/黑龍江省大慶市杜爾伯特蒙古族自治縣2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．用配方法將方程轉(zhuǎn)化為的形式，則的值為（

）A．2027 B． C．2023 D．3．如圖所示幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．4．、是方程的兩個(gè)根，則（

）A．4 B．10 C． D．5．如圖，平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．6．如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，連接DE、AC，相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，則菱形的面積為（

）A．40 B．80 C．160 D．8．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，分別在軸，軸的正半軸上，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，則的值為（

）A．1 B．4 C．8 D．210．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，過(guò)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)A作軸于D，交的圖象于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作于E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．有以下結(jié)論：①線段的長(zhǎng)為9；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．如圖，∠1=∠2，添加一個(gè)條件使得△ADE∽△ACB．12．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．如圖，已知菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為，于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)是．15．如圖，小華同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹(shù)的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，得邊離地面的高度，，則樹(shù)高是．16．如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接AO，過(guò)點(diǎn)O作OA的垂線與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)B，則．17．如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，已知，，則．18．已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則式子的值是．三、解答題19．解方程：（1）；（2）．20．三根豎直的竹竿在同一光源下的影子如圖所示，其中竹竿的影子為，竹竿的影子為．確定光源P的位置，并畫出影子為的竹竿（用線段表示）．21．如圖，在矩形中，連接，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑，在線段的兩側(cè)作弧，過(guò)兩弧交點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，交于點(diǎn)O，連接，．（1）求證：四邊形為菱形；（2）若，，求四邊形的面積．22．如圖，直線都與雙曲線交于點(diǎn)，這兩條直線分別與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求，，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．（3）求的面積．23．定義：如果一元二次方程（）滿足，那么稱這個(gè)方程為“聯(lián)合方程”．（1）判斷一元二次方程是否為“聯(lián)合方程”，說(shuō)明理由；（2）已知是關(guān)于的“聯(lián)合方程”，若是此“聯(lián)合方程”的一個(gè)根，求和的值．24．《哪吒2》自年1月日上映以來(lái)，在電影市場(chǎng)掀起了巨大的波瀾，電影的出圈也點(diǎn)燃文創(chuàng)消費(fèi)新熱潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四張卡片分別用編號(hào)A，B，C，D來(lái)表示，這4張卡片背面完全相同，現(xiàn)將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．A—哪吒

B—太乙真人

C—申公豹

D—敖丙

（1）從中任意抽取一張卡片，恰好是“哪吒”的概率為_(kāi)____；（2）小明從中隨機(jī)抽取兩張卡片，想恰好組成“一套”（A與D組合或B與C組合），求小明抽到的兩張卡片恰好是一套的概率．25．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，連接，點(diǎn)E在上，連接，，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求證：．26．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨在人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從年的萬(wàn)人增加到年的萬(wàn)人．（1）求該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率．（2）其網(wǎng)店以每組30元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批啞鈴組．當(dāng)每組售價(jià)為元時(shí)，月份售出了組，隨著市民健身熱情的增加，該網(wǎng)店的啞鈴組十分暢銷．為了回饋顧客，該網(wǎng)店決定從1月份起采用降價(jià)促銷的方式．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該啞鈴組每組每降價(jià)1元，銷售量就增加組，該網(wǎng)店計(jì)劃1月份售賣啞鈴組獲利元，為了盡可能多的讓利于顧客，該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)多少元？27．觀察如下四個(gè)圖形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問(wèn)題，在圖1中，，是中邊的二等分點(diǎn)，圖2中、是邊的三等分點(diǎn)，圖3中、、是邊的四等分點(diǎn)…圖4中、、、是邊的五等分點(diǎn)，過(guò)各等分點(diǎn)的線段分別與底邊平行．設(shè)的面積為，過(guò)各等分點(diǎn)與底邊平行的線段分三角形各部分的面積分別為：，，，由兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得：①當(dāng)是邊的二等分點(diǎn)：__________________；②當(dāng)、是邊的三等分點(diǎn)：__________________；③當(dāng)、、是邊的四等分點(diǎn)：__________________；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第④個(gè)等式：_____________．（2）從①，②，③中，任選一個(gè)，寫出求解過(guò)程．（3）請(qǐng)你猜想出的結(jié)果（用含的式子表示）．28．如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，連接，且，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作直線，分別交，于點(diǎn)G，H，且，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)F作的垂線，分別交，，于點(diǎn)M，O，N，連接，求的長(zhǎng)．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，只要點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．根據(jù)反比例函數(shù)定義，設(shè)解析式為，代入已知點(diǎn)求出，再驗(yàn)證各選項(xiàng)是否滿足解析式．【詳解】解：∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)解析式為，代入得，∴，∴解析式為．驗(yàn)證選項(xiàng)：A．：當(dāng)時(shí)，，不滿足；B．：當(dāng)時(shí)，，不滿足；C．：當(dāng)時(shí)，，不滿足；D．：當(dāng)時(shí)，，滿足．∴函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)．故選D．2．【正確答案】B【分析】本題考查了利用配方法解一元二次方程，求代數(shù)式的值，通過(guò)配方法將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，比較系數(shù)求出和，再計(jì)算的值，熟練掌握配方法是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵用配方法將方程轉(zhuǎn)化為的形式，∴，，∴，故選B．3．【正確答案】D【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，俯視圖是從上面看到的圖形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：從上面看，看到的圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，且有四條豎直的線段，其中兩條實(shí)線分別在兩條虛線的外側(cè)，即看到的圖形如下：，故選D．4．【正確答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是把．因?yàn)?、是一元二次方程的兩個(gè)根，所以，，進(jìn)一步即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，即，，∴．故選A．5．【正確答案】B【分析】本題考查了利用平行四邊形的性質(zhì)求解，相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用求解．先利用平行四邊形的性質(zhì)證明，再列出比例式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，又點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，故選B．6．【正確答案】A【分析】由等腰可求度數(shù)，則度數(shù)可知，證明，可得，在中利用三角形內(nèi)角和定理可知度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴．又，∴．∴．∵是等邊三角形，∴．又，∴，且，∴．∴．∴．故選A．7．【正確答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的面積公式等．熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，則，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，然后由菱形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積．故選B．8．【正確答案】C【分析】本題考查由函數(shù)圖象解不等式，熟練掌握不等式與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式與函數(shù)圖象的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是指反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方圖象對(duì)應(yīng)的的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時(shí)，有反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，即當(dāng)時(shí)，的取值范圍是或，故選C．9．【正確答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，則，可得，再根據(jù)，再建立方程，即可求出k的值．【詳解】解：∵四邊形為矩形，的中點(diǎn)為D，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，則，∴，∵，∴，解得：，故選B．10．【正確答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】把代入反比例函數(shù)得，把代入，得，∴，故①錯(cuò)；聯(lián)立兩函數(shù)解析式，解得，∴，故②對(duì)；觀察圖象，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，可知③對(duì)；由、、可知，，∴，故④錯(cuò)．綜上，結(jié)論②③正確，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選B．11．【正確答案】∠D=∠C或∠E=∠B或【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．當(dāng)∠D=∠C或∠E=∠B或時(shí)，△ADE∽△ACB12．【正確答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．由題意得出，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得.13．【正確答案】或【分析】本題考查了位似圖形，掌握位似圖形的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的坐標(biāo)特征可知，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)都乘以或，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)都乘以或，的坐標(biāo)是或.14．【正確答案】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，先由菱形的性質(zhì)得到，，再由勾股定理得到，據(jù)此利用等面積法求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案為；．15．【正確答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：，且，，，即：，解得：，（），樹(shù)高是.16．【正確答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．作軸，軸，根據(jù)值的幾何意義，得到，證明，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出的值即可．【詳解】解：作軸，軸，垂足分別為，則：，∵點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.17．【正確答案】15【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則、，根據(jù)列方程，求解的值，利用進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：，，、，，、，，，，，，，、，，設(shè)，則、，，，解得，.18．【正確答案】【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而得到，再求出，則可推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：聯(lián)立得，∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，∴，，∴.19．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了因式分解法和公式法求解方程的根，選擇適當(dāng)解方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法法求解即可．（2）利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，解得．（2），其中，∴∴，解得．20．【正確答案】見(jiàn)詳解【分析】本題考查中心投影的作圖，解題的關(guān)鍵是要知道：連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源．過(guò)影子頂端與竹竿頂端作射線，交點(diǎn)P即為所求；連接光源P與影子頂端F，過(guò)E作垂直于地面的直線，與交于點(diǎn)M，即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P為光源的位置，線段是影子為的竹竿．21．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）由作圖可知直線是線段的垂直平分線，則，，利用矩形性質(zhì)得，證明，則有，先證四邊形是平行四邊形，再證平行四邊形是菱形即可；（2）設(shè)，則，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面積公式即可．【詳解】（1）證明：∵分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑，在線段的兩側(cè)作弧，過(guò)兩弧交點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴直線是線段的垂直平分線，∴，，∵四邊形是矩形，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（2）解：設(shè)，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，解得，∴，∴菱形的面積．22．【正確答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可；（2）求出直線與雙曲線的交點(diǎn)即可得出結(jié)論；（3）求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得三角形的面積.【詳解】（1）解：將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，∴；（2）解：由（1）知，由，得或，

則直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線在雙曲線y的上方，且都在y軸的右側(cè)所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（3）解：由得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴的面積為.23．【正確答案】（1）該方程是“聯(lián)合方程”，見(jiàn)詳解（2）的值為，的值為6【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程組，正確理解一元二次方程的解得概念是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“聯(lián)合方程”的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得到二元一次方程組，解方程即可．【詳解】（1）解：該方程是“聯(lián)合方程”，理由如下：在一元二次方程中，，，，，一元二次方程是“聯(lián)合方程”；（2）解：是關(guān)于的“聯(lián)合方程”，，是此“聯(lián)合方程”的一個(gè)根，，即，解得，的值為，的值為6．24．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能熟練運(yùn)用求解．（1）利用概率公式直接求解；（2）先畫出樹(shù)狀圖，再求概率．【詳解】（1）解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四張，∴從中任意抽取一張卡片，恰好是“哪吒”的概率為.（2）畫樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中小明抽到的兩張卡片恰好一套的結(jié)果有4種，∴抽到的兩張卡片恰好一套的概率為．25．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）由兩角相等得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到，從而得到答案；（2）點(diǎn)D是的中點(diǎn)，得到，再由（1）中，推出，進(jìn)而得到，即可得到．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴．（2）證明：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴．又∵，∴，又，∴，∴．26．【正確答案】（1）；（2）降價(jià)元【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為，根據(jù)從年的萬(wàn)人增加到年的萬(wàn)人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)設(shè)該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)m元，由該啞鈴組每組每降價(jià)1元，銷售量就增加組，確定銷售量與價(jià)格之間關(guān)系，再根據(jù)利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售量，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市，這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：該市2023，2024這兩年參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為；（2）解：設(shè)該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)m元，由題意得：，整理得：，解得：，答：為了盡可能多的讓利于顧客，該啞鈴組每組應(yīng)降價(jià)元，27．【正確答案】（1）；（2）①；②；