/山東省東營市利津縣2025?2026學(xué)年上學(xué)期12月月考九年級數(shù)學(xué)試題一、單選題1．有下列四個①經(jīng)過三個點一定可以作圓;②等弧所對的圓周角相等;③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等;

④在同圓中，平分弦的直徑一定垂直于這條弦.其中正確的有()A．0 B．1 C．2 D．32．已知反比例函數(shù)y＝的圖象的一支位于第一象限，則常數(shù)m的取值范圍是（）A．0＜m＜3 B．m＜3 C．m≤3 D．m＞33．將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移4個單位長度，所得到的拋物線為（

）A． B．C． D．4．在正方形網(wǎng)格中，以格點O為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點A，B，并在點A，B的右側(cè)圓弧上取一點C，連接AC，BC，則的值為（

）A． B． C．1 D．5．如圖，四邊形的兩邊與相切于兩點，點B在上，若圓的半徑為，則所對的弧長為（

）A． B． C． D．6．已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的側(cè)面積是（

）A．12π B．15π C．20π D．30π8．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點與點重合，折痕為，則的值是（）A． B． C． D．9．如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點均在格點（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則過三點的圓的半徑為（

）A． B．3 C． D．10．拋物線的頂點為，與x軸的一個交點A在和之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①；②；③；④方程有兩個相等的實數(shù)根；⑤（m為任意實數(shù)）；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．在中，，則的大小是．12．如圖，若圓錐的母線長為12，底面半徑為4，則其側(cè)面展開圖的圓心角為．

13．已知小麗的身高為，在同一時刻測得小麗和建筑物的投影長分別為和，建筑物的高是．14．如圖是一座截面邊緣為拋物線的拱形橋，當(dāng)拱頂離水面2米高時，水面為4米，則當(dāng)水面下降1米時，水面寬度增加米．

15．如圖，在中，的半徑為點是邊上的動點，過點作的一條切線(其中點為切點)，則線段長度的最小值為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點的直線交反比例函數(shù)的圖象于兩點，軸于點，的面積為6，則的值為．17．設(shè)兩直角邊分別為的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R和r，則．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線和雙曲線，在直線上取一點，記為，過作軸的垂線交雙曲線于點，過作軸的垂線交直線于點，過作軸的垂線交雙曲線于點，過作軸的垂線交直線于點，，依次進行下去，記點的橫坐標(biāo)為，若，則．三、解答題19．計算：（1）；（2）．20．如圖，是的直徑，、是上的兩點，，于點，延長交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求圖中陰影部分的面積．21．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，且一次函數(shù)與x軸，y軸分別交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；（3）若點P為x軸上一點，的面積為10，求出點P的坐標(biāo)．22．某超市以每件10元的進貨單價購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價/元…121314…每天銷售數(shù)量/件…363432…（1）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)銷售這種文具每天獲利（元），當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？23．某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測量一棵樹的高度測量工具皮尺，測角儀，水平儀等模型抽象如圖，是山腳的水平線，樹高垂直于水平線于點D．測量過程與數(shù)據(jù)信息1．在點A處測出樹頂C的仰角；2．從點A沿著前進到達B處，即；3．在B處測出樹頂C的仰角．解決問題求出這棵樹的高度是多少？（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）24．（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，是一塊直角三角形木板，，小亮想從中裁出一個以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次畫線、操作、計算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)沿著中位線裁出時，所得的矩形的面積最大．通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為________；（2）【思維拓展】如圖2，在中，邊上的高，矩形的頂點分別在邊上，頂點在邊上，則矩形面積的最大值為________；（3）【遷移應(yīng)用】如圖3，一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量且，木匠師傅從這塊余料中裁出面積最大的矩形，求該矩形的最大面積（寫出過程）25．如圖，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）若點為線段上一點（不與重合），軸，且交拋物線于點，交軸于點，求的最大面積；（3）在（2）的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得是直角三角形，若存在，直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)圓的認(rèn)識、圓周角定理、三角形外心的性質(zhì)對各小題進行逐一分析即可．【詳解】解：①經(jīng)過在同一條直線上的三個點不能作圓，只有三個點不在同一條直線上時才可以作圓，故本小題錯誤；②等弧所對的圓周角相等，符合圓周角定理，故本小題正確；③三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，所以到三角形各頂點的距離都相等，故本小題正確；④在同圓中，平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故本小題錯誤．故選C．2．【正確答案】B【分析】由反比例函數(shù)y＝的圖象的一支位于第一象限，可得3?m＞0，即可求常數(shù)m的取值范圍．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象的一支位于第一象限，∴3?m＞0∴m＜3故選B．3．【正確答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴平移后的新拋物線為．故選D．4．【正確答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得出，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選D．5．【正確答案】C【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、求弧長等知識，連接，由切線的性質(zhì)可得，結(jié)合解得的度數(shù)，然后由弧長公式求解即可．【詳解】解：如下圖，連接，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴所對的弧長．故選C．6．【正確答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解答即可．【詳解】解：反比例函數(shù)，，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，點、、都在反比例函數(shù)的圖象上，、在第二象限內(nèi)，在第四象限內(nèi)，，，，，，故選C．7．【正確答案】B【分析】此題考查了三視圖、圓錐的側(cè)面積等知識．根據(jù)三視圖判斷幾何體為圓錐，再進行計算即可得到答案．【詳解】解：由三視圖可知此幾何體為圓錐，∴圓錐的底面半徑為3，母線長為5，∵圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，∴圓錐的底面周長圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，∴圓錐的側(cè)面積．故選B．8．【正確答案】C【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理及正切的定義，求出相關(guān)線段的長度并能根據(jù)定義準(zhǔn)確計算是正確解答此題的關(guān)鍵．由折疊可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理建立方程求出的長度，進而根據(jù)正切即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，設(shè)，則．在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得，故，故選C．9．【正確答案】C【分析】本題考查了三角形外接圓圓心的確定，勾股定理等知識，確定圓心坐標(biāo)是關(guān)鍵；確定外接圓的圓心坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，圓心M的坐標(biāo)，∵，∴，∴的半徑為，故選C．10．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程等知識，掌握這些知識是關(guān)鍵；由拋物線與坐標(biāo)軸的交點得對應(yīng)的一元二次方程有實數(shù)根，從而由判別式的符號可判斷①；由拋物線的對稱性再結(jié)合函數(shù)圖象可判斷②；由頂點坐標(biāo)得對稱軸，進而得，再把頂點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中即可判斷③；由拋物線與直線的交點情況可判斷④；根據(jù)函數(shù)最大值是所有函數(shù)值中最大的可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線的頂點為，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線與x軸的一個交點A在和之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在和之間，即拋物線與x軸有兩個不同的交點，對應(yīng)的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，∴，故①錯誤；∵拋物線與x軸的另一個交點在和之間，∴當(dāng)時，，故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即，∵拋物線的頂點為，∴，即，∴，故③正確；∵直線過拋物線的頂點且平行于x軸，∴拋物線與直線只有一個交點，即方程有兩個相等的實數(shù)根，故④正確；∵拋物線的頂點為，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值2，即，對自變量取任意實數(shù)m，函數(shù)值為，且，∴，故⑤錯誤；綜上，正確的有②③④三個；故選B．11．【正確答案】【分析】本題考查根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，求角的度數(shù)，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進行求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∴.12．【正確答案】/120度【分析】根據(jù)圓錐的底面周長等于展開后扇形的弧長列出方程求解即可．【詳解】∵圓錐的母線長為12，底面半徑為4，設(shè)其側(cè)面展開圖的圓心角為n，∴，∴解得．13．【正確答案】/11米【分析】本題考查了投影的性質(zhì)：同一時刻物長與影長的比相等；據(jù)此列出比例式即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，即建筑物的高是.14．【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式，根據(jù)題意計算即可．【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖：

則拋物線頂點C坐標(biāo)為（0，2），設(shè)拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+2，將A點坐標(biāo)（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣，故拋物線解析式為y＝﹣x2+2，當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝﹣1時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣1與拋物線相交的兩點之間的距離，將y＝﹣1代入拋物線解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面寬度為2米，故水面寬度增加了（2﹣4）米.15．【正確答案】【分析】如圖：連接OP、OQ，根據(jù),可得當(dāng)OP⊥AB時，PQ最短；在中運用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AB、AQ的長，然后再運用等面積法求得OP的長，最后運用勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖：連接OP、OQ，∵是的一條切線∴PQ⊥OQ∴∴當(dāng)OP⊥AB時，如圖OP′，PQ最短在Rt△ABC中，∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB=∵S△AOB=∴，即OP=3在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1∴PQ=．故答案為．16．【正確答案】【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征，可知兩點關(guān)于原點對稱，從而得到的面積等于的面積，然后由反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，即可求出的值．【詳解】解：∵經(jīng)過原點的直線與反比例函數(shù)相交于兩點，∴兩點關(guān)于原點對稱，∴，∴，∵的面積為6，∴，又∵是反比例函數(shù)圖象上的點，且軸于點，∴，解得，∵該反比例函數(shù)圖象在二、四象限，∴，∴．17．【正確答案】3【分析】本題考查求直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，先利用勾股定理計算斜邊長，再根據(jù)直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和與斜邊差的一半，求出R和r，最后求差即可．【詳解】解：∵兩直角邊分別為的直角三角形，∴斜邊長為，∵直角三角形的外接圓的圓心為斜邊的中點，∴，∵直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和與斜邊差的一半，∴，∴.18．【正確答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，點坐標(biāo)規(guī)律探索，依次求出各點的坐標(biāo)，觀察出每3次變化為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征分別求出、、、、、，從而得到每3次變化為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2025除以3，根據(jù)商的情況確定出即可．【詳解】解：當(dāng)時，的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相等為，的縱坐標(biāo)和的縱坐標(biāo)相同為，的橫坐標(biāo)和的橫坐標(biāo)相同為，的縱坐標(biāo)和的縱坐標(biāo)相同為，的橫坐標(biāo)和的橫坐標(biāo)相同為，的縱坐標(biāo)和的縱坐標(biāo)相同為，的橫坐標(biāo)和的橫坐標(biāo)相同為，由上可知，個為一組依次循環(huán)，，.19．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡二次根式等知識點．（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進行二次根式的混合運算．（2）分別計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡二次根式，計算絕對值，再進行二次根式的混合運算．【詳解】（1）解：；（2）解：20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了圓的切線判定定理、扇形面積與三角形面積的計算，利用弧相等推導(dǎo)圓心角相等，結(jié)合直角三角形性質(zhì)分析線段與角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，由得圓心角，進而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半徑即可證明；（2）由，結(jié)合得，由勾股定理可得，由即可得出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．21．【正確答案】（1），（2）或（3）P的坐標(biāo)是或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．（1）首先將點代入反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達式，再確定點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式即可；（2）結(jié)合圖象即可獲得答案；（3）首先確定點C的坐標(biāo)，設(shè)設(shè)，則，結(jié)合可得關(guān)于的絕對值方程并求解，即可獲得答案．【詳解】（1）解：將點代入反比例函數(shù)，可得，解得，反比例函數(shù)的表達式為，將點代入反比例函數(shù)，得，點A的坐標(biāo)為．將點A和點B的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴一次函數(shù)的表達式為；（2）由圖象可知，不等式的解集為或；（3）把代入，得，解得，∴點C的坐標(biāo)是，∵點P為x軸上一點，可設(shè)，則，∵，∴，，，∴，解得或，即P的坐標(biāo)是或．22．【正確答案】（1）（2）當(dāng)銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤單件利潤銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將、代入得，，解得，，∴與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：依題意得，，，∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，∵銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，∴當(dāng)時，有最大值，，答：當(dāng)銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．23．【正確答案】這棵樹的高度約為10.4米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，找到三角形的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．設(shè)米，在中，利用三角函數(shù)求得；在中，利用三角函數(shù)求得，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】解：由題意得：，設(shè)米，在中，，，在中，，，，，解得，（米），答：這棵樹的高度約為10.4米．24．【正確答案】（1）；（2）300；（3）該矩形的面積為864，過程見詳解【分析】（1）首先根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，，進而可得四邊形是矩形，然后根據(jù)三角形面積公式和矩形面積公式求解即可；