/天津市南開中學(xué)2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)第二次月考試卷一、單選題1．下列圖形中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．下列事件為隨機(jī)事件的是（

）A．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，正面向上的點(diǎn)數(shù)是B．畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為C．拋一枚普通的硬幣，正面朝上D．從裝滿紅球的袋子中摸出一個(gè)白球3．如圖，四邊形和四邊形相似，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．某市2021年年底有用戶20萬戶，計(jì)劃到2023年年底全市用戶數(shù)達(dá)到萬戶．設(shè)全市用戶數(shù)的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．若，是方程的兩個(gè)根，則（）A． B． C． D．6．如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且，，，則的半徑是（

）A．1 B．2 C． D．7．如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，是的直徑，則的度數(shù)是（

）A．30° B．36° C．54° D．60°8．若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．10．如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，且，按以下步驟操作：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長為（

）

A． B． C． D．11．如圖，在中，，．點(diǎn)在上，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．12．如圖，用一段長為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長為．設(shè)矩形菜園的邊的長為，面積為，其中．有下列結(jié)論：①x的取值范圍為；②的長有兩個(gè)不同的值滿足該矩形菜園的面積為；③矩形菜園的面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題13．有三張形狀、大小、質(zhì)地都相同的卡片，正面分別標(biāo)有數(shù)字-1，2，3，將它們背面朝上，洗勻后隨機(jī)抽取一張，則抽取的卡片數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為．14．如圖，，交于點(diǎn)E，，，，則．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若的面積為5，則．16．如圖，的半徑弦于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接．若，，則的長為．17．如圖，在邊長為7的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長度為．18．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)在格點(diǎn)上，點(diǎn)在格點(diǎn)上，圓心在線段上，圓與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與網(wǎng)格線交于點(diǎn)．

（1）；（2）過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．三、解答題19．一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字．（1）第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是______；（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．20．已知：如圖，是上一點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）若，，，求的長．21．已知：正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，（1）當(dāng)時(shí)，求反比例函數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的取值范圍是______；（3）當(dāng)正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)，的取值范圍是______．22．如圖，已知是的直徑，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，弦于點(diǎn)，連接．（1）如圖①，若，求和的度數(shù)；（2）如圖②，若于點(diǎn)，，，求的長．23．中國瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中國文化的重要組成部分，九（1）班同學(xué)在進(jìn)行歷史和數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)時(shí)，進(jìn)行了方案探究和任務(wù)型學(xué)習(xí)：【設(shè)計(jì)方案求傾斜狀態(tài)下碗里水面的寬度】問題情境圖1是一個(gè)豎直放置在水平桌面上的瓷碗，圖2是其截面圖，瓷碗高度，碗口寬，，碗體呈拋物線狀（碗體厚度不計(jì)），當(dāng)碗中盛滿水時(shí)的最大深度．任務(wù)一如圖2，以碗底的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求碗體的拋物線解析式；任務(wù)二如圖3，把瓷碗繞點(diǎn)緩緩傾斜，倒出碗中的部分水，當(dāng)水面與碗口的夾角為時(shí)停止傾斜．求此時(shí)碗內(nèi)水面的寬度．24．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C（1，0），正方形AOCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為B，延長BD至點(diǎn)G，使DG=BD，延長BC至點(diǎn)E，使CE=BC，以BG，BE為鄰邊作正方形BEFG．（Ⅰ）如圖①，求OD的長及的值；（Ⅱ）如圖②，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形BE′F′G′，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），連接AG′．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAG′=90°時(shí)，求α的大?。虎谠谛D(zhuǎn)過程中，求AF′的長取最大值時(shí)，點(diǎn)F′的坐標(biāo)及此時(shí)α的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．25．已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）的頂點(diǎn)，拋物線與x交于點(diǎn)和B，與y軸交于點(diǎn)C．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使的值最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若F為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，①過點(diǎn)H作y軸的垂線l，若對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)都滿足P到直線l的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②在①的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．本題考查了中心對(duì)稱圖形，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該圖形是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選B．2．【正確答案】C【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型．【詳解】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，正面向上的點(diǎn)數(shù)是，是不可能事件；B、畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為，是必然事件；C、拋一枚普通的硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件；D、從裝滿紅球的袋子中摸出一個(gè)白球，是不可能事件；故選C．3．【正確答案】A【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等性質(zhì)，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和為，求出每一個(gè)內(nèi)角的角度，即可得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形和四邊形相似，，，，，又，．故選A．4．【正確答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)全市用戶數(shù)的年平均增長率為x，根據(jù)該市2021年年底有用戶20萬戶，計(jì)劃到2023年年底全市用戶達(dá)到萬戶，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：設(shè)全市用戶數(shù)的年平均增長率為x，依題意，得：，故選B5．【正確答案】B【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直接計(jì)算根的和與積．【詳解】解：∵方程中，，，，∴，．只有選項(xiàng)B正確．故選B．6．【正確答案】B【分析】設(shè)，利用切線長定理，構(gòu)建方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：在中，∵，，，∴，∵為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，，，如圖，連接，∵，∴∠ODC=∠A=∠OFA=90°，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，∴，則圓O的半徑為2．故選B．7．【正確答案】C【分析】正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】是的直徑，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，，，，，，，故選C．8．【正確答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù))的圖象是雙曲線，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)圖象在二、四象限上，且在每一個(gè)象限y隨x的增大而增大，∴在第二象限，即；在第四象限，且y隨x的增大而增大，，∴．故選B．9．【正確答案】D【分析】連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，圖中陰影部分的面積，故選D．10．【正確答案】B【分析】由為半圓的直徑得，即得，進(jìn)而由角平分線可得，得到，即得，最后由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵為半圓的直徑，∴，∵，∴，又由作圖可知，平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故選．11．【正確答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求得，判定，即可求得，進(jìn)而求解；【詳解】解：將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，又，，，又，，，，，，，故選項(xiàng)A一定正確，由已知條件無法一定得出B、C、D正確，故選A12．【正確答案】B【分析】本題考查了矩形的面積，構(gòu)造二次函數(shù)求最值．根據(jù)題意，列出方程，構(gòu)造二次函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，則，依題意，得：，∵∴，解得，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，解得：，，當(dāng)時(shí)，不在范圍中，舍去，當(dāng)時(shí)，成立．故②錯(cuò)誤；，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為．故③正確，故選B．13．【正確答案】【分析】用列舉法列出全部的等可能結(jié)果，共有3種等可能的結(jié)果，抽取的卡片數(shù)字是負(fù)數(shù)的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：隨機(jī)地抽取一張卡片有，，共有種等可能的結(jié)果，抽取的卡片數(shù)字是負(fù)數(shù)的結(jié)果有種，抽取的卡片數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為．14．【正確答案】5【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．由，證明，則，而，則，即，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，，，，，∴.15．【正確答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得，然后根據(jù)的面積為可得出的值．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于，∴，∴，∵的面積為，∴，∵，∴．16．【正確答案】【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理，三角形中位線的應(yīng)用，用了方程思想，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理和性質(zhì)．根據(jù)垂徑定理得出，設(shè)為x，則，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x的值，連接，求出且，求出，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，在中，∴，解得，∴；連接，∵，∴且，∴，∵，∴，在中，，∴，∴．17．【正確答案】7【分析】過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)H，利用正方形性質(zhì)得出長相等，角相等，通過三角形全等：，得出和，再證四邊形是矩形，和，求得和，最后在中，利用勾股定理求出．【詳解】解：過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)H，則，在正方形中，，，在中，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，，即，，四邊形是矩形，,，，即，，，即，，又，，，即，解得，，，在中，，.18．【正確答案】；取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)G、H，連接交于點(diǎn)O，根據(jù)可知為的直徑，則點(diǎn)O為圓的圓心，連接并延長交于點(diǎn)E，延長，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)F，結(jié)合網(wǎng)格圖可知，連接，交于點(diǎn)M，點(diǎn)即為所求【分析】（1）根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)G、H，連接交于點(diǎn)O，根據(jù)可知為的直徑，則點(diǎn)O為圓的圓心，連接并延長交于點(diǎn)E，延長，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)F，結(jié)合網(wǎng)格圖可知，連接，交于點(diǎn)M，點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）.（2）如圖所示：取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)G、H，連接交于點(diǎn)O，根據(jù)可知為的直徑，則點(diǎn)O為圓的圓心，連接并延長交于點(diǎn)E，延長，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)F，結(jié)合網(wǎng)格圖可知，連接，交于點(diǎn)M，點(diǎn)即為所求．證明：連接，

結(jié)合網(wǎng)格圖可知，可得為的中位線，即有；根據(jù)可得，即有，進(jìn)而可證明，再證明，即可得，問題得證．19．【正確答案】（1）（2）兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率為【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵袋中共有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球，數(shù)字2為偶數(shù)，∴第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是（2）解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果有：，共4種，∴兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率為.20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題主要考查了兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再結(jié)合已知條件，即可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴；（2）解∵，∴，即：，∴．21．【正確答案】（1）（2）或（3）或【分析】（1）由已知一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)在直線上的坐標(biāo)特征可求得此點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得該點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)的反比例函數(shù)值；（2）分及，利用反比例函數(shù)的增減性即可求得函數(shù)值的取值范圍；（3）利用對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，借助圖象可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由圖象知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)A在直線上，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，即反比例函數(shù)的解析式，則當(dāng)時(shí)，；（2）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，；則當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的取值范圍是或.（3）解：、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱性，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，當(dāng)正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)，正比例函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象上方，觀察圖象知：或；即的取值范圍是或．22．【正確答案】（1），（2）【分析】（）連接，由直角三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（）連接，證明可得，由垂徑定理得，在中由勾股定理得，得到，即得，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵于點(diǎn)，，又，，，，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，，∴，∴，；（2）解：連接，∵是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，∴，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，，，又，（），，是的直徑，于點(diǎn)，，，在中，，∴，解得，∴，∴．23．【正確答案】任務(wù)一：碗體的拋物線解析式為；任務(wù)二：【分析】任務(wù)一：本題建立以碗底的中點(diǎn)F為原點(diǎn)O，以為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題干條件給出、、的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；任務(wù)二：本題仍建立以為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，通過等腰三角形的判定可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法給出直線解析式，通過直線和拋物線求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用勾股定理求兩點(diǎn)間距離，即可解題．【詳解】任務(wù)一：解：以碗底的中點(diǎn)F為原點(diǎn)O，以為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，，，，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式，有，解得，碗體的拋物線解析式為；任務(wù)二：解：以為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，傾斜后如圖所示，記軸交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題知，，，軸，又，∴，，∴，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，，聯(lián)立方程組，解得或，，．24．【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①α=30°或150°時(shí)，∠BAG′=90°②當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長最大，最大值為+2，此時(shí)α=315°，F(xiàn)′（+，﹣）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題,（2）①因?yàn)椤螧AG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=,推出∠AG′B=30°,推出旋轉(zhuǎn)角α=30°,據(jù)對(duì)稱性可知,當(dāng)∠ABG″=60°時(shí),∠BAG″=90°,也滿足條件,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°,②當(dāng)α=315°時(shí),A、B、F′在一條直線上時(shí),AF′的長最大.【詳解】（Ⅰ）如圖1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四邊形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如圖2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋轉(zhuǎn)角α=30°，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)∠ABG″=60°時(shí)，∠BAG″=90°，也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=150°，綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α=30°或150°時(shí)，∠BAG′=90°．②如圖3中，連接OF，∵四邊形BE′F′G′是正方形的邊長為∴BF′=2，∴當(dāng)α=315°時(shí)，A、B、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長最大，最大值為+2，此時(shí)α=315