/河北省衡水市棗強(qiáng)縣2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．⊙O半徑為4，點(diǎn)A在內(nèi)，則的長可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．將拋物線向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后所得拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小的是（）A． B．C． D．5．拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，則，，大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．設(shè)的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，并且方程無實(shí)數(shù)根，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定7．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．8．如圖，正五邊形內(nèi)接于，P為上一點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．對于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．11．如圖，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，軸交拋物線另一點(diǎn)于B，點(diǎn)C為該拋物線的頂點(diǎn)．若為等邊三角形，則a的值為（）A． B． C． D．112．如圖，在中，，，于點(diǎn)D．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿→→的路徑運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，四邊形的面積為，則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A． B．C． D．二、填空題13．已知某拋物線與拋物線的開口大小，對稱軸都相同，但開口方向相反，若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的表達(dá)式為．14．AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)C；連接BC，若∠P＝40°，則∠B等于．15．如圖，是的內(nèi)切圓且與，，相切于點(diǎn)，，，若，，，則的周長為．16．已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．三、解答題17．已知二次函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．18．函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）方程的兩個(gè)根為；（2）當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，則變量y的取值范圍為；（3）若方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．19．如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作．交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求．20．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使的面積為1？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在．請說明理由．21．如圖，為半圓O的直徑，C為圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線與的延長線交于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，平分．（1）求證：是半圓O的切線；（2）若，B為的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)F，求的長．22．某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)，它的圖象如圖所示．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）記商場銷售該服裝獲得的利潤為元，試寫出利潤與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場可獲得最大利潤？23．如圖，為的直徑，點(diǎn)在⊙上，，點(diǎn)在的延長線上，與相切于點(diǎn)C，與的延長線相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的半徑．24．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，∴，故選A．2．【正確答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答即可，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的半徑為4，點(diǎn)A在內(nèi)，∴，∴的長可能是3，故選A．3．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”進(jìn)行變換．【詳解】解：向左平移3個(gè)單位：將替換為，得，向上平移3個(gè)單位：在整體表達(dá)式后加3，即，因此，平移后的拋物線表達(dá)式為，故選C．4．【正確答案】C【分析】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握不同類型函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）在特定區(qū)間內(nèi)的增減性規(guī)律．根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷每個(gè)函數(shù)在時(shí)的增減性，找出符合條件的函數(shù)【詳解】∵A．是二次函數(shù)，，開口向上，對稱軸為y軸，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，不符合；∵B．是一次函數(shù)，，∴y隨x增大而增大，不符合；∵C．是二次函數(shù)，，開口向下，對稱軸為y軸，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，符合；∵D．是一次函數(shù)，，∴y隨x增大而增大，不符合．故選C．5．【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷值的大?。驹斀狻拷猓汉瘮?shù)的解析式是，對稱軸是直線，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，對稱軸左邊隨的增大而減小，對稱軸右邊隨的增大而增大，又，，故選D．6．【正確答案】C【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，一元二次方程根的判別式；點(diǎn)O到直線a的距離為d，若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．由方程無實(shí)數(shù)根，求出，從而得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)O到直線l距離是方程無實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴直線l與圓相交，故選C．7．【正確答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)依次進(jìn)行排除選項(xiàng)即可．【詳解】解：A、由圖象可知：一次函數(shù)中，，所以二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為直線，即對稱軸在y軸的右側(cè)，故符合題意；B、由圖象可知：一次函數(shù)中，，所以二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線，即對稱軸在y軸的右側(cè)，故不符合題意；C、由圖象可知：一次函數(shù)中，，所以二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線，即對稱軸在y軸的左側(cè)，故不符合題意；D、由圖象可知：一次函數(shù)中，，所以二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為直線，即對稱軸在y軸的左側(cè)，故不符合題意；故選A．8．【正確答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查正多邊形和圓、正多邊形的中心角的定義、圓周角定理等知識(shí)，連接、，則，由圓周角定理得，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接、，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∵P為上一點(diǎn)，∴，故選B．9．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確二次函數(shù)開口方向、對稱軸與單調(diào)性的聯(lián)系，通過對稱軸位置建立不等式求解．二次函數(shù)開口向下，當(dāng)時(shí)y隨x增大而減小，說明對稱軸在左側(cè)或重合，據(jù)此列不等式求解．【詳解】∵二次函數(shù)中，∴拋物線開口向下，對稱軸為，∵當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減小，∴對稱軸，解得．故選B．10．【正確答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量信息是解題的關(guān)鍵．由圖知，，，對稱軸，得；時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵拋物線開口向下∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∵對稱軸為直線，∴，故C選項(xiàng)不符合題意，；∴，∴，故A選項(xiàng)不符合題意；∵時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故B不符合題意；∵對稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和0之間∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在2和3之間∴當(dāng)時(shí)，，故D符合題意．故選D．11．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，，將點(diǎn)代入拋物線解析式，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，∵拋物線的對稱軸為，為等邊三角形，且軸，∴，，．∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．故選A．12．【正確答案】A【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象的性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)題意，分兩段分別求，一是到的過程，二是到的過程，分別用含的式子表示出，再結(jié)合圖象判斷即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵于點(diǎn)D，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，，則，∴，∵四邊形的面積為y，∴，∴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下；當(dāng)點(diǎn)P沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，∵是的平分線，∴，∴四邊形是正方形，∵，∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，綜上所述：能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A．故選A．13．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)（開口方向、開口大小、對稱軸）及解析式的確定，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解．根據(jù)題意，拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)絕對值為1且開口方向相反，故；對稱軸相同，故．設(shè)解析式為，代入點(diǎn)求．【詳解】由于開口大小相同且方向相反，故二次項(xiàng)系數(shù)為；對稱軸相同，故一次項(xiàng)系數(shù)為0，設(shè)拋物線解析式為．將點(diǎn)代入得，即，解得，故該拋物線的表達(dá)式為．故答案為．14．【正確答案】25°．【分析】由切線的性質(zhì)得：∠PAB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算∠POA＝50°，最后利用同圓的半徑相等得結(jié)論．【詳解】解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠PAB＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝25°.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．利用切線長定理，得出三角形三邊被切點(diǎn)分成的線段長度關(guān)系，進(jìn)而求出三角形的周長．【詳解】解：是的內(nèi)切圓，且與，，相切于點(diǎn)，，，，，，，，，的周長為.16．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，先化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合題意可得，，進(jìn)而解不等式組，即可求解．【詳解】解：∵，，∴拋物線對稱軸為直線，且拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)∴解得：，∵，∴解得：∴.17．【正確答案】【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．設(shè)頂點(diǎn)式，然后把原點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出即可．【詳解】解：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，整理，得：，解得：，該二次函數(shù)的解析式為．18．【正確答案】（1）（2）；（3）【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合當(dāng)時(shí)，，即可得出答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案．【詳解】（1）解：由圖象可得：方程的兩個(gè)根為．故；（2）解：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，自變量的取值范．故；；（3）解：由圖象可得：若方程有實(shí)數(shù)根，取值范圍是．故．19．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題主要考查切線的判定，垂徑定理的推論，勾股定理，圓周角的性質(zhì)及含直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定，垂徑定理的推論，勾股定理，圓周角的性質(zhì)及含直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）連接，由題意易得點(diǎn)是的中點(diǎn)，則有，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則有四邊形是矩形，然后可得，進(jìn)而根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∵是半徑，∴，∵，∴，∴直線是的切線；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．20．【正確答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）利用待定系數(shù)法可進(jìn)行求解；（2）設(shè)，由題意易得，則有或，然后分別代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意可把點(diǎn)代入二次函數(shù)得：，解得，此二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：存在，理由如下：設(shè)，則根據(jù)題意，得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即；當(dāng)時(shí)，，解得，則，．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．21．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理解三角形．熟練掌握證明切線的方法并使用面積相等法是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)垂直即可證明；（2）先根據(jù)邊長結(jié)合勾股定理可求解的長度，再由面積相等法即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是半圓O的半徑，∴是半圓O的切線．（2）解：∵，，∴，，∵在中，，.∴，，即，解得．22．【正確答案】（1），（2）（3）銷售單價(jià)定為90元時(shí)，商場可獲得最大利潤【分析】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，然后由圖象可把點(diǎn)代入進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（2）及利潤=單個(gè)利潤×總的銷售量即可求解；（3）由（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，由題意，得，解得，與的函數(shù)關(guān)系式為，成本為60元，獲利不超，；（2）解：由題意，得：；（3）解：由（2），得，，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，有最大值900，答：銷售單價(jià)定為90元時(shí)，商場可獲得最大利潤．23．【正確答案】（1）見詳解（2）的半徑為12【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及方程思想，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）