2026屆廣東省紫金縣數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.2．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.3．“圓”是中國文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動(dòng)高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m4．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則的最小值為（）A B.C. D.46．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當(dāng)廣告費(fèi)支出為5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元（殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值）A.40 B.30C.20 D.107．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．如圖是一個(gè)程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.59．已知是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或10．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量均為非零向量，且滿足，記向量在向量上投影向量為，則k=______．(用數(shù)字作答)14．曲線在點(diǎn)M(π，0)處的切線方程為________15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.16．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．則b的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過點(diǎn)（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程18．（12分）國家助學(xué)貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本專科學(xué)生每人每年申請(qǐng)貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長(zhǎng)到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請(qǐng)到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，此后工資不再浮動(dòng).（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到元；（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，第個(gè)月償還剩余的本金.則他第個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）19．（12分）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)20．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值21．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足（1）當(dāng)時(shí)，若與均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果故選：D2、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A3、B【解析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡(jiǎn)得.故選：B.4、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】解：根據(jù)題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B6、D【解析】分析：把所給的廣告費(fèi)支出5萬元時(shí)，代入線性回歸方程，做出相應(yīng)的銷售額，這是一個(gè)預(yù)測(cè)值，再求出與真實(shí)值之間有一個(gè)誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，50，當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬元時(shí)，由表格得：，故隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元.故選D.點(diǎn)睛：本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查預(yù)測(cè)y的值，是一個(gè)綜合題7、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A8、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復(fù)計(jì)算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】初始值：，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B9、B【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，分別計(jì)算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B11、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B12、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##1.5【解析】由兩邊平方可得，，，設(shè)，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點(diǎn)的對(duì)角線，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量為，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，兩邊平方整理得，，兩邊平方整理得，即，可得，，設(shè)，所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點(diǎn)的對(duì)角線，如圖，即，因?yàn)椋?，平行四邊形即為的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量為，?故答案為：.14、【解析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，所求切線的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.15、【解析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標(biāo)，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式16、或.【解析】根據(jù)曲線方程得曲線的軌跡是個(gè)半圓，數(shù)形結(jié)合分析得兩種情況：（1）直線與半圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；（2）直線與半圓相交于一個(gè)點(diǎn)，綜合兩種情況可得答案.【詳解】由曲線，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖像可得；（2）直線與半圓的上半部分相交于一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知.故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理直線與圓位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法；如果或有限制，需要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【小問1詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直所以，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是綜上，所求直線的方程為或18、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；（2）分析可知從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，計(jì)算出甲前個(gè)月償還的本金，再由甲第個(gè)月的工資可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，則，可得，，解得，所以，學(xué)生甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元.【小問2詳解】解：因?yàn)榧浊皞€(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，所以，從第個(gè)月開始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，前個(gè)月償還的本金為，因?yàn)榈趥€(gè)月開始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，所以，第個(gè)月的工資為元，因?yàn)?，因此，甲第個(gè)月的工資不能足夠償還剩余的本金.19、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以.【小問2詳解】，因此時(shí)，有理項(xiàng)，有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).20、（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，進(jìn)而應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式求△面積的范圍，再逐個(gè)求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】由題意，解得，故橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線為，聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與橢圓C相切，則判別式，即，整理得，∴，故直線為，又，可得，設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，解得，故Q為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得設(shè)，由得：，且，①，到直線的距離為，∴，令，∴.②由上，故，于是為定值.【點(diǎn)睛】直