，則的面積為___________（用含的式子表示）19．我們規(guī)定：在直角三角形中，一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個銳角的余切，記作．（1）如圖1，在中，，，求的值；（2）如圖2，在中，，，延長到點，使，利用該圖能否求得的值？若能，請寫出過程；若不能，請說明理由．20．如圖，在中，為上一點，且，．（1）求證：；（2）如圖，過點作，連接，若，且，，求的長．21．項目學習：在綜合與實踐活動中，某學習小組計劃測量便民廣場上照明路燈的高度，他們設計了如下方案，測量示意圖如圖：步驟1：把長為的標桿垂直立于地面點處，此時測得標桿在地面上的影子長；步驟2：將標桿沿著的方向移動到點處，此時測得標桿在地面上的影子長，（1）若測得標桿移動的距離，求路燈的高度；（2）把條件“將標桿沿著的方向移動到點處”改為“將標桿沿著的方向移動到點處”，其他條件不變，利用（1）的結(jié)果，請直接寫出的長（不用說理）．22．綜合與實踐【閱讀材料】如圖1，在銳角中，，，的對邊長分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實際問題．【問題提出】萬佛湖素有安徽千島湖之稱，景區(qū)內(nèi)環(huán)境優(yōu)美．某綜合與實踐小組要測量東西兩岸兩個旅游碼頭，之間的實際距離．由于中間有島嶼阻隔，無法利用測距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設計】工具：測角儀、測距儀、無人機（無法測角度和任何距離）．測量過程：步驟1：如圖2，無人機升到高空的點處（點，，在垂直于水平面的同一個平面上）；步驟2：利用測角儀多次測量并取平均值，在碼頭處測得無人機的仰角約為，在碼頭處測得無人機的仰角約為；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值，測得碼頭到無人機之間的距離約為1000m．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計算碼頭，之間的距離（精確到10m）；（參考數(shù)據(jù)：，）（2）請用你所學過的解直角三角形知識求碼頭，之間的距離．（結(jié)果保留根號）23．在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖，若該拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且其頂點為點，連接，，．①求證：；②若點是軸上一點，以點，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行解答即可．【詳解】解：，故C正確．故選C．2．【正確答案】A【分析】本題主要考查分式的化簡求值，將所求分式拆分為差的形式，代入已知比值計算．【詳解】解：∵，∴．故選A．3．【正確答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)，得到，進而得到反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限；故選D．4．【正確答案】D【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列式即可得解．【詳解】解：在中，，設，則，又，，，解得，則．故選D．5．【正確答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，，∴隨著的增大而增大，不符合題意；B、∵，二次項系數(shù)，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴當時，隨的增大而減小，∴當時，隨的增大而減小，符合題意；C、∵，，∴當時，隨的增大而增大，不符合題意；D、∵，二次項系數(shù)，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，∴當時，隨的增大而增大，不符合題意；故選B．6．【正確答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，先理解，得，再結(jié)合相似三角形的判定方法與選項的條件進行分析，即可作答．【詳解】解：∵，∴，即，當添加條件是時，則，故A選項不符合題意；當添加條件是時，則，故B選項不符合題意；當添加條件是時，則不能證明與相似，故C選項符合題意；當添加條件是時，則，故D選項不符合題意；故選C7．【正確答案】C【分析】本題考查了中點的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義，根據(jù)即可求解．【詳解】解：由題意可得，，點為蹺蹺板中點，∵，,即，．故選C．8．【正確答案】B【分析】本題考查了根據(jù)實際問題抽象二次函數(shù)解析式的知識，根據(jù)題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵，需注意的值的求法．根據(jù)是等腰直角三角形，則重疊部分也是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求解，即可作答．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，四邊形是正方形，∴，∴重疊部分也是等腰直角三角形，∴又∵，∴，∴，∴重疊部分的面積為．故選B．9．【正確答案】C【分析】根據(jù)正方形對角線平分一組對角得到，據(jù)此可判斷A；可證明得到，證明，得到，據(jù)此可判斷B；可證明，證明，可得，據(jù)此可判斷D；利用勾股定理求出的長，再由全等三角形的性質(zhì)求出的長，據(jù)此可判斷D．【詳解】解：A、∵四邊形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，故原說法正確，不符合題意；B、∵四邊形是正方形，∴，∴，∵點是正方形的邊的中點，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，故原說法正確，不符合題意；C、∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故原說法錯誤，符合題意；D、若正方形的邊長為6，則，∴，在中，由勾股定理得；∵，∴，故原說法正確，不符合題意；故選C．10．【正確答案】D【分析】過點作于點，證明四邊形是矩形，求出，再證明與是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后結(jié)合正切定義求解，即可解題．【詳解】解：如圖，過點作于點，，，，，四邊形是矩形，，，，，由折疊知，是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，故選D．11．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)圖象開口向下對應二次項系數(shù)小于是解決問題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由題意列不等式直接求解即可得到答案．【詳解】因為拋物線的開口向下，所以，即．12．【正確答案】【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的大小，利用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，比較和的大?。驹斀狻拷猓阂驗楫敃r，，所以．13．【正確答案】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求出的長，角平分線的性質(zhì)，得到，等積法求出，的長，證明，得到，求出的長，勾股定理求出的長即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵平分交于點，于點，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理，得.14．【正確答案】3；【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應用，反比例函數(shù)與幾何的綜合應用，矩形與折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵：（1）待定系數(shù)法求出的值即可；（2）延長交軸于點，延長交軸于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上的點的特征，得到，，，得到，折疊得到，進而推出，證明，求出，，進而得到，根據(jù)，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）點在直線上，.（2）由（1）得，∵矩形，∴，，，，∵軸，∴，軸，∵，∴點的橫坐標為1，點縱坐標為3，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，，，，把矩形沿折疊，點的對應點為，，，，如圖，延長交軸于點，延長交軸于點，軸，軸，軸，，，，，，，，，，，，由圖知，，，解得．15．【正確答案】【分析】本題主要考查了特殊角銳角三角函數(shù)值的混合運算，代入特殊角三角函數(shù)值進行計算即可，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關鍵．【詳解】解：．16．【正確答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)題意設，，，再代入中求解，即可解題．【詳解】解：，可設，，，．17．【正確答案】【分析】此題主要考查解直角三角形的應用，連接，過點作于點，過點作的延長線于點，在中，可得，在中，可得，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接，過點作于點，過點作的延長線于點，在中，，，，在中，，，，答：該款戰(zhàn)機機翼的面積約為．18．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【分析】本題考查了位似，平移作圖，位似圖形面積比與相似比的關系，解題的關鍵是熟練掌握位似圖形的畫法、位似圖形面積間的關系，平移圖形的畫法．（1）將的每一個頂點都向右平移5個單位，再連接各頂點即可；（2）根據(jù)畫位似圖形的一般步驟畫圖即可；（3）由相似比和面積比的關系求解即可．【詳解】（1）解：如圖，的每一個頂點都向右平移5個單位，再連接各頂點，就是所求作的三角形；（2）解：如圖所示，就是所求作的三角形；（3）解：因為與的相似比為，所以，即，因為向右平移5個單位長度，得到，且的面積為，所以，所以．19．【正確答案】（1）（2）能，過程見詳解【分析】本題考查解直角三角形，熟練掌握新定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意可設，則，由勾股定理得，再利用新定義求；（2）設，根據(jù)30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，結(jié)合題意可得，，根據(jù)余切的定義即可求解．【詳解】（1）在中，，，可設，則，由勾股定理得，由新定義知；（2）利用該圖能求得的值．，，，，在中，令，，，，，在中，，即．20．【正確答案】（1）見詳解（2）5【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)角的關系可得，即可證明；（2）設，由相似的性質(zhì)得到，進而證明，得到，再代入求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：設，由（1）得，，，，，，，，，，整理得，解得或（舍去），．21．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）判定和，從而利用相似三角形的性質(zhì)列出等量關系，進而解方程就可求出答案．（2）判定，從而利用相似三角形的性質(zhì)列出等量關系，進而解方程就可求出答案．本題考查了相似三角形的實際應用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)解方程是解題關鍵．【詳解】（1）解：由題可知，，，，，，，，，，，，，聯(lián)立兩式可知，，故路燈的高度為．（2）解：由題可得圖，由題可知，，，，由（1）可知，，，，，，，．故的長為．22．【正確答案】（1）1370m（2）m【分析】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意是解題的關鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)題意可得，代入數(shù)據(jù)求出的長，即可解答；（2）運用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學知識設計方案即可．【詳解】（1）由題意知，，，由材料得，，又m，（m），答：碼頭，之間的距離約為1370m；（2）如圖，過點作于點，則，在中，，（m），，（m），在中，，（m），m．答：碼頭，之間的距離為m．23．【正確答案】（1）（2）①見詳解；②點的坐標為或或或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想