工程問(wèn)題“再建?！保悍?jǐn)?shù)除法的綜合應(yīng)用與思維進(jìn)階——六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題深度教學(xué)設(shè)計(jì)（蘇教版）一、教學(xué)內(nèi)容分析??本課內(nèi)容隸屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第三學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”主題。從知識(shí)圖譜看，它處于分?jǐn)?shù)除法單元知識(shí)鏈的末端與高點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)除法意義、計(jì)算、以及“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”等一系列應(yīng)用問(wèn)題的集大成者。其認(rèn)知要求已從單一技能應(yīng)用躍升至復(fù)雜情境下的綜合建模與問(wèn)題解決。課標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過(guò)“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本思想。本節(jié)課正是這一思想的絕佳載體：將“工程問(wèn)題”抽象為“工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間”的核心模型，并運(yùn)用分?jǐn)?shù)進(jìn)行表達(dá)與運(yùn)算。這一過(guò)程蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)化思想——將現(xiàn)實(shí)世界中的合作效率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)關(guān)系。其素養(yǎng)指向明確：在模型建構(gòu)與應(yīng)用中發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)錘煉推理能力，在對(duì)比不同解題策略中培養(yǎng)批判性思維。教學(xué)重難點(diǎn)預(yù)判在于引導(dǎo)學(xué)生跨越具體數(shù)量與抽象單位“1”之間的認(rèn)知鴻溝，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的初步過(guò)渡。??基于“以學(xué)定教”原則，學(xué)情研判如下：學(xué)生已牢固掌握分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則，并能解決簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題，這是本節(jié)課的重要基礎(chǔ)。然而，他們的思維往往固著于具體數(shù)量的運(yùn)算，對(duì)于將整個(gè)工程視為單位“1”這一高度抽象的核心假設(shè)理解困難，這是最大的認(rèn)知障礙。此外，在涉及多人、多項(xiàng)、效率變化等復(fù)雜條件時(shí)，學(xué)生容易迷失于紛繁的信息中，難以抓住“工作效率和”這一關(guān)鍵不變量。因此，教學(xué)過(guò)程必須設(shè)計(jì)精準(zhǔn)的“腳手架”。我將通過(guò)“前測(cè)”問(wèn)題（如：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需10天，乙隊(duì)單獨(dú)做需15天，兩隊(duì)合作幾天完成？）動(dòng)態(tài)診斷學(xué)生的起點(diǎn)，觀察他們是傾向于嘗試具體賦值還是能直接走向抽象建模。針對(duì)不同層次的學(xué)生，教學(xué)調(diào)適策略包括：為理解困難者提供直觀線段圖、列舉具體工作量（如假設(shè)總量為具體數(shù)值）作為認(rèn)知拐杖；為學(xué)有余力者設(shè)置效率變化、中途停工等變式問(wèn)題，引導(dǎo)其探究模型邊界與普適性，實(shí)現(xiàn)差異化的思維攀升。二、教學(xué)目標(biāo)??知識(shí)目標(biāo)：學(xué)生能理解并闡述工程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系，特別是將工作總量抽象為單位“1”的核心思想；能準(zhǔn)確從文字情境中識(shí)別工作效率（或單獨(dú)完成時(shí)間），并運(yùn)用“工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間”的模型，列式解決基礎(chǔ)的工程合作問(wèn)題。??能力目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中剝離數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程，能夠獨(dú)立或合作完成“閱讀審題—抽象建?！惺角蠼狻仡櫃z驗(yàn)”的問(wèn)題解決流程；在面對(duì)變式情境時(shí)，能靈活調(diào)整模型（如處理多人合作、先后加入、休息等條件），展現(xiàn)出良好的數(shù)學(xué)建模與推理能力。??情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在解決實(shí)際工程問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)與生活、社會(huì)建設(shè)的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的工具價(jià)值；在小組合作探究中，愿意傾聽(tīng)他人見(jiàn)解，共享思維成果，共同面對(duì)挑戰(zhàn)。??科學(xué)（學(xué)科）思維目標(biāo)：本節(jié)課重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的模型建構(gòu)思維與抽象思維。通過(guò)將多樣的工程情境歸一化為同一數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與力量；通過(guò)對(duì)比算術(shù)解法與設(shè)單位“1”的代數(shù)思路，初步體會(huì)代數(shù)思維的優(yōu)越性。??評(píng)價(jià)與元認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生建立解決工程類問(wèn)題的自我監(jiān)控清單（如：是否明確了總量“1”？是否找準(zhǔn)了各方效率？單位是否統(tǒng)一？），學(xué)會(huì)在解題后主動(dòng)回顧反思，檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，并嘗試評(píng)價(jià)不同解法的優(yōu)劣。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)??教學(xué)重點(diǎn)：工程問(wèn)題核心數(shù)量關(guān)系的理解與數(shù)學(xué)模型“工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間”的建立。確立依據(jù)在于，此模型是貫通本課所有例題與變式的“大概念”，是學(xué)生將分?jǐn)?shù)除法知識(shí)應(yīng)用于復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境的樞紐。從能力立意看，掌握模型建構(gòu)的方法遠(yuǎn)比記憶某類題的解法公式更重要，它直接關(guān)系到學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。??教學(xué)難點(diǎn)：將具體生活情境抽象為數(shù)學(xué)模型，特別是理解并接受“把工作總量看作單位‘1’”這一關(guān)鍵假設(shè)，以及在此假設(shè)下，如何根據(jù)單獨(dú)完成的時(shí)間來(lái)表述工作效率。預(yù)設(shè)依據(jù)源于學(xué)情分析：學(xué)生習(xí)慣于處理具體數(shù)量，此處的抽象跨越了其認(rèn)知舒適區(qū)。常見(jiàn)錯(cuò)誤表現(xiàn)為，學(xué)生試圖尋找具體的工作總量數(shù)值，或誤將工作時(shí)間直接相加。突破方向在于，通過(guò)類比、圖示和從具體到抽象的漸進(jìn)式引導(dǎo)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)假設(shè)單位“1”帶來(lái)的解題便利。四、教學(xué)準(zhǔn)備清單1.教師準(zhǔn)備1.1媒體與教具：交互式課件（內(nèi)含問(wèn)題情境動(dòng)畫(huà)、動(dòng)態(tài)線段圖演示、分層練習(xí)題）；實(shí)物投影儀。1.2學(xué)習(xí)材料：分層設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)任務(wù)單（含前測(cè)、探究記錄、鞏固練習(xí)）；小組合作討論卡。2.學(xué)生準(zhǔn)備2.1知識(shí)預(yù)備：復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的意義及計(jì)算；完成一項(xiàng)簡(jiǎn)單的預(yù)習(xí)題（涉及求一個(gè)數(shù)的幾分之一）。2.2物品準(zhǔn)備：直尺、鉛筆。3.環(huán)境布置3.1座位安排：四人小組圍坐，便于合作探究。五、教學(xué)過(guò)程第一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)??1.情境創(chuàng)設(shè)，制造沖突：“同學(xué)們，學(xué)校假期要對(duì)多功能廳進(jìn)行翻新。如果這項(xiàng)工程交給工程隊(duì)A單獨(dú)完成，需要10天；交給工程隊(duì)B單獨(dú)完成，需要15天?，F(xiàn)在學(xué)校想盡快完成，決定讓兩隊(duì)合作。你們能幫校長(zhǎng)算算，大約需要幾天嗎？”（學(xué)生初步猜測(cè)，可能出現(xiàn)各種答案，如直接取平均數(shù)12.5天等，制造認(rèn)知沖突）?！按蠹业闹庇X(jué)都不一樣，那到底該怎么科學(xué)地計(jì)算呢？這里面隱藏著我們今天要揭開(kāi)的數(shù)學(xué)奧秘?！??1.1關(guān)聯(lián)舊知，明確路徑：“這和我們之前學(xué)的分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題很像，但又有些不同。不同在哪呢？——關(guān)鍵在于，我們不知道這項(xiàng)工程具體的‘工作量’是多少，比如要刷多少平米的墻，要鋪多少塊地磚。面對(duì)這個(gè)‘未知的量’，我們?cè)撛趺崔k？”（停頓，引發(fā)思考）“這節(jié)課，我們將化身‘?dāng)?shù)學(xué)建模師’，學(xué)會(huì)用一個(gè)巧妙的‘假設(shè)’來(lái)破解這類難題。我們的探索路線是：從具體例子入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律→建立通用模型→用模型征服各種復(fù)雜的工程問(wèn)題。”第二、新授環(huán)節(jié)任務(wù)一：激活舊知，從具體走向抽象1.教師活動(dòng)：首先，我會(huì)將導(dǎo)入問(wèn)題具體化：“如果我們假設(shè)翻新工程的總工作量是150平方米（10和15的公倍數(shù)），大家現(xiàn)在能算了嗎？請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)單上試一試?！毖惨暡⒄?qǐng)不同方法的學(xué)生板演：①150÷(150÷10+150÷15)=6（天）。然后引導(dǎo)：“看，有了具體總量，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的工作效率問(wèn)題。現(xiàn)在，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這個(gè)算式150÷(150÷10+150÷15)，有沒(méi)有辦法將它寫得‘更數(shù)學(xué)’、更簡(jiǎn)潔一些？”我將一步步引導(dǎo)學(xué)生將150÷10寫成150×$\frac{1}{10}$，進(jìn)而將算式整理為150÷[150×($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)]。接著提出關(guān)鍵一問(wèn)：“現(xiàn)在，請(qǐng)大家盯緊這個(gè)整理后的算式，如果我們大膽地把這個(gè)‘150’用一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)來(lái)代替，比如就用‘1’來(lái)表示這項(xiàng)工程的總量，猜猜看，算式會(huì)變成什么樣？”（板書(shū)引導(dǎo)：1÷($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)）。“這個(gè)‘1’可不是數(shù)字1，它代表了我們假設(shè)的——？”2.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)具體總量150進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證合作時(shí)間。觀察、演算教師引導(dǎo)下的算式變形過(guò)程。思考并回答教師的提問(wèn)，理解“1”代表工作總量單位“1”。部分學(xué)生會(huì)感到驚奇：“咦，這樣算出來(lái)結(jié)果也是6！”3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否正確計(jì)算出具體工作量下的合作時(shí)間。2.能否跟隨教師引導(dǎo)，理解算式的代數(shù)變形過(guò)程。3.能否說(shuō)出算式中“1”所代表的特殊含義（抽象的工作總量）。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：1.5.★核心假設(shè)：當(dāng)工作總量未知時(shí)，可以將其抽象看作單位“1”。這是解決工程問(wèn)題的第一把鑰匙。“大家記住，這個(gè)‘1’代表一項(xiàng)工程、一份任務(wù)的全部，它是一個(gè)整體?！?.6.★效率表示：已知單獨(dú)完成時(shí)間a天，則其工作效率為$\frac{1}{a}$。這是從“具體工作量÷時(shí)間”到“單位”1“÷時(shí)間”的自然推廣。3.7.▲方法感悟：從具體數(shù)值計(jì)算到抽象符號(hào)表示，是數(shù)學(xué)建模的常用起點(diǎn)?！皬摹?50’到‘1’，看似數(shù)字變小了，但我們的思維卻完成了一次了不起的飛躍！”任務(wù)二：探究核心，建立基本模型1.教師活動(dòng)：基于任務(wù)一的成果，我將清晰板書(shū)基本模型：合作時(shí)間=1÷(工作效率和)或1÷($\frac{1}{甲時(shí)}$+$\frac{1}{乙時(shí)}$)?！艾F(xiàn)在，我們用這個(gè)模型重新審視校長(zhǎng)的難題。誰(shuí)能上來(lái)列式？”請(qǐng)學(xué)生列式并計(jì)算：1÷($\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$)=1÷($\frac{1}{6}$)=6（天）。追問(wèn)：“$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{6}$，這個(gè)$\frac{1}{6}$表示什么？”（兩隊(duì)合作，一天能完成總工程的六分之一）?！翱矗Ｐ妥屛覀兝@開(kāi)了尋找具體總量的麻煩，直擊問(wèn)題核心。這個(gè)模型是不是放之四海而皆準(zhǔn)呢？我們來(lái)挑戰(zhàn)一個(gè)變式。”2.學(xué)生活動(dòng)：一名學(xué)生板演列式與計(jì)算，其余學(xué)生同步練習(xí)?；卮鸾處熥穯?wèn)，理解“效率和”的意義。準(zhǔn)備迎接變式挑戰(zhàn)。3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否準(zhǔn)確套用模型列出算式。2.計(jì)算過(guò)程是否準(zhǔn)確，特別是通分與倒數(shù)計(jì)算。3.能否解釋結(jié)果（$\frac{1}{6}$）的現(xiàn)實(shí)意義。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：1.5.★基本模型：合作時(shí)間=工作總量“1”÷工作效率和。這是工程問(wèn)題的核心公式?！按蠹野堰@句話記在心里，它就像一條高速公路，能直達(dá)答案。”2.6.★關(guān)鍵步驟：正確將單獨(dú)完成時(shí)間轉(zhuǎn)化為工作效率，并求和?！罢覝?zhǔn)每個(gè)人的‘工作效率’，是列式的關(guān)鍵一步，千萬(wàn)別把時(shí)間直接加起來(lái)哦！”3.7.易錯(cuò)警示：效率和是$\frac{1}{甲時(shí)}$+$\frac{1}{乙時(shí)}$，而不是$\frac{1}{甲時(shí)+乙時(shí)}$。可以通過(guò)舉例反問(wèn)來(lái)強(qiáng)化：“如果甲做10天，乙也做10天，合作效率難道是$\frac{1}{20}$嗎？那豈不是合作比單獨(dú)做還慢？”任務(wù)三：分層應(yīng)用，固化模型理解1.教師活動(dòng)：出示分層探究題?；A(chǔ)題：教材例題改編。綜合題：“如果甲隊(duì)先單獨(dú)做2天后，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)完成，需要幾天？”（引導(dǎo)：先求剩余工作量“1$\frac{2}{10}$”）。挑戰(zhàn)題：“如果這項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做20天完成。三隊(duì)合作2天后，甲隊(duì)因故離開(kāi)，剩下的由乙、丙兩隊(duì)合作完成，還需要幾天？”我將巡視各組，對(duì)基礎(chǔ)組重點(diǎn)指導(dǎo)模型列式；對(duì)綜合組引導(dǎo)其分析“工作量”的變化；與挑戰(zhàn)組探討如何將復(fù)雜過(guò)程分解為幾個(gè)基本模型階段。2.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)自身情況，選擇至少完成基礎(chǔ)題和綜合題。小組內(nèi)討論，分享思路。挑戰(zhàn)題由學(xué)有余力的學(xué)生嘗試，并可能上臺(tái)分享其“分段建?！钡乃悸?。3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.（基礎(chǔ)）能否獨(dú)立、正確列出基本模型算式。2.（綜合）能否識(shí)別出工作總量的變化，并正確計(jì)算剩余工作量。3.（挑戰(zhàn)）能否清晰地將復(fù)雜過(guò)程分解，并列出連貫的算式。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：1.5.▲模型變式1中途單獨(dú)做：總工作量“1”已完成部分=剩余工作量?！懊鎸?duì)‘先做后做’的問(wèn)題，核心是盯緊‘剩下的活還有多少’?！?.6.▲模型變式2多人合作與中途變化：將整個(gè)過(guò)程按參與對(duì)象的變化分成階段，每一階段視為一個(gè)“小工程問(wèn)題”?！皬?fù)雜問(wèn)題不用怕，像切蛋糕一樣，把它分成幾塊，一塊一塊解決?！?.7.核心能力：從復(fù)雜情境中剝離出不變的數(shù)量關(guān)系（效率），并識(shí)別變化的條件（工作量、參與方）?！皵?shù)學(xué)眼光就是能透過(guò)變化看到不變的本質(zhì)?！比蝿?wù)四：對(duì)比溝通，鏈接已有認(rèn)知1.教師活動(dòng)：“我們回頭看看，用假設(shè)總量為‘1’的方法，和之前假設(shè)為具體數(shù)量（如150）的方法，本質(zhì)上一樣嗎？哪種你更喜歡？為什么？”組織小組簡(jiǎn)短討論。隨后，我將展示一道“已知合作時(shí)間與一方效率，求另一方單獨(dú)完成時(shí)間”的逆向題目，如：“兩隊(duì)合作6天完成，甲隊(duì)單獨(dú)做需10天，乙隊(duì)單獨(dú)需幾天？”引導(dǎo)學(xué)生利用模型逆向思維：$\frac{1}{6}$$\frac{1}{10}$=$\frac{1}{15}$。2.學(xué)生活動(dòng)：小組討論兩種方法的異同與優(yōu)劣，普遍能發(fā)現(xiàn)抽象為“1”更簡(jiǎn)潔通用。嘗試解決逆向問(wèn)題，理解模型的可逆性。3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否說(shuō)出兩種方法的聯(lián)系（都是“總量÷效率和”）。2.能否體會(huì)到抽象方法的優(yōu)越性。3.能否逆向應(yīng)用模型解決問(wèn)題。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：1.5.★模型本質(zhì)：無(wú)論假設(shè)總量為具體數(shù)還是“1”，核心關(guān)系“總量÷效率和=時(shí)間”不變。抽象為“1”是普適性最強(qiáng)的策略。“這個(gè)‘1’真是個(gè)奇妙的‘萬(wàn)能鑰匙’?！?.6.★模型的可逆性：已知合作時(shí)間與工作效率和，可以求單獨(dú)完成時(shí)間。這體現(xiàn)了除法與乘法的互逆關(guān)系在模型中的應(yīng)用。3.7.思想升華：數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔與通用。好的模型能讓我們以不變應(yīng)萬(wàn)變。任務(wù)五：總結(jié)梳理，形成問(wèn)題解決策略1.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生共同總結(jié)解決工程問(wèn)題的一般步驟。我會(huì)用板書(shū)形成清晰的流程圖：1.審題，設(shè)總工作量為“1”。2.確定（或求）各方工作效率。3.根據(jù)問(wèn)題，分析是求合作時(shí)間、剩余時(shí)間，還是逆向求效率。4.依據(jù)基本模型或變式列式解答。5.檢驗(yàn)答案是否合理?！罢?qǐng)同桌之間，用這些步驟互相解釋一下剛才做過(guò)的任何一道題?！?.學(xué)生活動(dòng)：跟隨教師總結(jié)，復(fù)述關(guān)鍵步驟。同桌互講，鞏固流程。3.即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否流暢說(shuō)出解決問(wèn)題的關(guān)鍵步驟。2.在互講中，表述是否清晰、有條理。4.形成知識(shí)、思維、方法清單：1.5.★問(wèn)題解決流程（元認(rèn)知策略）：審（設(shè)“1”）→定（效率）→析（關(guān)系）→列（模型）→驗(yàn)（合理）。這是學(xué)生自我監(jiān)控的清單?！耙院笥龅焦こ虇?wèn)題，就在心里默念這五步，你就能成為解題高手?！钡谌?、當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練??本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)分層、變式練習(xí)，時(shí)間約10分鐘。??基礎(chǔ)層（全員必做）：1.修一條路，甲隊(duì)單獨(dú)修要12天，乙隊(duì)單獨(dú)修要18天。兩隊(duì)合作，幾天修完？2.一批零件，師傅單獨(dú)加工要8小時(shí)，徒弟單獨(dú)加工要12小時(shí)。師徒合作，幾小時(shí)可以完成？??綜合層（大多數(shù)學(xué)生完成）：3.錄入一份稿件，甲打字員單獨(dú)打需4小時(shí)，乙打字員單獨(dú)打需5小時(shí)。兩人合作1小時(shí)后，剩下的由甲單獨(dú)完成，還需幾小時(shí)？4.一個(gè)水池，單開(kāi)甲管10小時(shí)注滿，單開(kāi)乙管15小時(shí)注滿。兩管齊開(kāi)，幾小時(shí)能注滿水池的一半？??挑戰(zhàn)層（學(xué)有余力選做）：5.一項(xiàng)工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。問(wèn)甲、乙、丙三人合作，幾天完成？??反饋機(jī)制：學(xué)生獨(dú)立完成后，首先在小組內(nèi)交換批改基礎(chǔ)題，并討論糾錯(cuò)。教師利用實(shí)物投影展示綜合層題目的不同解法（特別是第4題“一半”的處理），請(qǐng)學(xué)生講解思路。挑戰(zhàn)題請(qǐng)嘗試完成的學(xué)生分享，教師點(diǎn)評(píng)其“整體思想”（將三人兩兩效率和看作整體求解）的精妙之處。第四、課堂小結(jié)??引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化總結(jié)與反思?！巴瑢W(xué)們，這節(jié)課我們共同經(jīng)歷了什么？”（學(xué)生可能回答：學(xué)了工程問(wèn)題，學(xué)會(huì)了設(shè)“1”……）“是的，我們不僅僅是學(xué)了一類題，更是掌握了一種數(shù)學(xué)建模的思想。誰(shuí)能用簡(jiǎn)單的圖示或關(guān)鍵詞，勾勒出我們今天構(gòu)建的‘知識(shí)大廈’？”請(qǐng)學(xué)生嘗試?yán)L制簡(jiǎn)易思維導(dǎo)圖（核心：?jiǎn)挝弧?”→工作效率→基本模型→變式應(yīng)用）。??“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的思維突破點(diǎn)在哪里？”引導(dǎo)學(xué)生反思“接受抽象的單位‘1’”這一關(guān)鍵步驟?！盎仡櫸覀兊奈宀浇忸}法，你覺(jué)得哪一步自己掌握得最好？哪一步還需要加強(qiáng)練習(xí)？”??作業(yè)布置：??必做（基礎(chǔ)+綜合）：完成練習(xí)冊(cè)對(duì)應(yīng)章節(jié)的基礎(chǔ)應(yīng)用題及一道綜合變式題。??選做（探究/創(chuàng)造）：1.（探究）請(qǐng)你創(chuàng)作一道包含“合作、中途離開(kāi)、剩余工程”等元素的工程問(wèn)題，并寫出詳細(xì)解答過(guò)程。2.（生活鏈接）調(diào)查一下你家附近某項(xiàng)市政工程的預(yù)計(jì)工期，嘗試用今天所學(xué)的思想，分析其工期安排的合理性（可做簡(jiǎn)化假設(shè)）。六、作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)（鞏固核心）1.直接應(yīng)用模型：完成教材課后練習(xí)中關(guān)于基礎(chǔ)工程問(wèn)題的3道題目。2.概念辨析：判斷對(duì)錯(cuò)并說(shuō)明理由：“一項(xiàng)工程，甲隊(duì)5天完成，乙隊(duì)6天完成，兩隊(duì)合作效率是$\frac{1}{11}$?！保ǎ?.簡(jiǎn)單變式：一份稿件，小王單獨(dú)打需10小時(shí)，小李單獨(dú)打需15小時(shí)。兩人合作2小時(shí)，可以完成這份稿件的幾分之幾？拓展性作業(yè)（情境應(yīng)用）4.情境化問(wèn)題：學(xué)校食堂準(zhǔn)備一批面粉，如果全部用來(lái)做饅頭，可供全校師生吃6天；如果全部用來(lái)做面條，可供吃9天。如果食堂決定一天內(nèi)同時(shí)提供饅頭和面條，且消耗面粉的速度與單獨(dú)制作時(shí)相同，這批面粉可供這樣同時(shí)供應(yīng)幾天？5.微型項(xiàng)目：請(qǐng)你為班級(jí)“圖書(shū)角整理”活動(dòng)設(shè)計(jì)一個(gè)工作方案。假設(shè)小明單獨(dú)整理需要40分鐘，小華單獨(dú)整理需要60分鐘。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種不同的合作方案（如：同時(shí)開(kāi)始合作整理；或一人先開(kāi)始，另一人中途加入），并分別計(jì)算所需的整理時(shí)間。簡(jiǎn)要說(shuō)明你更推薦哪種方案及理由。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（開(kāi)放創(chuàng)新）6.開(kāi)放探究：查閱資料或自行思考，生活中有哪些問(wèn)題可以抽象為“工程問(wèn)題”模型？請(qǐng)至少舉出一個(gè)不同于課堂所講的例子，并簡(jiǎn)要說(shuō)明如何建模。（提示：如水池注水放水、商場(chǎng)扶梯運(yùn)送乘客等）7.跨學(xué)科聯(lián)系（與科學(xué)/勞技）：假設(shè)完成一個(gè)手工制作需要多道工序，每道工序由不同的人負(fù)責(zé)且有固定耗時(shí)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)包含三道工序的簡(jiǎn)單手工任務(wù)，并計(jì)算如果三人流水線合作（即一人完成即刻傳給下一人），與三人各自獨(dú)立完成整個(gè)作品相比，總耗時(shí)有何變化？這體現(xiàn)了什么原理？七、本節(jié)知識(shí)清單及拓展★1.工程問(wèn)題的核心假設(shè)：當(dāng)工作總量未知時(shí)，可將其抽象為整體，用單位“1”來(lái)表示。這是化未知為已知、進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基石。★2.工作效率的分?jǐn)?shù)表示：如果已知一個(gè)人（或隊(duì)伍）單獨(dú)完成全部工程需要a天，那么他（它）每天的工作效率就是$\frac{1}{a}$。這表示每天完成總工程量的a分之一?！?.基本合作模型：多人合作完成全部工程所需時(shí)間（合作時(shí)間）=工作總量“1”÷工作效率和。即：合作時(shí)間=1÷($\frac{1}{甲時(shí)}$+$\frac{1}{乙時(shí)}$+…)。這是解決所有工程問(wèn)題的核心公式?！?.“效率和”的意義：幾個(gè)人工作效率相加的和，表示他們合作一天所能完成的工作量占總量的幾分之幾。例如，$\frac{1}{6}$表示合作一天能完成總工程的六分之一?！?.模型變式：涉及部分工作量：當(dāng)問(wèn)題不是求完成全部時(shí)間，而是求完成一部分或剩余部分時(shí)，只需將公式中的總量“1”替換為對(duì)應(yīng)的部分工作量分?jǐn)?shù)即可。如完成一半：$\frac{1}{2}$÷效率和?！?.模型變式：先后參與/中途離開(kāi)：將工程按參與人員的變化分段處理，每一段視為一個(gè)獨(dú)立的子工程問(wèn)題。核心是清晰計(jì)算每一段開(kāi)始時(shí)“剩余的工作量”。★7.關(guān)鍵易錯(cuò)點(diǎn)辨析：工作效率是$\frac{1}{時(shí)間}$，效率和是這些分?jǐn)?shù)相加，絕非$\frac{1}{時(shí)間之和}$?？赏ㄟ^(guò)賦予具體總量舉例驗(yàn)證?！?.逆向運(yùn)用模型：已知合作完成的總時(shí)間，可以反求其中一方的單獨(dú)完成時(shí)間。因?yàn)椋杭椎男?效率和乙的效率，即$\frac{1}{甲時(shí)}$=$\frac{1}{合時(shí)}$$\frac{1}{乙時(shí)}$?！?.解決問(wèn)題的通用流程（元認(rèn)知）：一設(shè)（設(shè)總量為“1”）、二找（找各方效率）、三析（分析是求時(shí)間、部分量還是效率）、四列（依據(jù)模型列式）、五驗(yàn)（檢查結(jié)果合理性）?！?0.數(shù)學(xué)思想提煉：本課核心體現(xiàn)了“模型思想”與“抽象思想”。將實(shí)際工程問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，并用該模型統(tǒng)一解決千變?nèi)f化的問(wèn)題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的威力?！?1.生活實(shí)例拓展：工程問(wèn)題模型不僅限于修路、挖渠，也適用于“注排水問(wèn)題”、“行程中的相遇問(wèn)題（將總路程視為‘1’）”、“消費(fèi)與生產(chǎn)”等具有“完成總量、效率、時(shí)間”三量關(guān)系的情境?！?2.單位“1”的再認(rèn)識(shí)：這里的“1”是一個(gè)相對(duì)單位，代表一個(gè)完整的整體。它在分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用中具有統(tǒng)領(lǐng)性地位，本課是其在復(fù)雜情境中的一次深刻應(yīng)用。八、教學(xué)反思??（一）教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度分析：從當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練的完成情況看，約85%的學(xué)生能獨(dú)立正確解決基礎(chǔ)層問(wèn)題，表明知識(shí)目標(biāo)與基本能力目標(biāo)達(dá)成度良好。在解決綜合層問(wèn)題時(shí)，約65%的學(xué)生能自主分析并正確列式，顯示出對(duì)模型變式有一定理解。挑戰(zhàn)題僅有少數(shù)學(xué)生解出，但他們的分享激發(fā)了全班的思維火花，創(chuàng)新意識(shí)目標(biāo)得以滲透。情感目標(biāo)在小組合作與解決“幫助校長(zhǎng)”等生活化問(wèn)題中自然達(dá)成，學(xué)生參與度高。??（二）核心環(huán)節(jié)有效性評(píng)估：1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)：真實(shí)情境與認(rèn)知沖突迅速抓住了學(xué)生注意力，“如何算”的核心問(wèn)題貫穿全課，驅(qū)動(dòng)性強(qiáng)。2.任務(wù)一（具體到抽象）：這個(gè)“腳手架”搭建得最為關(guān)鍵。從具體數(shù)值計(jì)算到抽象為“1”的引導(dǎo)過(guò)程，有效化解了多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知障礙。巡視時(shí)聽(tīng)到有學(xué)生嘀咕“原來(lái)可以這樣假設(shè)！”，說(shuō)明突破點(diǎn)選擇準(zhǔn)確。3.分層任務(wù)設(shè)計(jì)：差異化的探究任務(wù)滿足了不同層次學(xué)生的需求?；A(chǔ)組學(xué)生在完成基本模型應(yīng)用后獲得了信心，挑戰(zhàn)組學(xué)生的復(fù)雜分段思路得到了展示和錘煉，體現(xiàn)了學(xué)生本位。??（三）學(xué)生表現(xiàn)深度剖析：在課堂中，我觀察到學(xué)生主要分化為三種思維