/安徽省淮北市部分學(xué)校2025?2026學(xué)年上學(xué)期12月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．（

）A．2 B． C．1 D．2．若反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．如圖，在的方格中，點(diǎn)A，B，C，D在格點(diǎn)上，線段是由線段位似放大得到，則它們的位似中心是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)4．將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．5．若三點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，其中，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．如圖，的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，下列陰影部分的三角形與相似的是（）A． B． C． D．7．如圖，為了測(cè)量河兩岸兩點(diǎn)間的距離，在河的一岸與垂直的方向上取一點(diǎn)，測(cè)得，則（

）A． B． C． D．8．拋物線的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為（

）A． B．或 C． D．或9．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格中，與相交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，，已知，分別是，邊上的點(diǎn)，且，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，記點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，四邊形的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．二、填空題11．拋物線的對(duì)稱軸是直線．12．如果為銳角，且，那么．13．如圖，直線交于點(diǎn).若，則的值為．14．如圖，是矩形的對(duì)角線．（1）；（2）點(diǎn)分別在邊上，連接，分別交于點(diǎn)，且．若，則．三、解答題15．已知拋物線，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．16．已知：在中，，，，解這個(gè)直角三角形．17．如圖，在和中，，且，求證：．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱的；（2）以點(diǎn)為位似中心，在第一象限中畫(huà)出將按的相似比放大后的位似圖形；（3）利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺作出的中線（保留作圖痕跡）．19．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集；（3）連接，求的面積．20．如圖，在中，，是邊上的中線，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值．21．如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長(zhǎng)為的標(biāo)語(yǔ)牌（米）．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小紅要測(cè)量標(biāo)語(yǔ)牌的底部點(diǎn)到地面的距離．項(xiàng)目名稱測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓標(biāo)語(yǔ)牌的底部點(diǎn)D到地面的距離測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺等方案示意圖（圖中點(diǎn)在同一平面內(nèi)）測(cè)量數(shù)據(jù)【數(shù)據(jù)一】標(biāo)語(yǔ)長(zhǎng)為3米（即米）；【數(shù)據(jù)二】測(cè)角儀支架高米；【數(shù)據(jù)三】小明在E處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)D的仰角為；【數(shù)據(jù)四】小紅在處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂部點(diǎn)的仰角為；【數(shù)據(jù)五】小明與小紅相距5米，解決問(wèn)題依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)，求出標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)．參考數(shù)據(jù)（，，）22．在中，，點(diǎn)分別是和邊上的點(diǎn)，連接，，．（1）如圖1，若，求證：；（2）若于點(diǎn)．（?。┤鐖D2，求證：；（ⅱ）如圖3，若，，求的值．23．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D不與點(diǎn)O，A重合，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線分別交直線于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為多少時(shí)，線段的長(zhǎng)最大，最大值為多少？

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．利用即可得出結(jié)果．【詳解】解：．故選A．2．【正確答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限；當(dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限．反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限時(shí)，比例系數(shù)大于零．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，∴，解得．故選D．3．【正確答案】A【分析】此題考查了位似變換．注意根據(jù)位似圖形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．連接，，并延長(zhǎng)，則交點(diǎn)即為它們的位似中心．繼而求得答案．【詳解】解：如圖，連接，，并延長(zhǎng)，則交點(diǎn)即為它們的位似中心．∴它們的位似中心是．故選A．4．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．按“上加下減常數(shù)項(xiàng)，左加右減自變量”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式．【詳解】解：原拋物線向左平移2個(gè)單位得，再向下平移3個(gè)單位得．故選C．5．【正確答案】B【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限及其增減性，再由各點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即可得出結(jié)論，熟知反比例函數(shù)函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二四象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，，∴，在第二象限，隨的增大而增大，∴，∵點(diǎn)在第四象限，∴，，故選B．6．【正確答案】A【分析】應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，A、三邊分別為，，，則，故與相似，符合題意；B、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；C、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；D、三邊分別為，，，則，故與不相似，不符合題意；故選A．7．【正確答案】A【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．如圖：在中，同時(shí)可知，根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：在中，，∴，即，∴．故選A．8．【正確答案】C【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再觀察函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：由圖象可知，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象可知，當(dāng)時(shí)自變量x的取值范圍為，故選C．9．【正確答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，取格點(diǎn)，連接，，由網(wǎng)格可知，，，從而可得，利用余弦的定義即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)，連接，，由網(wǎng)格可知：，，，∴，，∴，∴，故選．10．【正確答案】A【分析】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)點(diǎn)的變化列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．結(jié)合原圖形上動(dòng)點(diǎn)在不同的線段上運(yùn)動(dòng)得到不同的關(guān)系式，再根據(jù)不同的關(guān)系式得到不同的圖象，最后結(jié)合所給選項(xiàng)進(jìn)行分析即可解答．【詳解】解：，，∵四邊形是正方形，．又，，；①如圖1：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，∴關(guān)于的函數(shù)圖象是過(guò)點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，如圖2，此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)重合，，，，關(guān)于的函數(shù)圖象是一條下降的直線．綜上，關(guān)于的函數(shù)圖象大致為選項(xiàng)A．故選A．11．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．直接利用對(duì)稱軸的計(jì)算方法求解即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸是直線.12．【正確答案】0.619【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是熟記三角函數(shù)關(guān)系．根據(jù)可得到結(jié)果【詳解】解：如圖，中，設(shè)，則∴，故答案為0.619．13．【正確答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．由，利用平行線分線段成比例，可得出，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴.14．【正確答案】1；【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、平行線等分線段定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得，再結(jié)合正弦的定義即可解答；（2）先根據(jù)勾股定理、平行線等分線段定理可得；再根據(jù)勾股定理、正切的定義可得，進(jìn)而得到、，再根據(jù)平行線等分線段定理可得，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：（1）∵是矩形的對(duì)角線，∴，∴．（2）在中：．，，．在中，．，，，，，，，在中，，，，，，，．15．【正確答案】頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線【分析】本題主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．先將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．16．【正確答案】，，【分析】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，先求出，得出，再求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，∴，，∴，，．17．【正確答案】見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證得是解題的關(guān)鍵．先證明可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及等量代換即可解答．【詳解】證明：，，，，即，，，又，，∵，．18．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解（3）見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱作圖、位似變換、矩形的性質(zhì)、中線等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)確定的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（2）先利用位似圖形的性質(zhì)確定的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）取格點(diǎn)M、N，連接與相交于點(diǎn)D，則即為所求作的中線．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：如圖，為所作．（3）解：如圖，為所作．證明：如圖：四邊形是矩形，、是對(duì)角線且相交于點(diǎn)D，所以，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，即是的中線．19．【正確答案】（1）（2）（3）6【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、三角形的面積、根據(jù)函數(shù)圖象解不等式、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入得，即，再將代入反比例函數(shù)解析式求得k的值即可解答；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出關(guān)于x的不等式x的解集即可；（3）求出一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則；再結(jié)合坐標(biāo)系和三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：把代入一次函數(shù)得：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得∶，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：把代入一次函數(shù)得：，∴∴一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，∴由函數(shù)圖象可得：不等式的解集為．（3）解：當(dāng)時(shí)，，解得，即，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，．20．【正確答案】（1）7（2）【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理求出，解直角三角形求出，再運(yùn)用線段的和差即可解答；（2）根據(jù)三角形中線的定義求出，進(jìn)而求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定義求解即可．【詳解】（1）解：，，在中，由勾股定理得：．在中，，，解得，．（2）解：是邊上的中線，，，在中，由勾股定理得：，．21．【正確答案】標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則米，在中，利用正切值得出，設(shè)米，則米，米，在中，利用正切值列方程，求出，即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則米，由題意可知，米，，，米，在中，，，設(shè)米，米，米，在中，，,解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，米，答：標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為米．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（ⅰ）見(jiàn)詳解；（ⅱ）【分析】（1）先證明可得，再證明是等腰直角三角形，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）（?。┤鐖D，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．先證明可得；再證明，則，進(jìn)而證明結(jié)論；（ⅱ）先證明則、；易證是等腰直角三角形．由勾股定理可得．設(shè)，則，．證明可得，結(jié)合（?。┛傻?，進(jìn)而求得，即，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】（1）證明：，，又，，，，，是等腰直角三角形．．（2）解：（?。┳C明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則．，，，，，又，，，．（ⅱ）解：，．，，，是等腰直角三角形．在中，．設(shè)，則，．，．由（?。┲?，即，整理得：，解得：或（舍去），，．23．【正確答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為時(shí)，線段的長(zhǎng)最大