/安徽省黃山市部分學(xué)校2025?2026學(xué)年上學(xué)期第三次月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．下列方程中，是一元二次方程的是（）．A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)是以點(diǎn)為中心的正多邊形的頂點(diǎn)，若，則該正多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．10 D．114．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B．9 C． D．5．若點(diǎn)都在拋物線上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．如圖，是上的一動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．57．某工地有一塊長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)比寬多米，施工隊(duì)在這塊空地的四周鋪設(shè)了一條寬度為2米的硬化路面（拐彎處是直角），路面的面積恰好是平方米，設(shè)這塊空地的寬為米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．8．如圖，在圓心角為直角的扇形中，分別以、為直徑作兩個(gè)半圓．向直角扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)剛好來自陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．9．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像與二次函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．10．如圖，是的外接圓，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)是中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．垂直平分C． D．直線和都是的切線二、填空題11．若拋物線與軸的公共點(diǎn)是，則這條拋物線的對(duì)稱軸為．12．如圖，在中，，則．（填“”“”或“”）13．若關(guān)于的一元二次方程的兩根為，且，則的取值范圍是．14．在正方形中，是其內(nèi)一點(diǎn)，是直角三角形，，且，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線和直線相交于點(diǎn)，，．（1）的面積；（2）．三、解答題15．解方程：．16．如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，，求的度數(shù)．17．如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，畫出關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；(2)把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)的，畫出，并寫出C2的坐標(biāo)．18．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值．19．2024年5月21日，北京市啟動(dòng)了中小學(xué)生“健康一起來”陽光體育運(yùn)動(dòng)計(jì)劃，助力學(xué)生健康成長(zhǎng)．某中學(xué)初三年級(jí)共有15個(gè)班級(jí)，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了這些班級(jí)的學(xué)生近一個(gè)月的跑步量達(dá)標(biāo)率，具體數(shù)據(jù)如下：跑步量達(dá)標(biāo)率班數(shù)7(1)從這15個(gè)班級(jí)中任意選取1個(gè)班級(jí)．①事件“該班跑步量達(dá)標(biāo)率為”是______事件（填“必然”“不可能”或“隨機(jī)”）；②若事件“該班跑步量達(dá)標(biāo)率滿足”的概率為，則______，______；(2)某班選出了2名男生和2名女生作為跑步標(biāo)兵．老師計(jì)劃從這四位同學(xué)中隨機(jī)抽取兩位進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．20．某電商公司以每盒34元的價(jià)格從某工廠購進(jìn)一批玩具．根據(jù)往年銷售數(shù)據(jù)，當(dāng)售價(jià)定為50元/盒時(shí)，平均每天可售出180盒；若售價(jià)每提高5元，每天銷售量就減少15盒（價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍）．(1)若售價(jià)定為元/盒，則每天可售出盒（用含的式子表示）；(2)在（1）的條件下，若該公司銷售玩具時(shí)每天支出的各項(xiàng)人工、場(chǎng)地等費(fèi)用共計(jì)500元，此外每盒玩具的運(yùn)輸損耗成本為2元，求銷售價(jià)格定為多少元/盒時(shí)，該公司每天獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？21．如圖，是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接與相交于點(diǎn)，若的半徑為3，，求的長(zhǎng)．22．如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，直線與直線交于點(diǎn)．(1)如圖2，求證：；(2)在圖2中，連接，求證：；(3)如圖3，若，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的面積；23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）．(1)若，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和，求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若和在二次函數(shù)圖象上，且，求m的取值范圍；(3)若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，求a的值．

答案1．【正確答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握等號(hào)兩邊都是整式、只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程是一元二次方程是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵一元二次方程需滿足：整式方程、一個(gè)未知數(shù)、最高次數(shù)為2．∴A．含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合題意；B．含有分式，不是整式方程，不符合題意；C．是整式方程，只含一個(gè)未知數(shù)，且最高次數(shù)為2，符合題意；D．最高次數(shù)為1，不符合題意．故選C．2．【正確答案】D【分析】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)．【詳解】解：∵兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為故選：D．3．【正確答案】C【分析】本題主要考查正多邊形與圓，圓周角定理，掌握以上知識(shí)，合理作出輔助線是關(guān)鍵．如圖所示，連接，根據(jù)圓周角定理得到，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∴，∴，∴該正多邊形的邊數(shù)為10，故選：C．4．【正確答案】A【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．先利用互余計(jì)算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，所以，于是可判斷為等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，即圖中陰影部分的面積為．故選：A．5．【正確答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．將各點(diǎn)橫坐標(biāo)代入解析式求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較即可．．【詳解】解：由題意：，，，∴，故．故選：B．6．【正確答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先過點(diǎn)O作，運(yùn)用垂徑定理，勾股定理進(jìn)行列式計(jì)算，得，再結(jié)合是上的一動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：依題意，過點(diǎn)O作，交于一點(diǎn)，連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∵是上的一動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)．∴當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則有最小值，且為，故選：A7．【正確答案】D【分析】本題考查列方程解應(yīng)用題，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．空地的寬為米，則長(zhǎng)為米．鋪設(shè)路面后，整個(gè)區(qū)域的寬和長(zhǎng)各增加4米（因路面寬2米，每邊增加2米），故整個(gè)區(qū)域?qū)挒槊?，長(zhǎng)為米．路面的面積等于整個(gè)區(qū)域面積減空地面積．【詳解】解：∵空地的寬為米，長(zhǎng)為米，∴空地面積平方米，∵路面寬2米，四周鋪設(shè)，∴整個(gè)區(qū)域?qū)捗祝L(zhǎng)米，∴整個(gè)區(qū)域面積平方米，∴．故選D．8．【正確答案】A【分析】設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為，根據(jù)將下面的陰影正好平分兩部分，且這兩部分繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后正好可以與、上方的空白部分重疊，求出陰影部分的面積為：，然后求出概率即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為，記以、為直徑的兩個(gè)半圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，

如圖，連接，，，，∵，，∴，∵點(diǎn)C在半圓上，∴，∴在上，，∴，∴，同理可得：，∴，∴將下面的陰影正好平分為兩部分，且這兩部分繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后正好可以與、上方的空白部分重疊，∴陰影部分的面積為：，∴在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為：，故選：A．本題主要考查了求幾何概率，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出陰影部分的面積．9．【正確答案】C【分析】本題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)圖像與比例系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系是關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖像所在象限判定的符號(hào)，從而得到二次函數(shù)圖像的開口，對(duì)稱軸的位置，由此即可求解．【詳解】解：A、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，y隨x的增大而增大，則，即，∴二次函數(shù)中，，圖像開口向上，對(duì)稱軸直線在軸右側(cè)，故該選項(xiàng)不符合題意；B、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，y隨x的增大而增大，則，即，∴二次函數(shù)中，，圖像開口向下，對(duì)稱軸直線在軸左側(cè)，故該選項(xiàng)不符合題意；C、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，y隨x的增大而減小，則，即，∴二次函數(shù)中，，圖像開口向下，對(duì)稱軸直線在軸右側(cè)，故該選項(xiàng)符合題意；D、一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，y隨x的增大而減小，則，即，∴二次函數(shù)中，，圖像開口向下，對(duì)稱軸直線在軸左側(cè)，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．10．【正確答案】C【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，切線的判定等知識(shí)，理解圖示，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可判定A選項(xiàng)；根據(jù)題意得到，即可判定B選項(xiàng)；假設(shè)正確，結(jié)合角度的關(guān)系及題意可判定C選項(xiàng)；根據(jù)切線的判定，角度的和差轉(zhuǎn)換可判定D選項(xiàng)．【詳解】解：點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，垂直平分，故B正確，不符合題意；，，，，故A正確，不符合題意；，，，，，，，，都是的半徑，，直線和都是的切線，故D不符合題意；假設(shè)正確，則，，，無法得證，，不正確．故選：C．11．【正確答案】直線【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，因此對(duì)稱軸為兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，對(duì)稱軸為直線．12．【正確答案】【分析】本題主要考查垂徑定理，垂直平分線的性質(zhì)，弦、弧的關(guān)系，合理作出輔助線是關(guān)鍵．如圖所示，連接，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由垂徑定理得到是線段的垂直平分線，由弦、弧的關(guān)系等量代換，結(jié)合三角形三邊數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，且，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，即，∵，∴，∴，在中，，即，∴，故．13．【正確答案】【分析】本題考查一元二次方程的解法，一元一次不等式（組）的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．通過因式分解一元二次方程，得到兩根，再根據(jù)條件列不等式求解【詳解】解：方程（），或，，（因，故）．由條件，得且，解得．故答案為．14．【正確答案】84【分析】本題主要考查正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理等知識(shí)，掌握以上知識(shí)，合理作出輔助線是關(guān)鍵．根據(jù)題意可證四邊形是正方形，設(shè)，在中，，結(jié)合題意得到，由三角形面積公式得到的面積；如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證，可得，由勾股定理即可求解的值．【詳解】解：（1），，由旋轉(zhuǎn)可知，，，四邊形是正方形，，，設(shè)，在中，，即，解得，∴，則或，則，又，，的面積；（2）由（1）可知，，，如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，在和中，，，，∴，，；故①；②．15．【正確答案】，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運(yùn)用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．先把方程化成一般式，再運(yùn)用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，．16．【正確答案】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，則可得，再根據(jù)圓周角定理求解即可得．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴．17．【正確答案】(1)，圖見解析(2)，圖見解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（1）分別作出的關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次連接即可作出圖形；（2）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即可得到．【詳解】（1）解：如圖；∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）如圖；∵把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)的∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．【正確答案】(1)且(2)【分析】本題考查了一元二次方程中，根的判別式和韋達(dá)定理，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式和韋達(dá)定理的公式．（1）因?yàn)槭且辉畏匠?，所以；有?shí)數(shù)根，則，解出不等式，求出的取值范圍即可；（2）應(yīng)用韋達(dá)定理，表示出，，代入條件，求出值，同時(shí)記得檢驗(yàn)．【詳解】（1）根據(jù)題意，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則且，即∴且，故的取值范圍是且．（2）由題意得，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．故．19．【正確答案】(1)①隨機(jī)；②5，3(2)【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．（1）①根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件和不可能事件的概念解答即可；②概率公式逆運(yùn)用可得m的值，再由可得n的值；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】（1）解：①事件“該班跑步量達(dá)標(biāo)率為”是隨機(jī)事件；②∵事件“該班跑步量達(dá)標(biāo)率滿足”的概率為，∴，∴，故①隨機(jī)；②5，3；（2）解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．20．【正確答案】(1)(2)銷售價(jià)格定為75元/盒時(shí)才能使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3595元【分析】本題考查了列代數(shù)式，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)“當(dāng)售價(jià)定為50元/盒時(shí)，平均每天可售出180盒；若售價(jià)每提高5元，每天銷售量就減少15盒”列代數(shù)式即可；（2）設(shè)該公司每天的利潤(rùn)為元，求出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合“價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍”作答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)銷售價(jià)格定為元/盒時(shí)，則每天可售出盒；故；（2）解：設(shè)該公司每天的利潤(rùn)為元，則，，，且價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為3595元，答：銷售價(jià)格定為75元/盒時(shí)才能使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3595元．21．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則，由切線的性質(zhì)得，則，而，所以，則；（2）由，且，，得，求得，則，．【詳解】（1）證明：連接，則，，與相切于點(diǎn)，，，于點(diǎn)，，∵，，∵，，．（2）解：的半徑為3，，，且，，，解得，，．此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等角的余角相等、勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．【正確答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，得出．（2）在上截取，連接，證明，得出，，證出是等腰直角三角形，則可得出結(jié)論；（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出的長(zhǎng)，如圖，過作于，由三角形面積可得出答案；設(shè)，則，得出，則由勾股定理求出的長(zhǎng)，由三角形面積可得出答案．【詳解】（1）證明：，．即．在