2026屆福建省漳平市一中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當(dāng)取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.3．已知半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.134．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.5．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則當(dāng)取最大值時的值為（）A. B.C. D.7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.9．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.911．一個袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是12．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若有兩個零點，則的范圍是______14．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是______15．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發(fā)，經(jīng)過點F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.16．類比教材中推導(dǎo)球體積公式的方法，試計算橢圓T：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所形成的旋轉(zhuǎn)體(我們稱為橄欖球)的體積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項和為，且__________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.18．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點為、，且，橢圓C的離心率，點，過點P的動直線l橢圓C交于不同的兩點M、N與，均不重合），連接，，交于點T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點P旋轉(zhuǎn)時，點T總在一條定直線上運動；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當(dāng)PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？20．（12分）已知直線與拋物線交于兩點（1）若，直線過拋物線的焦點，線段中點的縱坐標(biāo)為2，求的長；（2）若交于，求的值21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式及前10項和；（2）等比數(shù)列滿足，，求和：22．（10分）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實數(shù)，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】過點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進(jìn)而解出此時P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.2、A【解析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)的線性運算求、的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設(shè)，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A3、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經(jīng)過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B4、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過時最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.5、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.6、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，，的關(guān)系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，此時故選：D7、D【解析】設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.【考點定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.8、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A9、D【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因為橢圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.10、D【解析】由等比數(shù)列的項求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D11、C【解析】對選項A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對選項D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對選項A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對選項D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯誤故選：C12、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應(yīng)用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以mn的最大值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極小值為，也是最小值，因為當(dāng)趨近于正負(fù)無窮時，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個零點，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.15、【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：16、【解析】類比球的體積公式的方法，將橄欖球細(xì)分為無數(shù)個小圓柱體疊加起來【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，則令（根據(jù)對稱性，我們只需算出軸上半部分的體積）不妨設(shè)，按照平均分為等份，則每一等份都是相同高度的圓柱體，第1個圓柱體的體積的半徑為：第2個圓柱體的體積的半徑為：第個圓柱體的體積的半徑為：則第個圓柱體的體積為：化簡可得：則有：根據(jù)可得：當(dāng)時，則有：故橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為：而題意中，則橢圓繞著軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，【小問2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是18、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因為直線過點，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，解得，設(shè)，因為在同一條直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點在直線，即當(dāng)直線l繞點P旋轉(zhuǎn)時，點T總在一條定直線上運動.【小問3詳解】解：由（2）知，點在直線上運動，即，設(shè)直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面PCD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法可求得，從而可求解PB的長.【小問1詳解】證明：因為底面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；小問2詳解】解：因為底面ABCD，，所以以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因為，，，所以，則，，所以，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，則，，所以，所以，解得，則，所以當(dāng)時，直線AB與平面PCD所成角正弦值為20、（1）6（2）2【解析】（1）通過作輔助線，利用拋物線定義，結(jié)合梯形的中位線定理，可求得答案；（2）根據(jù)題意可求得直線AB的方程為y=x+4，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由OA⊥OB，得，根據(jù)數(shù)量積的計算即可得答案.【小問1詳解】取AB的中點為E，當(dāng)p=2時，拋物線為C：x2=4y，焦點F坐標(biāo)為F（0，1），過A，E，B分別作準(zhǔn)線y=-1的垂線，重足分別為I，H，G，在梯形ABGI中（圖1），E是AB中點，則2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因為AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小問2詳解】設(shè)，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（圖2），得kOD=-1，kAB=1，則直線AB的方程為y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.21、（1），175（2）【解析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式先求出公差，然后結(jié)合通項公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，然后結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式可求【小問1詳解】解：等差數(shù)列滿足，，所以，，；【小問2詳解】解：因為等比數(shù)列滿足，，所以或（舍去），由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以22、（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點求得，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（