運算律統(tǒng)攝下的問題解決——“連乘、乘加、乘減”混合運算教學設計（五年級數(shù)學）一、教學內(nèi)容分析??本課內(nèi)容隸屬于“數(shù)的運算”領域，是學生在已掌握小數(shù)乘法和同級運算順序的基礎上，首次正式接觸含有兩級運算的整數(shù)、小數(shù)混合運算。從《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》看，其坐標清晰：在知識技能上，要求學生“能進行簡單的整數(shù)、小數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）”，這是構(gòu)建完整運算體系的關鍵一環(huán)；在過程方法上，本課是滲透“模型意識”與“推理意識”的絕佳載體，引導學生從具體生活情境中抽象出數(shù)學問題，并依據(jù)運算意義和已有規(guī)則進行邏輯推理，確定運算順序；在素養(yǎng)價值上，運算不僅是技能，更是一種嚴謹?shù)乃季S體操。通過解決實際問題，培養(yǎng)學生有序、靈活的數(shù)學思維和“先想后算”的審題習慣，其育人價值在于塑造理性、條理的思考品質(zhì)。本課在單元內(nèi)承上啟下，既鞏固了小數(shù)乘法的算理算法，又為后續(xù)學習整數(shù)運算律推廣到小數(shù)、解決更復雜的實際問題奠定堅實的運算基礎。教學重難點預判在于：學生能否跳出“從左往右”的思維定式，理解并靈活運用“先乘法，后加減”的運算順序規(guī)則。??基于“以學定教”原則，學情研判如下：學生已熟練掌握小數(shù)乘法的計算及連乘的運算順序，對乘加、乘減的算式形式不陌生，但在具體情境中自主確定運算順序、并清晰表述算理是全新挑戰(zhàn)。常見認知誤區(qū)是受“從左到右”的慣性思維影響，忽略運算的優(yōu)先級?？赡艽嬖诘乃季S難點在于，當乘法和加法/減法混合出現(xiàn)時，為何必須先算乘法？這需要追溯到乘法的本質(zhì)意義（即求幾個相同加數(shù)和的簡便運算）進行理解。在教學過程中，我將通過創(chuàng)設對比性情境、組織算理辯論、設計階梯式練習等手段，進行動態(tài)的形成性評估。例如，在關鍵環(huán)節(jié)設置“判斷并說理”活動，即時診斷學生是機械記憶規(guī)則還是真正理解。針對不同層次學生，支持策略包括：為理解困難的學生提供更直觀的圖示或?qū)W具操作支持；為掌握較快的學生設計需要逆向思考或一題多解的挑戰(zhàn)任務，確保所有學生都能在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)獲得發(fā)展。二、教學目標??知識目標：學生通過解決真實問題，理解并掌握“在沒有括號的算式里，如果既有乘法又有加減法，要先算乘法，后算加減法”的運算順序規(guī)則。能夠正確列出連乘、乘加、乘減的混合運算式，并熟練、準確地進行計算，形成結(jié)構(gòu)化的運算知識網(wǎng)絡。??能力目標：聚焦數(shù)學核心能力中的“運算能力”與“解決問題能力”。學生能夠從具體生活情境中提取數(shù)學信息，分析數(shù)量關系，列出正確的混合運算算式解決問題。在探究運算順序的過程中，發(fā)展基于算理的邏輯推理能力和清晰、有條理的口頭與書面表達能力。??情感態(tài)度與價值觀目標：在小組合作探究運算規(guī)則的過程中，培養(yǎng)學生樂于分享、敢于質(zhì)疑、嚴謹求實的科學態(tài)度。通過解決貼近生活的實際問題，體會數(shù)學的應用價值，增強學習數(shù)學的興趣和信心，初步養(yǎng)成“先觀察、再思考、后計算”的良好審題習慣。??科學（學科）思維目標：重點發(fā)展學生的“模型意識”與“推理意識”。引導學生經(jīng)歷“具體情境—抽象算式—歸納規(guī)則—解釋應用”的完整建模過程。通過對比、分析不同算式的運算順序，運用數(shù)學語言進行合乎邏輯的推理與論證，感悟數(shù)學的嚴謹性與一般性。??評價與元認知目標：引導學生學會自我監(jiān)控學習過程。能夠依據(jù)明確的評價量規(guī)（如：列式正確、順序合理、計算準確、表述清晰）對同伴或自己的解題過程進行評價。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，能夠回顧學習路徑，反思“我是如何學會這個規(guī)則的？”以及“在哪些地方容易出錯？”，提升元認知水平。三、教學重點與難點??教學重點：掌握“先乘除后加減”的運算順序規(guī)則，并能正確計算連乘、乘加、乘減的兩步混合運算。其確立依據(jù)源于課程標準對第二學段“數(shù)的運算”的基本要求，此規(guī)則是整個四則混合運算體系的基石，對后續(xù)學習整數(shù)、小數(shù)乃至分數(shù)的復雜混合運算具有決定性影響。從能力立意看，正確運用該規(guī)則是學生運算能力從單一走向綜合、從機械走向靈活的關鍵標志，是解決復雜實際問題的先決條件。??教學難點：理解“為什么先算乘法”的算理本質(zhì)，并能在具體問題情境中靈活、準確地應用運算順序規(guī)則。難點成因在于：首先，這打破了學生長期形成的“從左往右”依次計算的思維定式，認知上需要跨越；其次，部分學生可能僅停留在規(guī)則記憶層面，未能從乘法是“相同加數(shù)和的簡便運算”這一意義層面理解其優(yōu)先級，導致在變式或逆向問題中出錯。突破方向在于，設計具有認知沖突的情境，引導學生從問題本源（數(shù)量關系）出發(fā)，通過對比、說理、驗證，實現(xiàn)算理與算法的統(tǒng)一。四、教學準備清單??1.教師準備??1.1媒體與教具：交互式電子白板課件，內(nèi)含情境動畫、對比性問題、階梯式練習題組。??1.2學習材料：設計分層學習任務單（含探究記錄區(qū)、分層練習區(qū)）、實物投影儀用于展示學生作品。??2.學生準備??復習小數(shù)乘法計算方法，準備課堂練習本。提前觀察生活中涉及“先乘后加”計算的實際例子（如購物結(jié)賬）。??3.環(huán)境布置??學生按4人異質(zhì)小組就座，便于開展合作探究與討論。黑板劃分出“問題區(qū)”、“算法區(qū)”和“規(guī)則區(qū)”。五、教學過程第一、導入環(huán)節(jié)??1.情境創(chuàng)設與認知沖突：“同學們，周末小明和媽媽去超市采購，遇到了兩個有趣的數(shù)學問題，我們一起幫幫他。”出示情境：①買3瓶單價5.2元的果汁，一共多少錢？②買1個12元的蛋糕和3瓶單價5.2元的果汁，一共應付多少錢？??1.1喚醒舊知，提出問題：“第一個問題，相信大家秒答！列式是？對，5.2×3，這是我們已經(jīng)學過的連乘嗎？不，是簡單的一步乘法。那第二個問題呢？‘一共應付多少錢’，需要把哪幾部分合起來？有蛋糕的錢，還有……3瓶果汁的總價。怎么列綜合算式？”預計學生可能列出12+5.2×3或5.2×3+12。“算式列出來了，可這個算式里有加號又有乘號，該先算誰呢？是先算12+5.2，還是先算5.2×3？今天我們就一起來研究這類‘連乘、乘加、乘減’的混合運算該怎么算?！??1.2明晰路徑：“我們將從具體問題出發(fā)，通過小組合作探尋運算順序的道理，然后總結(jié)規(guī)則，最后挑戰(zhàn)更靈活的問題。請回想一下，以前我們規(guī)定加減或乘除混合時，順序是怎樣的？那么遇到‘加’和‘乘’相遇，順序又該如何規(guī)定？讓我們開始探究吧！”第二、新授環(huán)節(jié)??任務一：聚焦情境，初探順序??教師活動：聚焦導入環(huán)節(jié)的問題②，組織全班討論。首先，引導學生用分步計算解釋數(shù)量關系：“蛋糕的12元是一個部分，3瓶果汁的總價是另一個部分，總價是這兩部分的和。3瓶果汁的總價怎么算？”接著，指向綜合算式12+5.2×3，拋出核心問題：“要直接用一個式子表示總價，就寫成了這樣。請大家在小組內(nèi)討論：你認為應該先算哪一步？為什么？能不能用你生活中的經(jīng)驗或者數(shù)學道理來說服大家？”教師巡視，傾聽各小組觀點，特別關注堅持“從左往右”計算學生的理由。??學生活動：小組成員積極發(fā)表看法。可能產(chǎn)生分歧：一部分認為應先算12+5.2，因為算式從左往右寫；另一部分則認為應先算5.2×3，因為需要先算出3瓶果汁的總價。學生會嘗試用分步計算的過程（先算5.2×3=15.6，再算12+15.6=27.6）來支持自己的觀點，或用“單價×數(shù)量=總價”的數(shù)量關系進行說理。??即時評價標準：1.觀點是否基于問題情境中的數(shù)量關系（如“必須先求出果汁的總價才能和蛋糕錢相加”）。2.表達是否清晰，能否傾聽并回應同伴的不同意見。3.是否能將生活化的解釋嘗試用數(shù)學語言（如“乘法是加法的簡便運算”）進行初步概括。??形成知識、思維、方法清單：★混合運算源于實際問題：綜合算式是分步計算的簡潔表達，其運算順序由實際問題中的數(shù)量關系決定?！醪降囊?guī)則猜想：在乘加混合的算式中，可能需要先算乘法，再算加法。教師可提示：“看來，大家傾向于先算乘法。這和我們以前‘從左往右’的習慣不一樣，這個新規(guī)則有道理嗎？我們再多看幾個例子驗證一下?！??任務二：多元驗證，確認規(guī)則??教師活動：提供一組對比性、結(jié)構(gòu)化的例子供小組探究驗證。例如：A.一盒鉛筆12支，老師買了3盒，又單買了5支，一共多少支？(12×3+5)B.每本書25元，買2本，付100元，應找回多少元？(10025×2)。引導學生：“請每個小組任選12個例子，像剛才一樣，先說說題意，再用分步計算思考，最后看看綜合算式怎樣算才合理。把你們的發(fā)現(xiàn)記錄下來。”組織小組匯報，關鍵追問：“如果先算加/減法，結(jié)果表示什么意思？符合題意嗎？”“從這些不同的例子中，你們發(fā)現(xiàn)了什么共同點？”??學生活動：小組分工合作，分析不同情境，列出算式并討論運算順序。通過計算驗證，發(fā)現(xiàn)只有先算乘法，得到的結(jié)果才符合實際意義。在匯報中，總結(jié)共同規(guī)律：“不管乘在前面還是后面，都要先算乘法。”“減法和乘法混合，也是先算乘法。”學生嘗試用更概括的語言描述規(guī)則。??即時評價標準：1.能否將具體情境中的數(shù)量關系與算式運算順序正確關聯(lián)。2.驗證過程是否嚴謹（分步與綜合對比）。3.歸納結(jié)論時，語言是否趨向準確、完整（如提及“沒有括號”、“既有乘法又有加減法”等關鍵限定）。??形成知識、思維、方法清單：★運算順序的算理依據(jù)：先算乘法，是因為在情境中，乘法部分（如總價、總數(shù)）是一個獨立的“整體”，加或減是在這個“整體”基礎上進行的。這是規(guī)則背后的道理?！锊煌耆珰w納法：通過多個具體例子的共同特征，歸納出一般性的數(shù)學規(guī)則，這是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法。教師點評：“大家通過自己的探究，當了一回‘數(shù)學規(guī)則發(fā)現(xiàn)者’，真了不起！現(xiàn)在，讓我們把這個偉大的發(fā)現(xiàn)正式地記錄下來?！??任務三：抽象概括，形成法則??教師活動：引導全班將探究得出的共同認識進行精煉、規(guī)范的數(shù)學表達。提問：“誰能用最準確、最簡練的數(shù)學語言，把這條新規(guī)則說出來？”鼓勵學生補充完善。隨后，教師在黑板“規(guī)則區(qū)”規(guī)范板書：在沒有括號的算式里，既有乘法，又有加、減法，要先算乘法，后算加、減法。并強調(diào)“沒有括號”這一前提。接著，回到導入的算式12+5.2×3進行示范書寫：“現(xiàn)在，我們按照這個規(guī)則來計算。先算什么？在乘法下面畫一條橫線表示第一步。5.2×3等于15.6，然后呢？把沒有算的部分12和加號照抄下來，再算12+15.6?！蓖暾尸F(xiàn)遞等式書寫過程。??學生活動：學生嘗試用自己的話概括規(guī)則，并聆聽、比較不同表述，最終認同并記憶規(guī)范表述。觀察教師板演，學習遞等式計算的規(guī)范書寫格式，明確“先算的步驟畫橫線，沒算的部分要照抄”的要點。跟隨教師口述計算過程。??即時評價標準：1.概括的規(guī)則是否包含“沒有括號”、“先乘后加減”等核心要素。2.觀察學生是否理解遞等式中“照抄”的必要性，避免只寫結(jié)果。3.能否清晰復述計算步驟。??形成知識、思維、方法清單：★核心運算規(guī)則：無括號的乘加、乘減混合運算，先算乘，后算加減。這是必須掌握的算法?！f等式書寫規(guī)范：第一步計算的得數(shù)寫在對應位置，未參與計算的部分要“原樣搬下來”，保持等式的連續(xù)性。這是培養(yǎng)嚴謹習慣的關鍵細節(jié)。教師提示：“規(guī)則記在心里，格式寫在紙上，兩者結(jié)合才能算得又對又好。接下來，我們進行實戰(zhàn)演練。”??任務四：專項對比，深化理解（連乘vs乘加/減）??教師活動：設計對比練習組：①4×2.5×0.7②4+2.5×0.7。提問：“請大家仔細觀察，這兩個算式長得像嗎？但它們分別是哪一類運算？運算順序會一樣嗎？”讓學生獨立計算后，重點討論：“為什么第①題可以從左往右算，而第②題不可以？”引導學生從運算符號的本質(zhì)進行區(qū)分：連乘是“同級運算”，乘加是“兩級運算”。??學生活動：獨立計算兩道題，直觀感受運算順序的不同。在討論中，深入辨析：因為①題全是乘法（同級），所以按順序算；②題有不同級運算，要按“先乘后加”的規(guī)則。學生可能總結(jié)出判斷順序的“兩步法”：一看（有無括號），二辨（是否同級）。??即時評價標準：1.計算是否準確，書寫是否規(guī)范。2.能否清晰說出兩道題運算順序不同的根本原因（運算級別不同）。3.是否提煉出判斷運算順序的一般性策略。??形成知識、思維、方法清單：★同級運算與兩級運算：只有加減或只有乘除，是同級運算，順序從左往右；既有乘除又有加減，是兩級運算，順序先乘除后加減。這是對運算順序規(guī)則的整合性理解?！镆族e點警示：不能只看算式的數(shù)字排列，必須依據(jù)運算符號確定運算級別和順序。教師可強調(diào)：“眼睛要亮，看清符號再下筆，這是避免順序錯誤的不二法門。”??任務五：變式應用，靈活列式??教師活動：出示稍復雜的實際問題，如：“一箱蘋果有24個，每箱售價45.6元。水果店上午賣出5箱，下午賣出3箱。這一天賣蘋果一共收入多少元？（用兩種方法解答）”引導學生分析：“‘一共收入’需要哪些信息？你能從不同角度思考嗎？”鼓勵學生嘗試不同的解題思路（如：先分別求上、下午收入再相加；先求一共賣出多少箱再求總收入）。巡視指導，重點關注學生列綜合算式時對運算順序的把握。??學生活動：獨立思考，嘗試從不同路徑分析數(shù)量關系?？赡艹霈F(xiàn)兩種方法：方法一：45.6×5+45.6×3（乘加混合）；方法二：45.6×(5+3)（涉及括號，為后續(xù)學習埋下伏筆）。學生列出綜合算式，并思考其運算順序。小組內(nèi)交流不同的列式方法，比較其聯(lián)系。??即時評價標準：1.列式是否正確反映了其解題思路。2.在列綜合算式時，是否自覺考慮了運算順序。3.能否理解不同列式方法之間的內(nèi)在聯(lián)系（乘法分配律的雛形）。??形成知識、思維、方法清單：▲解決問題的靈活性：同一問題可能存在多種解題思路和列式方法，體現(xiàn)了數(shù)學思維的多樣性?！锪惺脚c順序的統(tǒng)一：在根據(jù)數(shù)量關系列綜合算式時，要同步思考運算順序，確保算式能正確表達解題步驟。教師小結(jié)：“看來，掌握了運算順序這個工具，我們就能更自信地用綜合算式來清晰地表達我們的解題思路了?！钡谌斕渺柟逃柧??本環(huán)節(jié)構(gòu)建分層、變式訓練體系，提供即時反饋。??1.基礎層（全體必做）：直接應用規(guī)則進行計算。如：7.3×2+5.1，9.61.5×4，2.8×1.5×0.5。目標：鞏固規(guī)則，規(guī)范書寫。反饋：學生獨立完成，投影展示典型規(guī)范作業(yè)和常見格式錯誤（如忘記照抄），學生互評糾正。??2.綜合層（多數(shù)學生完成）：在稍復雜或逆思考情境中應用。①判斷改錯：如4+6×5=10×5=50，讓學生診斷錯誤原因。②解決問題：“一支鋼筆比一本筆記本貴2.5元，買3本筆記本和1支鋼筆共花了20.5元，一本筆記本多少元？”（需要設未知數(shù)或逆向思考）。反饋：小組討論判斷改錯題，說明理由。解決問題題由教師引導分析數(shù)量關系，重點反饋如何將生活語言轉(zhuǎn)化為帶運算順序的數(shù)學算式。??3.挑戰(zhàn)層（學有余力選做）：開放探究。如：用2，3.5，4，0.5這四個數(shù)和“+，，×”組成一個得數(shù)最大的混合運算式（每個數(shù)用一次）。反饋：鼓勵學生分享不同的組合和計算過程，比較結(jié)果，感悟運算順序?qū)Y(jié)果的影響，激發(fā)探究興趣。第四、課堂小結(jié)??引導學生進行結(jié)構(gòu)化總結(jié)與元認知反思。??1.知識整合：“同學們，經(jīng)過這節(jié)課的探險，你的‘運算知識地圖’上增添了哪塊重要的新大陸？”鼓勵學生用關鍵詞或圖示梳理：我們學習了“連乘、乘加、乘減”的混合運算，核心規(guī)則是“先乘除，后加減（無括號時）”，計算時要注意書寫規(guī)范。??2.方法提煉：“回顧一下，我們是怎樣得到這條規(guī)則的？”帶領學生回顧“發(fā)現(xiàn)問題（認知沖突）—舉例驗證—歸納概括—應用鞏固”的探究路徑，強調(diào)從算理理解算法的重要性。??3.作業(yè)布置與延伸：公布分層作業(yè)（詳見第六部分）。并留下思考題：“如果我想改變運算順序，比如在12+5.2×3這個算式中非要先算加法，有什么辦法嗎？”為下節(jié)課學習“括號”的作用做鋪墊。最后總結(jié)：“運算有順序，思維有條理。希望同學們在以后的計算中，都能成為穩(wěn)重又靈活的‘運算小管家’。”六、作業(yè)設計??基礎性作業(yè)（必做）：1.完成練習冊指定頁面的基本計算題（連乘、乘加、乘減各3道），要求規(guī)范書寫遞等式。2.結(jié)合今天所學，從教材或生活中找一個需要用“乘加”或“乘減”混合運算解決的實際問題，并解答。??拓展性作業(yè)（建議完成）：1.“數(shù)學醫(yī)院”門診：擔任小醫(yī)生，診斷3道含有典型運算順序錯誤的計算題，寫出“病因”并“治愈”（改正）。2.創(chuàng)編一個含有“乘加”混合運算情境的數(shù)學小故事，并列出算式計算出結(jié)果。??探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）：1.探究題：觀察算式3×4+5×2和(3×4)+(5×2)，它們的運算順序和結(jié)果有什么異同？這給你什么啟發(fā)？（初步感受括號有時可省略）。2.項目式學習預熱：調(diào)查你家附近超市或菜市場一種商品的單價，設計一個包含購買不同數(shù)量該商品和其他一件商品的“購物方案”，并計算總價，用綜合算式表示。七、本節(jié)知識清單及拓展??★混合運算：算式中含有兩種或兩種以上運算（如加、減、乘、除）的運算。??★運算順序規(guī)則（無括號情況）：1.同級運算：只有加、減法或者只有乘、除法，要按從左往右的順序計算。2.兩級運算：既有乘、除法，又有加、減法，要先算乘、除法，后算加、減法。本課核心是掌握第2條。??▲規(guī)則的理解（算理）：“先乘除后加減”的規(guī)定，源于實際問題中數(shù)量關系的邏輯。乘法往往求的是一個“整體量”（如總價、總面積），加減法則是在這些“整體量”之間進行合并或比較。先算出這些整體量，才能進行后續(xù)的加減。??★遞等式計算格式：進行混合運算脫式計算時，需用遞等式。要點：把先算的一步畫線標出，計算結(jié)果寫在相應位置；暫時未運算的部分要連同它前面的符號原樣照抄下來，直至所有運算完成。??★連乘運算：屬于同級運算（只有乘法），按從左往右的順序依次計算。如：0.8×1.2×5，先算0.8×1.2=0.96，再算0.96×5=4.8。??▲易錯點辨析：最容易混淆的是形如a+b×c與a×b×c的運算順序。關鍵看符號：前者是兩級運算（乘加），先乘后加；后者是同級運算（連乘），從左往右。切忌不審符號，盲目計算。??▲列綜合算式解決問題：根據(jù)題意列式時，要同步思考運算順序。列出的綜合算式應能準確反映解題的步驟和邏輯。如果分步計算的中間結(jié)果是下一步的必要條件，則在綜合算式中，產(chǎn)生這個中間結(jié)果的運算（往往是乘法）就需要優(yōu)先進行。??▲與后續(xù)知識的聯(lián)系：本課規(guī)則是四則混合運算的基石。接下來將學習使用括號來改變預設的運算順序，并最終將整數(shù)運算律推廣到小數(shù)，實現(xiàn)簡便運算。理解本課規(guī)則是學習所有這些后續(xù)內(nèi)容的前提。八、教學反思??（一）目標達成度分析從預設的課堂活動與反饋來看，本課核心知識目標——掌握“先乘后加減”的運算順序，通過“任務一至三”的探究式學習，大部分學生能夠達成。在鞏固練習中，基礎層題目正確率較高，表明規(guī)則已初步內(nèi)化。能力目標方面，學生從情境中提取信息、列式的能力在“任務五”中得到鍛煉，但部分學生在面對逆思考問題時仍顯吃力，說明分析復雜數(shù)量關系的能力需持續(xù)培養(yǎng)。素養(yǎng)層面，學生在小組討論中展現(xiàn)了一定的說理與傾聽意識，模型意識與推理意識在探究過程中得以滲透。??（二）核心環(huán)節(jié)有效性評估“導入環(huán)節(jié)”的生活情境成功制造了認知沖突，有效激發(fā)了探究欲?！叭蝿斩ǘ嘣炞C）”是關鍵轉(zhuǎn)折點，通過不同例子的“壓力測試”，學生自我修正了“從左往右”的定式思維，真正理解了規(guī)則的必要性。此處，我追問了一句：“如果先算加法，得到的數(shù)在故事里代表什么？說得通嗎？”這一問促使學生將運算結(jié)果反扣到情境意義中去檢驗，實現(xiàn)了算理理解的深化?！叭蝿账模▽ｍ棇Ρ龋痹O計是有效的防錯預案，將易混淆點前置辨析，減少了后續(xù)練習中的類型化錯誤。??（三）學生表現(xiàn)與差異化關照剖析課堂中，學生大致呈現(xiàn)三種狀態(tài)：一是“快速理解型”，他們能迅速關聯(lián)舊知（乘法意義），并主導小組說理；二是“逐步建構(gòu)型”，他們需要更多具體例子的支撐和同伴的講解，才能逐步接受新規(guī)則；三是“機械記憶型”，他們可能游離于算理討論之外，但能通過模仿記住規(guī)則進行計算。針對差異，學習任務單的分層練習起到了分流作用。對于第二類學生，我在巡視中給予了