/天津市紅橋區(qū)2025?2026學年上學期九年級期末數學試卷一、單選題1．在一些美術字中，有的漢字是中心對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈的事件為（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機事件 D．確定性事件3．的值等于（

）A．1 B． C． D．4．方程的兩個根為（

）A． B．C． D．5．若關于的一元二次方程的兩個實數根都是正數，則點在平面直角坐標系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．在分別寫有的四張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數恰好互為相反數的概率是（

）A． B． C． D．7．如圖，線段，相交于點，，若，，，則線段的長為（

）A．3 B．6 C．9 D．118．若點都在反比例函數的圖象上，則，的大小關系是（

）A． B．C． D．9．如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點，連接，相交于點，連接．若，，則的值是（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，點在邊上，將以點為中心逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，點的對應點為，延長與邊相交于點，連接，下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．11．如圖，在以為直徑的中，為上一點．以點為圓心，長為半徑畫弧，與相交于點；分別以點，為圓心，大于為半徑畫弧，兩?。ɑ∷趫A的半徑相等）相交于點；畫直線與相交于點，連接．若，則線段的長為（

）A． B．8 C． D．1012．小明很喜歡玩紙飛機，他發(fā)現紙飛機的飛行一般會經歷上拋、下降、滑行三個階段．如圖所示，以地平線為軸，起拋點所在的鉛垂線為軸，建立平面直角坐標系，上拋和下降的飛行路徑可看作是拋物線的一部分，滑行的飛行路徑可看作是直線的一部分，且當紙飛機飛行的水平距離為時進入滑行階段．有下列結論：①當時，紙飛機進入滑行階段時的高度為；②當紙飛機的落地點與起拋點的水平距離為時，的值為；③當時，小明的前方有一堵高的圍欄，若紙飛機可以順利飛過圍欄，則小明距離圍欄的水平距離最少為，最多為．其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題13．不透明袋子中裝有9個球，其中有3個紅球、4個綠球、2個藍球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出1個球，則它是綠球的概率是．14．在電壓不變的情況下，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，當時，，則當時，的大小為（）．15．若關于的一元二次方程無實數根，則的取值范圍是．16．將拋物線向上平移個單位長度，若平移后的拋物線與軸有兩個不同的公共點，則的值可以是（寫出一個即可）．17．如圖，在中，為斜邊的中點，．（1）線段的長為；（2）過點作的垂線，與相交于點，若，則邊的長為．18．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，四邊形的頂點在格點上，以為直徑的圓經過點，連接．（1）的大小等于（度）；（2）點在線段上，且滿足．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．三、解答題19．如圖，在中，，，，求，，的值．20．已知反比例函數（為常數，）．（1）若在其圖象的每一支上，隨的增大而增大，求的取值范圍；（2）若點在該反比例函數的圖象上．①求該反比例函數的解析式；②當時，求的取值范圍．21．已知為的直徑，點在的延長線上，為上一點，，延長與相交于點．（1）如圖①，若，求的大小；（2）如圖②，若，，求弦的長．22．已知為的直徑，交于點，為上一點，與相交于點，過點作的切線交的延長線于點．（1）如圖①，若，求的大??；（2）如圖②，若，，求線段的長．23．四邊形中，，，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊、邊、邊向終點運動；動點從點同時出發(fā)，以的速度沿邊向終點運動．設運動的時間為．當時，點的位置如圖①所示．當時，的面積（單位：）與運動的時間（單位：）之間的對應關系如圖②所示．請根據相關信息，回答下列問題：（1）①填表：運動的時間2345的面積32②填空：四邊形的邊的長為_______cm；③請直接寫出的面積與運動的時間之間的函數解析式；（2）當的面積時，求運動的時間的值（直接寫出結果即可）．24．在平面直角坐標系中，為原點，是等邊三角形，點，點在第一象限，為邊的中點．以點為中心，逆時針旋轉，得，點，的對應點分別為．記旋轉角為，其中．（1）填空：如圖①，當時，與相交于點，點的坐標為_____，點的坐標為_____；（2）如圖②，當時，與軸相交于點，求點，的坐標；（3）為線段的中點，求的面積的取值范圍（直接寫出結果即可）．25．已知拋物線．（1）當時，求拋物線的頂點的坐標；（2）點和點為拋物線與軸的兩個交點，點為拋物線與軸的交點，為線段上橫坐標為的點．①過點作軸的垂線，分別與拋物線、直線相交于點，當取得最大值為9時，求的值；②連接，當取得最小值為時，求的值．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的定義“一個圖形繞某一點旋轉后能夠和自身重合的圖形是中心對稱圖形”逐項判斷解答即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意；故選B．2．【正確答案】C【分析】本題考查了事件的分類，理解隨機事件的概念是解題的關鍵．根據事件類型的定義，遇到紅燈可能發(fā)生也可能不發(fā)生，具有不確定性，因此屬于隨機事件．【詳解】解：∵交通信號燈的變化是隨機的，∴經過路口時可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈或其他信號，∴該事件是隨機事件．故選C．3．【正確答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法，特殊角三角函數值的混合運算，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．直接代入已知三角函數值計算即可．【詳解】解：∵，，∴，故選C．4．【正確答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，運用因式分解法進行解方程，即可作答．【詳解】解：∵，∴，解得，故選D．5．【正確答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，判斷點所在的象限，根據一元二次方程根的情況求參數等知識點，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．先利用一元二次方程根與系數的關系判斷出m和n的符號，從而確定點所在象限．【詳解】解：設方程的兩個實數根為，，且，，則，，，所以，，所以的橫坐標為正，縱坐標為負，該點位于第四象限，故選D．6．【正確答案】B【分析】本題考查列表法求概率，根據題意，列出表格，利用概率公式進行計算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：1212共有12種等可能的結果，其中這兩張卡片上的數恰好互為相反數的情況有4種；∴；故選B．7．【正確答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據平行線得到，即可求出長，再根據線段的和差解答即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得，∴，故選C．8．【正確答案】A【分析】本題考查了比較反比例函數值或自變量的大小，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．根據反比例函數圖象上點的坐標特征，直接代入函數關系式計算各點的橫坐標，再比較大?。驹斀狻拷猓骸唿c，，都在反比例函數的圖象上，∴，，，∴，即，故選A．9．【正確答案】B【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正切值，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．過點作，根據矩形的性質，證明，得到，證明，根據相似三角形對應邊成比例分別求出的長，進而求出的長，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：過點作，如圖所示：則，∵矩形，，是邊上的三等分點，，，∴，，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴；故選B．10．【正確答案】B【分析】本題考查旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，先根據正方形的性質和旋轉的性質得到，，，然后根據得到，即可得到證明選項．【詳解】解：∵是正方形，∴，，由旋轉可得，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，故選B．11．【正確答案】A【分析】本題考查作垂線，勾股定理，圓的相關定義，根據作圖得到，然后根據勾股定理求出長，然后再在中求出長即可．【詳解】解：連接，由作圖可知，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，故選A．12．【正確答案】D【分析】根據進入滑行階段的函數解析式與，，可求得此時的函數值，以此可判斷①；當紙飛機的落地點與起拋點的水平距離為時，此時紙飛機已在滑行階段，由此可求得的值，從而可判斷②；先求出直線的解析式，再根據小明的前方有一堵高的圍欄，求出拋物線的解析式中的范圍，再當時，求出一次函數的值，再求出當時，的范圍，兩個范圍合并即可得出小明距離圍欄的水平距離最少與最多的值，由此可判斷③．【詳解】解：因為當紙飛機飛行的水平距離為時進入滑行階段，滑行的飛行路徑可看作是直線的一部分，所以當，時，，故①正確；落地點在，此時紙飛機已在滑行階段，所以落地點在直線上，且此時，所以，所以，又因為在處，拋物線與直線高度相等，所以，所以，故②正確；當時，，，當時，，解得：，所以直線的解析式為，，當時，，解得：，，所以當時，，又，，所以，當時，，解得：，所以當時，，又，，所以，所以當時，飛機高度，可以飛過，所以小明距離圍欄的水平距離最少距離為，最多為，故③正確，綜上所述，三個結論都正確，故選D．13．【正確答案】【分析】本題考查了根據概率公式計算概率，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解概率公式．根據概率的定義，綠球的數量與總球數的比值即為所求概率．【詳解】解：因為不透明袋子中裝有9個球，其中綠球有4個，所以從袋子中隨機取出1個球是綠球的概率為.14．【正確答案】2【分析】本題考查了求反比例函數解析式，實際問題與反比例函數等知識點，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．根據反比例函數關系，設，利用已知條件求出比例系數，再代入計算的值．【詳解】解：設電流與電阻之間的函數表達式為（）．當時，，代入，得，解得：．因此反比例函數表達式為．當時，．15．【正確答案】【分析】本題考查了根的判別式，根據根的判別式，列出不等式求出m的取值范圍即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程無實數根，∴，即，解得.16．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，二次函數圖象與軸的交點坐標，先求出平移后拋物線的解析式，再根據時對應的一元二次方程的判別式求出的取值范圍即可求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】解：把拋物線向上平移個單位后得到的解析式為，即，∵平移后的拋物線與軸有兩個不同的公共點，∴方程有兩個不等實根，即，解得，∴可取任意大于的數，例如.17．【正確答案】；【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質求解；（2）通過延長中線，再證明四邊形是矩形，接著說明垂直平分，然后用勾股定理得到關于的方程求解，再利用勾股定理求得．【詳解】（1）解：∵在中，，D為斜邊的中點，，∴?．（2）解：延長到點F，使，連接、、，如圖．∵D為斜邊的中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴平行四邊形是矩形．∴，，，．∴，∵，∴是線段的垂直平分線．∴．∵，∴．∴．∴，∴，又，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴．18．【正確答案】；取圓與網格線的交點，，連接交于點，連接并延長交圓于點，連接交于點，則點即為所作【分析】本題考查圓周角定理的推論，矩形的判定和性質，弧、弦、圓心角的關系，掌握圓周角定理的推論是解題的關鍵．（1）根據直徑所對的圓周角是直角解答即可；（2）先構造矩形，連接交于點，點即為圓心，然后連接并延長交圓于點，即可得到，然后連接交于點，根據圓周角定理的推論得到結論即可．【詳解】解：（1）∵是圓的直徑，∴.（2）如圖，取圓與網格線的交點，，連接交于點，連接并延長交圓于點，連接交于點，則點即為所作．理由為：∵是圓的直徑，∴，∴是矩形，∴，即為圓的圓心，∴，∴．19．【正確答案】，，【分析】本題考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解題關鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．根據正弦、余弦、正切的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，，．20．【正確答案】（1）（2）①②【分析】本題考查了反比例函數的解析式，反比例函數的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）結合在其圖象的每一支上，隨的增大而增大，得，故，即可作答．（2）①直接把代入，進行計算，得，故，②先分別算出把代入，得；把代入，得；再結合反比例函數在其圖象的每一支上，隨的增大而減小，進行分析，即可作答．【詳解】（1）解：∵反比例函數在其圖象的每一支上，隨的增大而增大，∴，解得；（2）解：①依題意，把代入，得，解得，∴；②由①得，依題意，把代入，得；把代入，得；∵中的，∴反比例函數在其圖象的每一支上，隨的增大而減小，∴當時，則．21．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查等邊對等角，三角形的外角性質，垂徑定理和勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．（1）根據等邊對等角得到，，然后根據三角形的外角性質得到解答即可；（2）根據（1）中結論求出，過點O作于點F，則，然后根據的直角三角形的性質和勾股定理解答即可【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）可得，，過點O作于點F，則，∵，，∴，∴，∴．22．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查切線的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的內角和定理，掌握切線的性質定理是解題的關鍵．（1）連接，根據等邊對等角得到，然后根據切線的性質得到，即可求出的度數，然后根據直角三角形的兩銳角互余和對頂角相等求出的度數，再根據三角形的內角和解答即可；（2）連接，仿照（1）的解答即可得到，設，在中利用勾股定理求出x的值，然后根據線段的和差解答即可．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵，∴，又∵是的切線，∴，∴，∴，（2）解：連接，∵，∴，∵，∴，又∵是的切線，∴，∴，∴，設，則，∴，在中，，即，解得，∴．23．【正確答案】（1）①；；

②

③（2）或【分析】本題考查動點的圖象，勾股定理，解直角三角形，根據點的運動過程分段計算函數解析式是解題的關鍵．（1）①根據值，判斷點M的位置，然后根據三角形的面積公式計算即可；②根據勾股定理計算即可；③分為；；三種情況，根據點M的位置，利用解直角三角形和三角形的面積公式計算即可；（2）分為三種情況，令，解方程求出時間的值即可【詳解】（1）①解：當時，點M在上，，，，∴；當時，點M在上，，，，∴；當時，點M在上，，，∴.運動的時間2345的面積32；②過點D作于點E，∵，，∴，∴是矩形，∴，，∴，∴.③當時，點M在上，，，∴，∴；當時，點M在上，，∴，∴；當時，點M在上，如圖，過點M作于點F，，∵，∴，∵，∴；綜上所述；（2）解：當時，令，解得（舍）或，當時，令，解得：（不符合題意，舍去），當時，令，解得或（不符合題意，舍去），綜上所述，當的面積時，求運動的時間的值為或．24．【正確答案】（1），（2），（3）【分析】（1）先根據等邊三角形的性質和，得出，，從而可得，，，再求出，從而可得，進而求得，從而可求得點的坐標，然后分別求出直線的表達式，直線的表達式，聯立可求得；（2）先根據旋轉的性質得出，，，，從而可求得點，再說明是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得，從而可求得，于是可得，再利用解直角三角形求得點的坐標；（3）先畫出圖形，確定點M運動的路徑，再確定的面積最大、最小時的位置，再求解即可．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，，∴，，∵為邊的中點，∴，，，∴，∴，∵以點O為中心，逆時針旋轉，得，旋轉角為，∴，，，∴，點的橫坐標為，縱坐標為，∴點，設直線的表達式為，則，∴，∴直線的表達式為，設直線的表達式為，∴，∴，∴直線的表達式為，，解得：，∴.（2）解：∵以點O為中心，逆時針旋轉，得，旋轉角為，∴，，，，∴點的橫坐標為，縱坐標為，∴點，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∴，，，∴，∵，∴的對頂角為，∴點到y軸的距離為，點到x軸的距離為，∴點的橫坐標為，縱坐標為，∴；