/安徽省淮北市部分學(xué)校2025～2026學(xué)年上學(xué)期12月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列四個(gè)品牌圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．

B．

C．

D．

2．下列函數(shù)中，是關(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．兩地的實(shí)際距離為500千米，而地圖上距離是5厘米，這幅圖的比例尺是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．在中，已知，，那么的值為（

）A． B． C． D．6．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為為位似中心將縮小，縮小后的與的對(duì)應(yīng)邊的比為，則三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

）A． B．C． D．7．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似B．切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑C．將一次函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位得到的圖象D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形8．如圖，在正方形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，使得，連接和，令，則為（

）A． B． C． D．9．關(guān)于二次函數(shù)，下列命題中正確的是（

）①若，則；②若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③若，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)有2個(gè)或3個(gè)．A．①③ B．①③④ C．①④ D．②10．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，以為圓心，2為半徑作，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，并將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)度的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知，則銳角的取值范圍是．12．如圖，都是的切線，，則．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與射線交于點(diǎn)若，則的值為．

14．如圖，在中，，，直線，是上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），射線交于點(diǎn)．在射線上取一點(diǎn)，使得，作，交射線于點(diǎn)．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，；在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．三、解答題15．計(jì)算：．16．若，且，求，的值．17．如圖，在由邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）以點(diǎn)為位似中心，在正方形網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出的位似圖形（其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為），且與的相似比為；（2）在（）的條件下，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，請(qǐng)畫(huà)出線段．18．如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿邊向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，到達(dá)終點(diǎn)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）①當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為．②設(shè)，之間的距離為，則與滿足（選填“正比例函數(shù)關(guān)系”，“一次函數(shù)關(guān)系”，“二次函數(shù)關(guān)系”．（2）設(shè)的面積為，①求的表達(dá)式（用含有的代數(shù)式表示）；②求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，這個(gè)最大值是多少？19．如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)C，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)E，．（1）求證：；（2）若半圓O的半徑為8，且，求的長(zhǎng)．20．請(qǐng)根據(jù)素材，完成任務(wù)．素材一如圖，在中，，垂足為點(diǎn)D，若保證始終為直角，則點(diǎn)A、B、C在以為直徑的圓上．

素材二如圖，在C中，，，垂足為點(diǎn)D，取的中點(diǎn)O，連接，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知，可得．

素材三如圖，矩形是某實(shí)驗(yàn)室側(cè)截面示意圖，現(xiàn)需要在室內(nèi)安裝一塊長(zhǎng)1米的遮光板，且，點(diǎn)E到墻的距離為4米，到地面的距離為5米．點(diǎn)O為室內(nèi)光源，、為光線，，通過(guò)調(diào)節(jié)光源的位置，可以改變背光工作區(qū)的大?。舯彻夤ぷ鲄^(qū)的和最大時(shí)，該實(shí)驗(yàn)室“可利用比”最高．

任務(wù)一若素材一中的，求的最大值．任務(wù)二若素材二中的，求的最小值．任務(wù)三若任務(wù)二中的改成，其余條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．

任務(wù)四若任務(wù)二中的，改成，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．任務(wù)五當(dāng)素材三中的實(shí)驗(yàn)室“可利用比”最高，求此時(shí)的值21．如圖，在等腰中，，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度與線段的長(zhǎng)度之和為，線段長(zhǎng)度與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之比為．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量的取值范圍；（2）請(qǐng)?jiān)诮o定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，并分別寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的取值范圍．（近似值保留小數(shù)點(diǎn)后一位，誤差不超過(guò)0.2）．22．在正方形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在線段上，．

（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)．23．如圖，直角坐標(biāo)系中，圓與軸交于、兩點(diǎn)，與y正半軸切于C點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且與圓還有一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性可知．（1）拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線______，_______；（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)P，連接，求面積的最大值；（3）在點(diǎn)右邊的拋物線上有一點(diǎn)，連接，使，求點(diǎn)坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、C、D找不到一個(gè)點(diǎn)，使A、C、D繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與原來(lái)的圖形重合，故A、C、D不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B能找不到一個(gè)點(diǎn)，使B繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與原來(lái)的圖形重合，故B是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；故選B．2．【正確答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如的是二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義，逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、是是二次函數(shù)，符合題意；B、不是二次函數(shù)，不符合題意；C、是一次函數(shù)，不符合題意；D、不是二次函數(shù)，不符合題意；故選A．3．【正確答案】C【分析】本題考查了比例尺的計(jì)算，比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比，將題目中單位統(tǒng)一，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵實(shí)際距離，圖上距離，∴比例尺故選C．4．【正確答案】C【分析】本題考查了圓周角定理．直接由圓周角定理“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選C．5．【正確答案】A【分析】此題考查了解直角三角形，關(guān)鍵是熟練銳角三角函數(shù)的定義．畫(huà)出圖形，表示出，再根據(jù)的定義求解即可【詳解】解：如圖所示，，

則．故選A．6．【正確答案】A【分析】此題主要考查了位似變換，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握若位似比是k，則原圖形上的點(diǎn)，以原點(diǎn)為為位似中心經(jīng)過(guò)位似變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是或．根據(jù)相似比為可得：A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別乘以或即可算出它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，以原點(diǎn)為位似中心將縮小，縮小后的與的對(duì)應(yīng)邊的比為，∴三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，故選A7．【正確答案】D【分析】本題考查命題的真假判斷，涉及相似三角形的判定、切線的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象的平移和矩形的判定．【詳解】解：A.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，是相似三角形的判定定理，正確；B.切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，是圓切線的性質(zhì)，正確；C.將一次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，得，正確；D.對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，如等腰梯形對(duì)角線相等但非矩形，錯(cuò)誤；∴錯(cuò)誤的命題是D．故選D8．【正確答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是求解出點(diǎn)H為的中點(diǎn)，進(jìn)而得到為等腰三角形．作輔助線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接，先使用邊角邊的判定方法證明與全等，即可得，，再證明與全等，再證明為等腰三角形，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為即可求解度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接，如圖，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，使得，∴，在與中，，∴，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∵點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則，，∴，在中，，即，整理可得，，∴，∴點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴，即為等腰三角形，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，則為故選B．9．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．逐一判斷每個(gè)命題的正確性：命題①通過(guò)代入推導(dǎo)判別式非負(fù)；命題②舉反例說(shuō)明不一定成立；命題③計(jì)算判別式恒正；命題④說(shuō)明與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)錯(cuò)誤.【詳解】解：命題①：由，得，，成立；命題②：由，令，，解得，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不成立；命題③：，，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根成立；命題④：當(dāng)時(shí)，拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)，與軸有1個(gè)交點(diǎn)，公共點(diǎn)數(shù)為1，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)有2個(gè)或3個(gè)不成立正確命題為①③．故選:A．10．【正確答案】A【分析】通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線為以A為圓心，2為半徑的圓，當(dāng)在對(duì)角線延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，連接，先證明，則，再利用勾股定理求對(duì)角線的長(zhǎng)，即可得出長(zhǎng)度的最大值．【詳解】解：如圖，當(dāng)在對(duì)角線延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，連接，由旋轉(zhuǎn)得：，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴在以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上，在中，，∴，即長(zhǎng)度的最大值為，故選A．11．【正確答案】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)值的性質(zhì)，根據(jù)，且隨著的增大而減小，隨著的增大而增大，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，且隨著的增大而減小，隨著的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，.12．【正確答案】6【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得，得到，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵都是的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，∴，∴，∵，∴.13．【正確答案】【分析】作軸于點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，根據(jù)，得，所以，即可得到點(diǎn)點(diǎn)，，代入即可求出答案．【詳解】解：如圖，作軸于點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，

點(diǎn)，，，點(diǎn)，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)，，點(diǎn)A，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，∴，解得，∴14．【正確答案】2；【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．易得，則，得出，代入數(shù)據(jù)即可求出；根據(jù)，得出，設(shè)，則，通過(guò)證明，得出，則，進(jìn)而得出，結(jié)合，可得，代入各個(gè)數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得.15．【正確答案】【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．代入特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：原式16．【正確答案】，【分析】設(shè)，可得，；將其代入中可解得的值，進(jìn)而得出的值；【詳解】解：設(shè)則，代入得：解得：∴，17．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解．【分析】（）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，延長(zhǎng)至使得，延長(zhǎng)至使得，連接即可；（）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖即可；本題考查了作圖位似變換和旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握畫(huà)位似圖形和旋轉(zhuǎn)的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，根據(jù)位似作圖即可，∴即為所求；（2）如圖，∴即為所求．18．【正確答案】（1）①，②一次函數(shù)關(guān)系；（2）①；②，的值最大為6【分析】（1）①由已知可得，當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，t的值為6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案；（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1時(shí)，S的值最大為6．【詳解】（1）①，，點(diǎn)沿邊向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為，故2；②由已知可得；，而，，，是一次函數(shù)，故一次函數(shù)關(guān)系；（2）①由已知可得：，，；②，且，時(shí)，的值最大為6．19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）2【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）連接，則，由等邊對(duì)等角可得，由切線的性質(zhì)可得，求出，即可得證；（2）利用勾股定了計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：連接，則，∴，∵，∴，∴∵與相切于點(diǎn)C，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，∴，∴，∴．（2）解：∵的半徑為8．∴．∵．∴，∴，∴．∵，且，∴，解得，∴的長(zhǎng)是2．20．【正確答案】任務(wù)一：；任務(wù)二：；任務(wù)三：；任務(wù)四：；任務(wù)五：【分析】本題考查了閱讀學(xué)習(xí)型考題，先學(xué)習(xí)后應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)斜邊大于直角邊計(jì)算即可．（2）根據(jù)斜邊大于直角邊計(jì)算即可．（3）作的外接圓，作于E，作直徑，連接，

，設(shè)的半徑是R，構(gòu)造素材二問(wèn)題背景求解即可．（4）作的外接圓，作于E，作直徑，連接，設(shè)的半徑是R，構(gòu)造素材二問(wèn)題背景求解即可．（5）作于G，延長(zhǎng)交于H，證明，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化任務(wù)4求解即可．【詳解】解：任務(wù)一如圖，取的中點(diǎn)O，連接∵，，．∴，故的最大值為2．

任務(wù)二，如圖1，的最小值為12．理由如下：取的中點(diǎn)O，連接，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可，可得，∴即，故的最小值為12．

任務(wù)三，如圖2，解：作的外接圓，作于E，作直徑，連接，

∴，設(shè)的半徑是R，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴的最小值是．任務(wù)四，如圖2，解：作的外接圓，作于E，作直徑，連接，∴，設(shè)的半徑是R，

∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴的最小值是．任務(wù)五，如圖3，作于G，延長(zhǎng)交于H，∵，∴，設(shè)，∴，∴，在的延長(zhǎng)線上截取，∵∴，∵，∴，∴，∴，

由任務(wù)四可知，，∵，當(dāng)最小時(shí)，∴取得最大值，此時(shí)最大值為．21．【正確答案】（1），（2）圖象見(jiàn)詳解，在范圍內(nèi)函數(shù)的值隨的增大而增大，在范圍內(nèi)函數(shù)的值隨的增大而減?。?）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一及勾股定理求出及各邊邊長(zhǎng)，再利用相似得到，，再根據(jù)題意即可得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量的范圍，即可畫(huà)出函數(shù)圖象，再由函數(shù)圖象即可得到性質(zhì)；（3）觀察函數(shù)圖象在的圖象上方時(shí)，的取值范圍即可解答．【詳解】（1）解：等腰中，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，如圖：∴，，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，如圖：此時(shí)，∴，又∵，∴，∴，∴，∵線段長(zhǎng)度與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之比為，∴．綜上得，；（2）函數(shù)圖象如圖所示：觀察圖象可得在范圍內(nèi)函數(shù)的值隨的增大而增大，在范圍內(nèi)函數(shù)的值隨的增大而減??；（3）根據(jù)函數(shù)圖象：當(dāng)時(shí)，（因?yàn)檎`差不超過(guò)0.2所以右側(cè)可以寫(xiě)成2.2，2.3，2.5）．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（3）【分析】（1）設(shè)法證明，利用等角對(duì)等對(duì)即可證明；（2）在四邊形中，利用四邊形內(nèi)角和定理求得，據(jù)此即可求解；（3）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明