/安徽省阜陽市太和縣2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為（

）A． B． C． D．2．不透明袋子中有1個黑球，2個紅球，3個白球和4個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從中隨機摸出一個球，放回并搖勻后重復(fù)操作，某一顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則此球的顏色最有可能是（）A．紅球 B．白球 C．黑球 D．黃球3．下列事件中是必然事件的是（

）A．射擊運動員射擊一次，命中靶心B．投擲一枚均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)為5次C．13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的D．平面內(nèi)，任意一個五邊形的外角和等于540°4．已知的直徑為2，在同一平面內(nèi)，若點與圓心的距離為，則點與的位置關(guān)是（

）A．點在外 B．點在上 C．點在內(nèi) D．無法確定5．如圖，為弦，若，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形為（

）A．正九邊形 B．正十邊形 C．正十二邊形 D．正十八邊形6．點P是上異于點A，B的一點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或7．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點，且，．則的長為（）A．2 B．4 C．3 D．59．如圖，正六邊形的邊長為3，分別以點A，D為圓心，以的長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積為（

）．A． B． C． D．10．已知拋物線，將拋物線P繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，當(dāng)時，在拋物線上任取一點M，設(shè)點M的縱坐標(biāo)為m，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知點與點關(guān)于原點對稱，則的值等于．12．如今我們生活在數(shù)字時代，很多場合都要用到二維碼．小鄭幫媽媽打印了一個收款二維碼，如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量的重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)，點落在白域的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則據(jù)此估計該二維碼中黑域的面積為．13．如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)兩次得到，每次旋轉(zhuǎn)的角度都是．若，則．14．如圖，為上兩點，，為上一動點（不與，重合），為的中點，的半徑為．（1）若，則的長為；（2）的最大值為．三、解答題15．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為、、．（1）畫出關(guān)于原點對稱的，并寫出點的坐標(biāo)；（2）畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的；并寫出的坐標(biāo)．16．如圖，中，，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑作圓與相切于點，連接．求證：．17．隨著國產(chǎn)AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界對人工智能的關(guān)注度持續(xù)飆升．為了讓更多愛好者深入了解人工智能技術(shù)，某知名科技論壇精心策劃了四場網(wǎng)絡(luò)直播，分別以“A．機器人技術(shù)”“B．計算機視覺”“C．自然語言處理”“D．專家系統(tǒng)”為主題進行直播．甲、乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備各自隨機選擇一場直播深入學(xué)習(xí)，隨后分享收獲，兩位同學(xué)選擇四個主題的可能性均相同，且相互不影響．（1）甲同學(xué)選擇“B．計算機視覺”的概率是________；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法求甲、乙兩位同學(xué)中至少有一人選擇“B．計算機視覺”的概率．18．草帽：是用水草、席草、麥秸、竹篾等物進行編織纏繞的中國特有的傳統(tǒng)草編工藝品，如圖，某興趣小組決定用一張扇形彩色卡紙裝飾母線長為、底面半徑為的錐形草帽．粘貼時，彩色卡紙恰好覆蓋草帽外表，而且卡紙連接處無縫隙、不重疊．（1）這頂錐形草帽的高為______，側(cè)面積為______．（結(jié)果保留）（2）計算所需扇形卡紙的圓心角的度數(shù)．19．已知方程（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若，是原方程的兩根，且，求m的值．20．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米，且．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米（即米）時，求此時跨度的長度，并判斷是否要采取緊急措施？21．某學(xué)校為了解八年級學(xué)生體育課的實效性，開學(xué)初對八年級學(xué)生進行了跳繩測試，測試結(jié)束后隨機抽取了部分學(xué)生成績進行統(tǒng)計，按成績分為如下5組，A組：，B組：，C組：，D組：，E組：（滿分10分），并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，解答下列問題：（1）本次調(diào)查一共隨機抽取了_______名學(xué)生的成績，頻數(shù)分布直方圖中_______所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在_______組（填字母）；（2）若成績在8分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有2000名八年級學(xué)生，估計該校成績優(yōu)秀的八年級學(xué)生有多少人？（3）學(xué)校將從獲得滿分的4名八年級學(xué)生（兩名男生、兩名女生）中隨機抽取兩名，參加周一國旗下的演講，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．22．已知拋物線（，為常數(shù)）過點．（1）若該拋物線與軸交于點．①求該拋物線的解析式；②已知，在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍；（2）若對于任意實數(shù)，都有，求此時，的取值．23．（1）如圖①，點、、均在上，，則銳角的大小為___________度；（2）【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊的外接圓，點在上（點不與點、重合），連接、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點，使，連接，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．你能否寫出完整的證明過程？（3）【應(yīng)用】如圖③，已知四邊形內(nèi)接于圓，，，連接、，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系：___________．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的根，先根據(jù)一元二次方程的根的定義可得，則，再代入計算即可得，熟練掌握一元二次方程的根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個根，∴，∴，∴，故．2．【正確答案】A【分析】本題考查利用頻數(shù)率分布折線圖，頻率估計概率，理解頻率、概率的意義和相互關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．用頻率估計概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值得到抽到該球的概率為，再分別計算出抽到四種顏色的球的概率即可得到答案．【詳解】解：觀察統(tǒng)計圖可知：該球的頻率穩(wěn)定在左右，即抽到該球的概率為，球的總個數(shù)為：，抽到黑球的概率為，抽到紅球的概率為，抽到白球的概率為，抽到黃球的概率為，該種球的顏色最有可能是紅球．故選A3．【正確答案】C【分析】本題考查了隨機事件“在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件”、必然事件“必然事件發(fā)生的可能性為1”、不可能事件“不可能事件的發(fā)生的可能性為0”，熟練掌握各定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)隨機事件、必然事件和不可能事件的定義逐項判斷即可得．【詳解】解：A、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，則此項不符合題意；B、投擲一枚均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)為5次是隨機事件，則此項不符合題意；C、根據(jù)鴿巢原理（抽屜原理），若13個人對應(yīng)12個月份，則至少有兩人的出生月份相同，此事件必然發(fā)生，是必然事件，則此項符合題意；D、因為任意一個五邊形的外角和等于，所以任意一個五邊形的外角和等于，是不可能事件，則此項不符合題意；故選C．4．【正確答案】B【分析】此題考查點與圓的關(guān)系，點在圓上，則；點在圓外，；點在圓內(nèi)，（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．【詳解】解：，的半徑為1，即，∴點P與的位置關(guān)系是點P在上，故選B．5．【正確答案】A【分析】本題考查了正多邊形和圓的知識，掌握構(gòu)造同弧所對的圓心角是解題的關(guān)鍵．構(gòu)造弧所對的圓心角后，即可求解．【詳解】解：連接，，，，是正九邊形的一條邊．故選A．6．【正確答案】D【分析】本題考查圓中求角度，涉及圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，注意點的位置不同時，圓周角可能取不同值是解決問題的關(guān)鍵．點在圓上不同位置時，可能為劣弧或優(yōu)弧所對的圓周角，根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形分別計算即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可能為劣弧或優(yōu)弧所對的圓周角，當(dāng)點在優(yōu)弧上時，如圖所示：，；當(dāng)點在劣弧上時，如圖所示：由點在優(yōu)弧上時，得，；綜上所述，的度數(shù)為或．故選D．7．【正確答案】A【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，首先判斷出二次函數(shù)開口向上，在對稱軸左側(cè)y隨x增大而減小，當(dāng)時y減小，故對稱軸直線需滿足．【詳解】解：∵二次函數(shù)中二次項系數(shù)為，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，∵當(dāng)時，y隨x增大而減小，∴．故選A．8．【正確答案】B【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心和切線長定理，設(shè)，根據(jù)切線長定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，，，，，，，，，，解得：，即，故選B．9．【正確答案】B【分析】本題考查了正多邊形和圓的有關(guān)計算，解題關(guān)鍵是熟練運用扇形面積公式和等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意和圖形可知陰影部分的面積是正六邊形的面積減去兩個扇形的面積，從而可以解答本題．【詳解】解：∵正六邊形的邊長為3，連接，把六邊形分成6個全等的等邊三角形，等邊三角形的邊長為3，過點O作，如圖所示：∴，∴，∴每個等邊三角形的面積為：，∴正六邊形的面積是：，，∴圖中陰影部分的面積是：，故選B．10．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、關(guān)于原點對稱，正確求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．先求出拋物線的解析式為，再根據(jù)拋物線的對稱軸的位置分三種情況討論：①；②；③，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：拋物線，∴拋物線P的頂點坐標(biāo)為，∵將拋物線P繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，開口方向與拋物線P相反，∴拋物線的解析式為，∴拋物線開口方向向下，對稱軸為直線，①若，當(dāng)時，則當(dāng)時，有最大值，由題意得，，解得：，∴；②若，則當(dāng)時，有最大值，由題意得，，解得：（舍去）；③若，則當(dāng)時，有最大值，由題意得，，解得：（舍去），∴綜上所述，a的取值范圍是．故選A．11．【正確答案】【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出a、b的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵點與點關(guān)于原點對稱，∴，∴.12．【正確答案】【分析】本題考查了用頻率估計概率的應(yīng)用，先求出點落在該二維碼中黑域的頻率穩(wěn)定在0.6，再用總面積乘以0.6即可求解．【詳解】解：∵經(jīng)過大量的重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)，點落在白域的頻率穩(wěn)定在0.4左右，∴據(jù)此估計點落在該二維碼中黑域的頻率穩(wěn)定在，∴該二維碼中黑域的面積為．13．【正確答案】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；根據(jù)題意得到，再結(jié)合計算即可．【詳解】解：∵每次旋轉(zhuǎn)的角度都是，∴，∴.14．【正確答案】；【分析】本題考查了垂徑定理推論，勾股定理，中位線定理，圓的有關(guān)性質(zhì)等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）分為當(dāng)在外部時，當(dāng)在內(nèi)部時，然后通過垂徑定理，勾股定理，直角三角形性質(zhì)即可求解；（）取中點，連接，由為的中點，則有是中位線，所以，故有點在以為圓心，為半徑的圓上運動，則當(dāng)三點共線時，的值最大，然后通過勾股定理即可求解．【詳解】解：（）當(dāng)在外部時，連接，如圖，∵為的中點，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；當(dāng)在內(nèi)部時，連接，如圖，同理可得.（）如圖，取中點，連接，∵為的中點，∴是中位線，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當(dāng)三點共線時，的值最大，如圖，∵為的中點，∴，由勾股定理得：，∴，即的最大值為.15．【正確答案】（1）見詳解；（2）見詳解；【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點的位置．（1）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，，然后順次連接即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，，然后順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，點的坐標(biāo)；（2）解：如圖，即為所求，點．16．【正確答案】見詳解【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，連接，根據(jù)題意可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證．【詳解】證明：如圖，連接，∵為切線，∴，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴．17．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了概率公式，畫樹狀圖或列表的方法求概率，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式進行列式計算，即可作答．（2）運用列表法，得共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)中至少有一人選擇“B．計算機視覺”的結(jié)果有7種，再列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵四場網(wǎng)絡(luò)直播，分別圍繞“A．機器人技術(shù)”“B．計算機視覺”“C．自然語言處理”“D．專家系統(tǒng)”為主題進行直播．∴甲同學(xué)選擇“B．計算機視覺”的概率是；（2）解：列表如下：

甲乙ABCDABCD如上表，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)中至少有一人選擇“B．計算機視覺”的結(jié)果有7種，（甲、乙兩位同學(xué)中至少有一人選擇“B．計算機視覺”）．18．【正確答案】（1），（2）【分析】本題考查勾股定理求圓錐的高、圓的周長公式、扇形面積公式等知識，熟記圓錐相關(guān)概念、勾股定理及扇形面積公式是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，如圖所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面積公式代值計算即可得到面積；（2）由（1）知側(cè)面積為，設(shè)所需扇形卡紙的圓心角的度數(shù)，列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：在中，，，，則由勾股定理可得；圓錐底面圓的周長為，圓錐側(cè)面積為.（2）解：由（1）知側(cè)面積為，設(shè)所需扇形卡紙的圓心角的度數(shù)，，解得，答：所需扇形卡紙的圓心角的度數(shù)為．19．【正確答案】（1）見詳解（2）1【分析】本題考查根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系等．（1）根據(jù)方程可知，，，再利用即可證明本題答案；（2）利用方程可知，，再將題干式子通分代入兩根之和與兩根之積，即可得到本題答案．【詳解】（1）解：證明：∵，，，∴，，，，∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵，是原方程的兩根，∴，，∵，∴，∴，解得，，檢驗，是分式方程的解，∴m的值為1．20．【正確答案】（1）（2）32米，不需要采取緊急措施．【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由垂徑定理和圓的性質(zhì)可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；（2）由垂徑定理和圓的性質(zhì)可得，米，利用勾股定理求出的長，進而求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)點O為該圓弧所在的圓的圓心，連接，∵米，米，且，∴米，米，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴圓弧所在的圓的半徑r的長為；（2）解：如圖所示，連接，由題意得，，∴，∵米，∴米，∴米，∴米，∵，∴不需要采取緊急措施．21．【正確答案】（1），，D（2）（3）見詳解，【分析】本題考查統(tǒng)計圖，求樣本容量、中位數(shù)、概率，用樣本估計總體，找到頻數(shù)直方圖和扇形圖之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻數(shù)直方圖和扇形圖中的C組信息和找中位數(shù)的方法，即可求解；（2）先求出樣本中成績在8分及以上為優(yōu)秀所占比，用樣本估計總體即可求解；（3）先畫樹狀圖，再利用概率的公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)統(tǒng)計圖可得，總?cè)藬?shù)為（名），B組人數(shù)為（名），所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是第和的平均數(shù)，A，B，C組共有名，D組有名，所抽取學(xué)生成績的中位數(shù)落在D組.（2）成績在8分及以上為優(yōu)秀，成績優(yōu)秀所占百分比為，（人），則該校成績