15.3可化為一元一次方程的分式方程第1課時(shí)

分式方程及其解法

第15章

分式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分式方程的意義，掌握解分式方程的一般方法和步驟.(重點(diǎn))2.理解解分式方程時(shí)可能無解的原因，并掌握解分式方程中驗(yàn)根的方法.(難點(diǎn))3.在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，在解分式方程的方法中培養(yǎng)探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣.1.什么是一元一次方程?2.什么是分式?

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是

1，這樣的方程叫做一元一次方程.

形如(A、B是整式，且

B中含有字母)的式子，叫做分式.問題1

輪船在順?biāo)畷r(shí)航行80km所需的時(shí)間和在逆水中航行60km所需的時(shí)間相同.已知水流的速度是3km/h，問輪船在靜水中的速度.分式方程的概念1分析

設(shè)輪船在靜水中的速度為

xkm/h，根據(jù)題意，得問題2

為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某校團(tuán)總支號(hào)召同學(xué)們自愿捐款.已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等.如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為

x人，那么

x應(yīng)滿足怎樣的方程？思考

上面問題中我們得到的兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？分母中都含有未知數(shù).分式方程的概念

分式方程的特征方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.(1)是等式；(2)方程中含有分母；(3)分母中含有未知數(shù).知識(shí)要點(diǎn)判一判

下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π

是常數(shù))．（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個(gè)分母

都約去？（4）這樣做的依據(jù)是什么？解分式方程最關(guān)鍵的問題是什么？（1）如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？如何去分母你能試著解這個(gè)分式方程嗎？分式方程的解法2方程的最簡(jiǎn)公分母是：(x

+

3)(x

-

3).解：方程兩邊都乘以

(x+3)(x

-

3)，約去分母，得80(x

-

3)=60(x+3)，解這個(gè)整式方程，得x=21.x=21是原分式方程的解嗎？檢驗(yàn)：將

x

=21代入原分式方程中，左邊

=

=

右邊，因此

x

=21是原分式方程的解.解分式方程的基本思路：是將方程的兩邊都乘同一個(gè)整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡(jiǎn)公分母.

歸納總結(jié)例1

解方程：解：方程兩邊都乘以(x2－1)，約去分母，得解這個(gè)整式方程，得x=1.典例精析x=1是原分式方程的解嗎？檢驗(yàn)：將

x=1代入原分式方程檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這時(shí)分母

x-

1和

x2-

1的值都為

0，相應(yīng)的分式方程無意義.因此

x

=

1雖是整式方程

x

+

1=2

的解，但不是原分式方程的解.實(shí)際上，這個(gè)分式方程無解.想一想：

上面兩個(gè)分式方程中，為什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式兩邊同乘不為

0的式子，所得整式方程的解與分式方程的解相同.我們?cè)賮碛^察去分母的過程：80(x-3)=60(x+3)兩邊同乘(x+3)(x-3)當(dāng)x=21時(shí)，(x+3)(x-3)≠0真相揭秘：分式兩邊同乘了等于

0的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解與原分式方程無關(guān)），但其解使原分式方程中的分母為

0，故這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的解.x+1=2兩邊同乘(x2－1)當(dāng)

x=1時(shí)，(x2－1)=0

在將分式方程變形為整式方程時(shí)，方程兩邊都乘以同一個(gè)含有未知數(shù)的整式，并約去了分母，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解(或根)，這種根通常稱為增根.因此，在解分式方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn).解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為

0，所以分式方程的解必須檢驗(yàn)．分式方程解的檢驗(yàn)——必不可少的步驟怎樣檢驗(yàn)？歸納總結(jié)檢驗(yàn)方法：

將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為

0，則整式方程的解是原分式方程的解；如果為

0，即為增根.如例1

中，把

x=1代入

x2－1，其值為

0，可知

x=1是原分式方程的增根.1.在方程的兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；2.解這個(gè)整式方程；3.把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；4.寫出原方程的解.簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”.知識(shí)要點(diǎn)“去分母法”解分式方程的步驟用框圖的方式總結(jié)為：分式方程整式方程去分母解整式方程x=a

檢驗(yàn)x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

x=a時(shí)最簡(jiǎn)公分母是否為零？否是解

方程兩邊都乘以

x(x-

7)，約去分母，得100(x-

7)=30x.解這個(gè)整式方程，得

x=10.例2

解方程：檢驗(yàn):把

x=10代入

x(x-

7)，得10×(10

-

7)≠0所以

x=10是原方程的解.典例精析例3

若關(guān)于

x的分式方程

無解，求

m的值．解析：先把分式方程化為整式方程，再分兩種情況討論求解：整式方程無解與或其解使分式方程的最簡(jiǎn)公分母為零．典例精析解：方程兩邊同乘

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①當(dāng)

m－1＝0

時(shí)，此方程無解，此時(shí)

m＝1；②整式方程的解使分式方程的最簡(jiǎn)公分母為零，即

x＝2

或

x＝－2.當(dāng)

x＝2

時(shí)，(m－1)×2＝－10，解得

m＝－4；當(dāng)

x＝－2時(shí)，(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

∴

m

的值是

1，－4或

6.

分式方程無解與分式方程有增根所表達(dá)的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對(duì)使最簡(jiǎn)公分母為

0的數(shù)，分式方程無解不但包括使最簡(jiǎn)公分母為

0的數(shù)，而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數(shù)．方法總結(jié)分式方程誤區(qū)(1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘步驟(去分母法)一化(分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程)；二解(整式方程)；三檢驗(yàn)(把解代入到最簡(jiǎn)公分母中，看是否為零)(2)

去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí)，沒有添括號(hào)(因分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用)(3)

忘記檢驗(yàn)定義分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程2.

要把方程

化為整式方程，方程兩邊可以同乘(

)DA.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列關(guān)于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解分式方程

時(shí)，去分母后得到的整式方程是

(

)A.2(x-

8)

+

5x

=

16(x

-

7)B.2(x

-

8)

+

5x

=

8C.2(x

-

8)

-

5x

=

16(x

-

7)D.2(x

-

8)

-

5x

=

8A4.若關(guān)于

x的分式方程

無解，則

m的值為(

)A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或

－1.5D5.解方程：解：

方程兩邊乘

x(x-3)，得2x=3x-9.解得x=9.檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時(shí)，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解為x=9.6.解方程：解：

方程兩邊乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.檢驗(yàn)：當(dāng)

x=1時(shí)，(x-1)(x+2)=0，

因此

x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無解.7.解方程：解：去分母，得解得檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母