西安市高新逸翠園中學2025-2026學年度第一學期八年級期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列各數中．是無理數的是（）A. B. C. D.2.下列各組數中，是“勾股數”的是（）A2，3，5 B.0.3 C.5，6，8 D.8，15，173.如圖，已知，，則的度數（）A. B. C. D.4.有一組被墨水污染的數據：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，這組數據的箱線圖如圖所示，下列說法不正確的是（）A.這組數據的下四分位數是4B.這組數據的中位數是10C.這組數據上四分位數是15D.被墨水污染的數據一個數是3，另一個數可能是135.若點M的坐標為，，軸，且點N在第四象限，那么點N的坐標為（）A. B. C. D.6.一次函數和在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.7.下列命題是真命題的是（）A.三角形的一個外角大于任何一個內角B.帶根號的數一定是無理數C.如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行D.平方根和立方根都等于它本身的數為08.如圖，已知的頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點C的坐標為，與關于所在直線對稱．若點恰好落在y軸上，則點的坐標為（）A. B. C. D.9.中國古代人民在生產生活中發(fā)現了許多數學問題，在（孫子算經）中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設共有輛車，人，則可列方程組為（）A. B. C. D.10.如圖，在長方形ABCD中，點E為AB上一點，且CD=5，AD=2，AE=3,動點P從點E出發(fā)，沿路徑E-B-C-D運動，則△DPE的面積y與點P運動的路徑長x之間的關系用圖象表示大致為（）A. B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.若與最簡二次根式是同類二次根式，則的值為______．12.若直線向上平移2個單位長度后經過點，則的值為______．13.如圖，，則數軸上點B所表示的數是____________14.已知關于x，y的二元一次方程組，且x，y滿足，則k的值為_______．15.如圖，在中，，點在邊上，且，過點作，交的延長線于點，若，則的長為___________．三、解答題（共10小題，滿分75分）16計算：17.解二元一次方程組：（1）（2）18.如圖，已知，用尺規(guī)在上確定一點，使．19.如圖，在平面直角坐標系中．的三個頂點分別為點，，．（1）在圖中作出關于軸對稱的圖形，點、、分別與點、、對應；（2）求的面積．20.如圖，在中，平分交于點，過點作，且交的延長線于點，點在的延長線上，且．（1）求證：；（2）若，，求的度數．21.2023年12月4日是我國第10個“國家憲法日”，為推動廣大學生樹立憲法意識、增強法制觀念，11月底，全國青少年普法網舉辦了全國學生“學憲法講憲法”活動，某中學為了了解九年級學生的答題情況，隨機抽取了部分學生的成績，并將調查結果繪制成了如圖所示的統計圖．所抽取該校九年級學生“學憲法講憲法”活動測試成績統計圖（1）補全兩幅統計圖；（2）本次抽查學生成績的眾數是______，中位數是______；（3）該校九年級學生有1200人，全部參加考試，請估計該校九年級學生在測試中不低于80分的學生有多少人？22.某校八年級學生去西北農林科技大學研學參觀，為了提前做好準備工作，學校安排小轎車送志愿者前往，同時老師和學生乘坐大巴車前往目的地，小轎車到達目的地后立即返回學校，大巴車在目的地等候，如圖是兩車距學校的距離與行駛時間之間的函數圖象．（1）求小轎車返回學校過程（段）的函數表達式；（2）當兩車行駛后在途中相遇，求點的坐標；（3）當時，問大巴車從學校出發(fā)后經過多長時與小轎車相距？23.開學季，某文具店為滿足學生需求計劃購進一批修正帶和筆袋．已知購進2個修正帶和3個筆袋共需46元；購進1個修正帶和2個筆袋共需28元．（1）求修正帶和筆袋的進價分別是多少元/個？（2）該文具店準備購進修正帶和筆袋共800個，已知修正帶售價為12元/個，筆袋的售價為15元/個，其中修正帶的進貨量不低于350個，且不高于450個．在可以全部售出的情況下，求該文具店總利潤的最大值是多少？24.如圖，直線與過點的直線交于點，與軸交于點，軸于點．（1）求點和點的坐標；（2）求直線的函數表達式；（3）在軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．25.如果四邊形的某條對角線垂直平分另一條對角線，那么我們可把這條對角線叫“對稱線”，該四邊形叫做“對稱四邊形”．【問題發(fā)現】（1）如圖1，四邊形是“對稱四邊形”，對角線，交于點O，是“對稱線”，若，，則四邊形的面積是______．【問題探究】（2）如圖2，四邊形是“對稱四邊形”．是“對稱線”，，P，Q分別為線段，上的動點．求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，過A作射線軸，交y軸于點P，E為射線上的動點（不與點A重合），G、F分別為線段和x軸正半軸上的動點，連接，，點M是線段與的交點，并且四邊形為“對稱四邊形”，其中是“對稱線”．請問的面積是否存在最小值？若存在，請求出面積的最小值以及此時所在直線的表達式；若不存在，請說明理由．西安市高新逸翠園中學2025-2026學年度第一學期八年級期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列各數中．是無理數的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了無理數的定義，根據無理數的定義逐一判斷即可，掌握無理數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：A、∵是無理數，∴也是無理數，故選項符合題意；B、是分數，屬于有理數，故選項不符合題意；C、是有限小數，屬于有理數，故選項不符合題意；D、，是有理數，故選項不符合題意；故選：A．2.下列各組數中，是“勾股數”的是（）A.2，3，5 B.0.3 C.5，6，8 D.8，15，17【答案】D【解析】【分析】本題考查勾股數．勾股數必須是三個正整數，且滿足．直接驗證各選項是否同時滿足這兩個條件即可．【詳解】解：勾股數需正整數且滿足．A．，所以不是勾股數．B．0.3,0.4,0.5不是正整數，所以不是勾股數．C．，所以不是勾股數．D．，且均為正整數，所以是勾股數．故選：D．3.如圖，已知，，則的度數（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．先由得到，從而得到，進而得到的度數．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故選：B．4.有一組被墨水污染的數據：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，這組數據的箱線圖如圖所示，下列說法不正確的是（）A.這組數據的下四分位數是4B.這組數據的中位數是10C.這組數據的上四分位數是15D.被墨水污染的數據一個數是3，另一個數可能是13【答案】B【解析】【分析】本題考查中位數，以及數字變化，屬于中檔題．根據題意逐一分析即可．【詳解】解：箱線圖的箱體的左端豎線的對應值為4，所以這組數據的下四分位數是4，說法正確，故該選項不符合題意；箱線圖的箱體中部的豎線在10與11之間，所以這組數據的中位數大于10，說法錯誤，故該選項符合題意；箱線圖的箱體的右端豎線的對應值為15，所以這組數據的上四分位數是15，說法正確，故該選項不符合題意；箱線圖最左側的豎直線段表示該組數據的最小值是3，最右側的豎直線段表示該組數據的最大值，是18，∴被墨水污染的數據中一個數是3，一個數可能是13，說法正確，故該選項不符合題意．故選：B．5.若點M的坐標為，，軸，且點N在第四象限，那么點N的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查坐標與圖形的關系，正確理解坐標系上點的性質是解題的關鍵．由于平行于y軸，點M和點N的x坐標相同；根據和點M的坐標，可求出點N的y坐標；再結合點N在第四象限，據此求解即可．【詳解】解：軸點N的橫坐標與點M的橫坐標相同，即，即或或又點N在第四象限且點的坐標為．故選：B．6.一次函數和在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一次函數與正比例函數的圖象，熟練掌握兩個函數圖象與系數的關系是解答本題的關鍵．根據選項中正比例函數圖象確定k值，再去判定一次函數經過的象限即可判定．【詳解】解：A、選項中沒有過原點的直線，此選項不符合題意；B、由正比例函數圖象可知，則，故一次函數圖象經過第一、三、四象限，此選項符合題意；C、由正比例函數圖象可知，則，由一次函數圖象經過第一、二、四象限，此選項不符合題意；D、由正比例函數圖象可知，則，由一次函數圖象經過第一、二、四象限，此選項不符合題意；故選：B．7.下列命題是真命題的是（）A.三角形的一個外角大于任何一個內角B.帶根號的數一定是無理數C如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行D.平方根和立方根都等于它本身的數為0【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了真假命題，包括三角形外角，無理數，平行線的判定，平方根和立方根等內容，解題的關鍵是掌握相關性質和定義．利用三角形外角性質，無理數，平行線的判定，平方根和立方根等性質和定義逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、三角形的外角大于任何一個不相鄰的內角，該選項是假命題，不符合題意；B、帶根號的數不一定是無理數，比如，該選項是假命題，不符合題意；C、在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行，該選項是假命題，不符合題意；D.平方根和立方根都等于它本身的數為0，該選項是真命題，符合題意．故選：D．8.如圖，已知的頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點C的坐標為，與關于所在直線對稱．若點恰好落在y軸上，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查坐標與圖形變化—對稱，根據對稱的性質和勾股定理可以求得的長度，然后根據點在y軸的負半軸，即可得到點的坐標．【詳解】解：∵點B的坐標為，點C的坐標為，∴，∴，∵與關于所在直線對稱，∴，∵，∴，∵點在y軸負半軸，∴點的坐標為，故選：B．9.中國古代人民在生產生活中發(fā)現了許多數學問題，在（孫子算經）中記載了這樣一個問題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設共有輛車，人，則可列方程組為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據題意可得：，故選：A．10.如圖，在長方形ABCD中，點E為AB上一點，且CD=5，AD=2，AE=3,動點P從點E出發(fā)，沿路徑E-B-C-D運動，則△DPE的面積y與點P運動的路徑長x之間的關系用圖象表示大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出BE的長，然后分①點P在BE上時，利用三角形的面積公式列式得到y與x的關系式，然后選擇答案即可；②點P在BC上時，根據S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP列式整理得到y與x的關系式；③點P在DC上時，利用三角形的面積公式列式得到y與x的函數關系．【詳解】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，∴BC=AD=2，AB=DC=5，∵AE=3，∴BE=AB-AE=5-3=2，①點P在BE上時，，∴y=x（0＜x≤2），②點P在BC上時，S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP，；③點P在DC上時，△DPE的面積，故選C．【點睛】本題考查了動點問題函數圖象，讀懂題目信息，根據點P的位置的不同分三段列式求出y與x的關系式是解題的關鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.若與最簡二次根式是同類二次根式，則的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．根據同類二次根式的定義，被開方數必須相等，據此列出方程求解．【詳解】解：與最簡二次根式是同類二次根式，，解得故答案為：．12.若直線向上平移2個單位長度后經過點，則的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是一次函數的平移，解題的關鍵在于掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據平移的規(guī)律求出平移后的解析式，再將點代入即可求得的值．【詳解】解：直線向上平移2個單位長度，平移后的直線解析式為：．平移后經過，．故答案為：．13.如圖，，則數軸上點B所表示的數是____________【答案】##【解析】【分析】本題考查了數軸上的實數，勾股定理，正確理解相關知識點是解題關鍵．根據勾股定理求出的長，利用，即可得到的長，進而得出最后結果．【詳解】解：如圖，，，，，，，，則數軸上點所表示的數是，故答案為：．14.已知關于x，y的二元一次方程組，且x，y滿足，則k的值為_______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了已知二元一次方程組的解的情況求參數，根據，得：，據此即可求解．【詳解】解：得：∵，∴，∴．故答案為：．15.如圖，在中，，點在邊上，且，過點作，交的延長線于點，若，則的長為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵，作，證明，求出，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的長，進而求出的長，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：作，垂足為，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∵，，∴，解得；故答案為：．三、解答題（共10小題，滿分75分）16.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，絕對值的意義，負整數指數冪，先算絕對值和負整數指數冪，再根據二次根式的混合運算法則求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．詳解】解：．17.解二元一次方程組：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．（1）利用加減消元求解即可；（2）利用加減消元求解即可．【小問1詳解】解：，由②得：，由得：，解得：，將代入①得：，解得：，∴原方程組的解為：；【小問2詳解】解：將原方程組整理得：，由得：，解得：，將代入①得：，解得：，∴原方程組的解為：．18.如圖，已知，用尺規(guī)在上確定一點，使．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查的是基本作圖和線段垂直平分線的性質，熟練掌握這兩點是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質可知，作的垂直平分線，與的交點即為點．【詳解】解：如圖，作線段的垂直平分線交于點，則點即為所求．連接，∵由作圖得，點在的垂直平分線上，∴．∵，∴．19.如圖，在平面直角坐標系中．的三個頂點分別為點，，．（1）在圖中作出關于軸對稱的圖形，點、、分別與點、、對應；（2）求的面積．【答案】（1）見解析（2）6【解析】【分析】本題考查了網格對稱作圖及坐標對稱規(guī)律，掌握軸對稱作圖的方法及坐標對稱規(guī)律是解題的關鍵．（1）分別作出點、、的對稱點、、，順次連接即可得；（2）利用割補法求面積即可．【小問1詳解】解：如圖，作出關于x軸對稱的圖形，∴是所求作圖形；【小問2詳解】解：的面積．20.如圖，在中，平分交于點，過點作，且交的延長線于點，點在的延長線上，且．（1）求證：；（2）若，，求的度數．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】此題考查平行線的判定與性質，關鍵是根據平行線的性質得出解答．（1）根據平行線的性質得出，進而利用角平分線的定義得出，進而利用平行線的判定解答即可；（2）根據平行線的性質得出，進而利用三角形內角和定理解答即可．【小問1詳解】證明：，，平分，，，，，，；【小問2詳解】解：，，，，，，．21.2023年12月4日是我國第10個“國家憲法日”，為推動廣大學生樹立憲法意識、增強法制觀念，11月底，全國青少年普法網舉辦了全國學生“學憲法講憲法”活動，某中學為了了解九年級學生的答題情況，隨機抽取了部分學生的成績，并將調查結果繪制成了如圖所示的統計圖．所抽取該校九年級學生“學憲法講憲法”活動測試成績的統計圖（1）補全兩幅統計圖；（2）本次抽查學生成績的眾數是______，中位數是______；（3）該校九年級學生有1200人，全部參加考試，請估計該校九年級學生在測試中不低于80分的學生有多少人？【答案】（1）見解析（2）90，85（3）792【解析】【分析】本題考查了條形統計圖、扇形統計圖、中位數、眾數及用樣本估計總體等知識點，讀懂條形統計圖和扇形統計圖，并掌握中位數、眾數的求法是解題的關鍵．（1）根據條形統計圖和扇形統計圖，先算出90分學生的人數，再補全條形統計圖；（2）利用中位數、眾數的求法，直接求值即可；（3）先計算抽樣學生中成績不低于80分的百分比，再估計全部九年級學生的成績情況．【小問1詳解】解：∵抽樣學生中成績?yōu)?0分的有8人，占抽樣學生數的，∴本次抽樣人數為：（人），∴抽樣學生中成績?yōu)?0分的有：（人），補全條形統計圖如下：【小問2詳解】解：該組數據中，90分出現的次數最多，∴眾數是90，把該組數據按從小到大的順序排列后，第25、26個數都是80，90，∴該組數據的中位數是，∴所調查學生測試成績，眾數為90，中位數為85，故答案為：90，85；【小問3詳解】解：由扇形圖知，抽樣學生中成績不少于80分的占：，∴該校九年級學生在體育模擬測試中不低于8分的學生約有：（人），∴該校九年級學生在體育模擬測試中不低于8分的學生約有792人．22.某校八年級學生去西北農林科技大學研學參觀，為了提前做好準備工作，學校安排小轎車送志愿者前往，同時老師和學生乘坐大巴車前往目地，小轎車到達目的地后立即返回學校，大巴車在目的地等候，如圖是兩車距學校的距離與行駛時間之間的函數圖象．（1）求小轎車返回學校過程（段）的函數表達式；（2）當兩車行駛后在途中相遇，求點的坐標；（3）當時，問大巴車從學校出發(fā)后經過多長時與小轎車相距？【答案】（1）（2）（3）當時，大巴車從學校出發(fā)后經過或時與小轎車相距20km【解析】【分析】本題考查一次函數的應用，熟練掌握一次函數的圖象和性質是解題關鍵；（1）設直線的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，（2）再把代入解答即可；（3）得出直線的解析式，結合，再根據題意分情況列方程求解即可；【小問1詳解】解：設直線的解析式是，把，代入解析式得：，解得：，則直線的解析式是：，【小問2詳解】直線的解析式是：，當時，；則點坐標為：；【小問3詳解】解：設直線的函數解析式為：，將代入函數解析式，可得：，解得：，即直線的函數解析式為：，當，解得：；當，解得：；當時，大巴車從學校出發(fā)后經過或時與小轎車相距．23.開學季，某文具店為滿足學生需求計劃購進一批修正帶和筆袋．已知購進2個修正帶和3個筆袋共需46元；購進1個修正帶和2個筆袋共需28元．（1）求修正帶和筆袋的進價分別是多少元/個？（2）該文具店準備購進修正帶和筆袋共800個，已知修正帶的售價為12元/個，筆袋的售價為15元/個，其中修正帶的進貨量不低于350個，且不高于450個．在可以全部售出的情況下，求該文具店總利潤的最大值是多少？【答案】（1）修正帶進價為8元/個，筆袋進價為10元/個（2）元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一次函數的應用，根據已知信息列式并正確解答是解題的關鍵．（1）設修正帶進價為元／個，筆袋進價為元／個，根據題意，列出二元一次方程組，即可求解．（2）設文具店修正帶進貨量為個，總利潤為元，根據題意，列出w與t之間的函數關系，結合一次函數的性質以及t的取值范圍，可知當時，w有最大值．【小問1詳解】解：設修正帶進價為元／個，筆袋進價為元／個，根據題意，可得，解得．答：修正帶進價為8元／個，筆袋進價為10元／個．【小問2詳解】解：設文具店修正帶進貨量為個，總利潤為元，則，，隨著的增大而減少，又修正帶的進貨量不低于350個，且不高于450個，即，當修正帶的進貨量為350個時，總利潤的最大值為3650元．答：該文具店總利潤的最大值是3650元．24.如圖，直線與過點的直線交于點，與軸交于點，軸于點．（1）求點和點的坐標；（2）求直線的函數表達式；（3）在軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）（3）或或或【解析】【分析】（1）把代入可得點的坐標，把代入可得點的坐標；（2）根據待定系數法可求得直線的函數表達式；（3）分三種情況：①當點為等腰的頂點，即時；②當點為等腰的頂點，即時；③當點為等腰的頂點，即時，分別進行討論即可．【小問1詳解】解：∵直線與軸交于點，∴當時，，解得：，∴，∵點在直線上，∴當時，，∴，∴．∴點的坐標為，點的坐標為．【小問2詳解】設直線的函數表達式為，∵點和點在直線上，∴，解得：，∴直線的函數表達式為．【小問3詳解】∵，軸于點，∴，又∵，∴，，∴，①當點為等腰的頂點，即時，則點與點重合，∴此時點的坐標為；②如圖，當點為等腰的頂點，即時，∵，，∴此時點的坐標為或；③當點為等腰的頂點，即時，∵，，∴為的中點，即．∵，，∴此時點的坐標為．綜上可