上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：–y2=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜12．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.3．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.4．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.6．已知圓：，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（）A. B.C. D.7．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.8．已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1C.－2或1 D.2或－19．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.10．某次生物實(shí)驗(yàn)6個(gè)小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.6511．點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；②滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；③滿足平面的點(diǎn)的軌跡是線段.則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.12．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為.14．橢圓的離心率是______15．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實(shí)軸長為______.16．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)和圓.（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)為圓上的點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合（1）求橢圓的離心率；（2）求拋物線的方程；（3）設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點(diǎn)和M，N兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和20．（12分）2021年7月29日，中國游泳隊(duì)獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測試，并記錄他們的時(shí)間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.21．（12分）已知數(shù)列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＝·，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）在等比數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，與的等差中項(xiàng)為6（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】詳解】試題分析：由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A【考點(diǎn)】橢圓的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【易錯(cuò)點(diǎn)睛】計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，要注意；計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤2、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.3、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.4、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.5、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時(shí)，最小，而，所以故選：A.6、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?、是圓的兩條切線，所以，因此點(diǎn)、在以為直徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，點(diǎn)，因此的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，，因此以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由圓的切線性質(zhì)得到點(diǎn)、在以為直徑的圓上，運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線段OA上，且，所以，所以，故選：B8、B【解析】兩直線平行，傾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，據(jù)此即可求解.【詳解】：，：斜率不可能同時(shí)不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時(shí)，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.9、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對于B中，因?yàn)椋鶕?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.10、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設(shè)，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.11、C【解析】對于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點(diǎn)即為點(diǎn)，因此可判斷①正確；對于②，根據(jù)線面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，進(jìn)而判定②的正誤；對于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面，因此可判斷此時(shí)一定落在上，由此可判斷③的正誤.【詳解】如圖：對于①，在正方體中，,若異于，則過點(diǎn)至少有兩條直線和平行，這是不可能的，因此底面內(nèi)（包括邊界）滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)，即為點(diǎn)，故①正確；對于②，正方體中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直線一定落在平面內(nèi)，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，一定落在上，這樣的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，故②錯(cuò)誤；對于③，,平面,則平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，此時(shí)一定落在上，即點(diǎn)的軌跡是線段，故③正確，故選：C.12、A【解析】由題知直線過定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點(diǎn)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.14、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.15、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實(shí)軸長為2.故答案為：16、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓心的坐標(biāo)為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)與半徑；（2）由兩點(diǎn)間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標(biāo)為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是18、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由橢圓方程即可求出離心率.（2）求出橢圓的焦點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，即可求出答案.（3）由拋物線定義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問1詳解】由題意可知，.【小問2詳解】橢圓的右焦點(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為.拋物線的方程為.【小問3詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，，解得，.故的坐標(biāo)為.19、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結(jié)合可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以①又因?yàn)檫^且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以設(shè)點(diǎn)，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因?yàn)椋?，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因?yàn)?，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為020、（1）（2），【解析】（1）利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算方法求解即可.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】平均數(shù)為：，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.21、（1）；（2）【解析】