專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，

方便掌握。

例題講模型］

一

模型1.手拉手模型（全等模型）1

模型2.手拉手模型（相似模型）8

習(xí)題練模型］

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)兒何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方囿均源自卜易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在兒

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

模型1.手拉手模型（全等模型）

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點4記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左

手”，第二個頂點記為“右手”。

等線段，共頂點，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)

行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

1）雙等邊三角形型

條件：△48c和△OCE均為等邊三角形，C為公共點；連接8E,4。交于點人

結(jié)論：①△ACOZ/XBCE；?BE=AD；③N4尸M=N8CM=60。；④CF平分NB廣。。

證明：?.?△ABC和△/)€1因為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,N8C4=NEC￡>=60。

AZBCA+ZACE=ZECEH-ZACEi即：NBCE=NACD,:.XACD沿4BCE(SAS),

:?BE二AD,ZCBE=ZCAD,又：NCM8=NAA",/.ZAFM=ZBCM=60°,

過點。作?！腹?。,。。上8區(qū)則/。08=/。%=90。，又?：/CBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^^ACP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：b平分N8FQ。

2)雙等腰直角三角形型

條件：aABC和aOCE均為等腰直角三角形，C為公共點：連接8￡,AO交于點N。

結(jié)論：①△ACQg/\8CE；?BE=AD；③N4NM=NBCM=90。；④CN平分/BND。

證明：??.△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，；.BC=AC,CE=CD,NBC4=NECD=90。

A^BCA+ZACE=ZECD+ZACEi即NBCE=NACO,二△ACO空△BCE(SAS),

：.BE=AD,NCBE=NCAD,又?：NCMR=NAMN,，NANM=/BCM=90。，

過點C作CP則NC08二NC以二90。，乂?：NCBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分NBND.

3)雙等腰三角形型

條件：8OAC,CE=CD,/BCA=/ECD,C為公共點；連接8E,AO交于點人

結(jié)論：①△ACOg/XBCE；?BE=AD；③N3CM=/4FM；④C/平分/BQ。

證明：VZBCA=ZECD,AZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即N8CE=NAC。，

又?：BC=AC,CE=CD,A^ACD^ABCE(SAS),:?BE=AD,ZCBE=/CAD,

又；NCMB=NAMF,"BCMMAFM,過點。作CP工AD,CQ上BE,則NCQ8=NC以=900,

又,：/CBE=/CAD,BC=AC,：,LBCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFO。

4)雙正方形形型

條件：四邊形A8C。和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接8G,ED交于點N。

結(jié)論：①△BCG@/\DCE；②BG;DE；③NBCM二NDNM=90°；④CN平分ZBNE。

證明：???四邊形4BCD和四邊形CEFG都是正方形，，BC=AC,CE=CG,NBCD=NECG=90°

：?/BCD+NDCG=NECG+/DCG,即NBCG=NOCE,"BCG妾ADCE(SAS),

：.BG=DE,/CBG=/CDE,又*：NCMB=NDMN,:?NBCM=/DNM=90。,

過點。作CP1OECQ工8G則NCPQ=NCPB=90。，又,：NCBG=4CDE,BC=DC,：,^BCQ^^DCP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平令NBND.

例I.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點A,B,。在同一條直線上，△ABO,.BCE均為等邊三角

形，連接4E和CO,AE分別交C。、BD于點M,P,CD交BE于點、Q,連接PQ,BM,下面結(jié)論：①

△AB乂.DBC；②N￡）M4=60。；③△依Q為等邊三角形；④也《平分NAMC；⑤NPEQ=30>.其中結(jié)論

正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

［分析］根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證得△ABE%DBC故①正確；根據(jù)恒&DBC結(jié)合三角形外角性質(zhì)

即可得出NQM4=N8AE+N8C￡>=N3QC+N8a）=60。，故②上確：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證

4AB24DBQ,得到AP=AQ結(jié)合NP8Q=60。即可得到APAQ為等邊三角形，故③正確；根據(jù)全等三角

形性質(zhì)，得到點B到AE,CD的距離相等，，從而可得點5在ZWC的角平分線上，故④正確；已有的條

件無法求NPEQ的度數(shù)，故⑤錯誤；從而解題.

【詳解】解：?.?△從比>、△3CZ;為等邊二角形，

;.AB=DB，ZABD=/CBE="。,BE=BC,:.ZABE=/DBC,ZPBQ=60°,

AB=DB

在a4BE和△O3C中，<NA8E=NO8C,「."B比△QBC（SAS）,故①正確；

BE=BC

?.△ABE^ADBC,;.NBAE=NBDC,?/ZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°,

ZDMA=NBAE+ZBCD=NBDC+ZBCD=60°.故②正確：

NBAP=ZBDQ

在/^8尸和^?？冢?中，,.?.△48心△OBQ（ASA）,:.BP=BQ,

NABP=，DBQ

??.△BPQ為等邊三角形，故③正確；?.?△A3四△OBC,「.AE=CD,S^ABE=S^BC

「?點〃到AE,CO的距離相等，即4E、8邊上的高相等，

點K在N'AMC的角’上分線上，即AW丫：分N'AMC；故④正確；

已有的條件無法求NPEQ的度數(shù)，故⑤錯誤；綜上所述：正確的結(jié)論有4個；故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點共圓的性質(zhì)，三角形外角

性質(zhì)，角度的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識.

例2.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰RlZ\A8C中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,E分別在AB,

CB上,DB=EB,連接4E,CD,取AE中點尸，連接肝.

運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.

例3.(2023?山東?九年級專題練習(xí))己知，“8C為等邊三角形，點。在邊8c匕

【基本圖形】如圖1,以人力為一邊作等邊三角形V/W無:，連結(jié)CE.可得CE+CO=4C(不需證明).

【遷移運(yùn)用】如圖2,點〃是AC邊上一點，以。尸為一邊作等邊三角4)砂.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點尸是AC邊的延長線上一點，以O(shè)廠為一邊作等邊三角“底產(chǎn).試探究線段CE,C。，

。產(chǎn)三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由.

【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運(yùn)用】見解析；【類比探究】見解析.

【分析】基本圖形：只需要證明ABA度△C4E得到CE=3O,即可證明；

遷移運(yùn)用：過點。作。G〃A8,交AC于點G,然后證明△口)&AGOF得到CE=G尸，即可推出

CE+CD=GF+CG=CF；類比探究：過點。作。G〃A8,交AC于點G,然后證明aCDE段式，)/，得到

CE=GF,再由G/=b+CG=6+C。，即可得到CD+b=CE.

【詳解】基本圖形：證明：,??△HCG與VADE都是等邊二角形，

AAC=AB=CB,NGW=60。，AD=AE,ZDAE=60°,

：.ZCAE=ZDAE-ZCAD=60°-ZCAD,ZBAD=ZCAB-ZCAD=60°-ZCAD,AZCAE=ZBAD,

AC=AB

在AHA/)與VC4E中，ZCAD=ZBAE,A△^D^ACAE(SAS),

AD=AE

：.CE=BD,：.CE+CD=BD+CD=CB.VAC=CB,/.CE+CD=AC：

遷移運(yùn)用：證明：過點。作￡)G〃A8,交AC于點G,

?二△4CB是等邊三角形，ZACB=^A=ZB=60°,

VDG//AB,???/CG/)=/A=60。，NCDG=NB=3,

又???NAC8=60°,???△C/X；為等/三角形，：.CD=IX)=CG,

:所為等邊三角形，工DE=DF，ZEDF=60°,

?/NCDE=NCDG-NEDG=600-NEDG,NFDG=NED尸-NEDG=600-NEDG，?二Z1CDE=4FDG,

BD=DG

在4a＞石與AG。尸中ZBAD=/GDF,；?ACDE^&GDF(SAS),：.CE=GF,；.CE+CD=GF+CG=CF；

DE=DF

類比探究：解：CD+CF=CE,理由如下：過點。作￡)G〃A8,交AC于點G,

???￡MCB是等邊三角形，I.NAC8=/A=/B=60。，

,:DG〃AB,???/CG￡>=/A=60°,NCDG=NB=(^,

又?；NAC8=60。，為等/三角形，:.CD=DG=CG,

???1）所為等邊三角形，JOE=DF，ZFDE=60°,

?:/GDF=NGDC+NCDF=+NCDF,/CDE=NEDF+/CDF=⑷。tNCDF,：.NGDF=/CDE,

BD=DG

在LCDE與AGDF中</BDE=Z.GDF,△CDE^AGDF（SAS）,CE=GF、

DE=DF

VGF=CF+CG=CF+CD,：.CD+CF=CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與

判定條件是解題的關(guān)鍵.

例4.（23-24九年級上?浙江臺州?期末）如圖，將V49C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到并使C點的對應(yīng)點

。點落在直線BC上.（1）如圖1,證明：0A平分/瓦心：（2）如圖2,AE與BD交于點、F,若

4尸8=50。，N8=20。，求NA4C的度數(shù)；⑶如圖3,連接的，若EB=13,ED=5,CD=I7,則AO的

長為.

【答案】（1）證明見解析；（2）15。；（3）摩.

2

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理的應(yīng)用等知識，解答本

題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).（1）根據(jù)VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到,可得ZADE=ZC,AD=AC,

即得NAQC=NC,故/4OE=NA0C,OA平分NEOC；（2）設(shè)N8AC=f,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

三角形外角的性質(zhì)可得50。=（犬+20°）+^,即可解得N84C=15。；（3）過A作A”_L8C于從由已知可

得BD=CD-BC=12,即可得+=8爐，從而N￡DB=90。，可得ZADC=ZADE=45。，“DH是

等腰直角三角形，故AO=&OH=小區(qū).

2

【詳解】（1）證明：:VA8C繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到4A瓦），

，ZADE=NC,AD=AC,ZADC=NC,ZADE=ZADC,DA平分NEDC；

（2）解：設(shè)/66=犬=/"￡：,VZACD=ZG4B+ZB,/.ZACD=Y>+20°,

AD=AC,：.ZADC=NACD=A°+20°,

VZ4FB=ZADC+ZDAE,,50°=（月+20°）+x°,解得x=]5。，AZA4C=15°；

（3）解：過A作A〃_L8C于”，如圖：

???VABC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到△4￡<￡>,/.AD=AC,ED=BC=5,ZADE=/C,

VCD=n,r.BD=CD-BC=[2,V￡D2+BD2=52+122=169,BE2=132=169，

117

；?ED?+BD2=BE?，；.NEDB=90°,,：AD=AC,AHLBC,AZADC=ZC,DH=-CD=—,

22

???ZA￡）C=NADE=45。，是等腰直角三角形，???AO=&￡>”=必旦，故答案為："亞.

22

例5.（2022.浙江湖州.統(tǒng)考中考真題）已知在放A/WC中，N4C8=90。，a,/?分別表示/A,的對邊，

a>b.記△AAC的面積為S.

（1）如圖1,分別以AC,C8為邊向形外作正方形4CQE和正方形BGFC.記正方形ACDE的面積為耳，正

方形8GR7的面積為邑.①若S=9,S2=16,求S的值；②延長E4交G8的延長線于點N,連結(jié)EV,交

BC于點M,交AB于點、H.若77fJ_AB（如圖2所示），求證：S「S、=2S.

（2）如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形AC。和等邊三角形C8E,記等邊三角形ACO的面積

為等邊三角形的面積為圣.以人8為邊向上作等邊三角形八"（點。在內(nèi)），連結(jié)EECF.若

EFLCF,試探索邑-￡與S之間的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）①6：②見解析⑵S?-S1=!s,理由見解析

4

【分析】（1）①將面積用。，力的代數(shù)式表示出來，計算，即可②利用4N公共邊，發(fā)現(xiàn)△以Ns/viNB,

利用二=￡，得到小。的關(guān)系式，化簡，變形，即可得結(jié)論（2）等邊AAB/與等邊△（7酩共頂點以

ANNB

形成手拉手模型，"Bg^FBE,利用全等的對應(yīng)邊，對應(yīng)角，得到：AC=FE=b,NF￡B=NAC3=90。，

從而得到/尸EC=3（）。，再利用放在，cos300=—=-=^,得到〃與人的關(guān)系，從而得到結(jié)論

CEa2

【詳解】（1）V5,=9,52=16.；/?=3,〃=4VZ/4CT=9（）°AS=1ab=|x3x4=6

②由題意得：NFAN=NANB=9。。,?:FH1AB：.NAFN=90。一/FAH=/NAB：?AFANs

得：ab+b2=a2A25+S^S,.即S,一$=2S

ANNBab

（2）S,-S=：S,理由如下：??,△AB尸和ABEC都是等邊三角形

4

:?AB=FB,NABC=60°-NFBC=NFBE,CB=EB

：.^ABC^^FBE（SAS）：.AC=FE=bZFEB=ZACB=90°：,ZFEC=30°

???EFl.CF,CE=BC=a；.-=—=cos30。=：,b=^-aS=-ab=—a2

aCE2224

由題意得：S=在從，S、=/：,S「S'=Ba?—&=￡：,S「S，S

4242144164

【點睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點是圖二中的相似和圖三中的手拉手

全等。

例6.（2024?黑龍江?九年級期中）已知RtA/lBC中，AC=BC,//1CB=9（）。，〃為48邊的中點，且DF=EF,

ZDFE=90°,。是6c上一個動點.如圖1,當(dāng)。與C重合時，易證：CD2^DB2=2DF2；

（1）當(dāng)。不與C、8重合時，如圖2,CD、DB、。產(chǎn)有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

（2）當(dāng)。在8C的延長線上時，如圖3,CD、DB、。尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明.

【答案】（1）CE^+DB^DF2；（2）。＞+。序=2。/巴證明見解析

【分析】（1）由」知得。爐=2。戶，連接C/,/法，證明ACDF二八BEF得CD=BE,再證明MZ宏為直角

三角形，由勾股定理可得結(jié)論；

（2）連接CF,BE,證明ACDF?ABE尸得CD=BE,再證明&5DE為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）。＞+。方=2。/

證明：,：DF=EF,ZDFE=90°,/.OF2+EF1=DE1：.DE2=2DF2連接C凡BE,如圖

:△ABC是等腰直角三角形，尸為斜邊AB的中點

???CF=BF,CF1AB,即NCFB=90°，NFCB=/FBC=45°,Z.CFD+ZDFB=90°

CF=BF

又4DFB+/EFB=%。4CFD=4EFB在△CTO和她尸￡中ACFD=\BFE

DF=EF

:.CD=BE,ZEBF=ZFCB=45°/DBF+Z.EBF=45°+45°=90°DB~+BE1=DE2

???CD=BE,DE2=20尸2.?.CD2+DB2=2DF2；

（2）0+082=2。尸證明：連接CF、BEYCF=BF,DF=EF又V/DFC+/CFE=NEFB+NCFB=90。

:./DFC=/EFB：,/\DFgAEFB：?CD=BE,ZDCF=ZEBF=\35°

VZEBD=ZEBF-ZFfiD=135°-45o=90°在RsDBE中,BE2+DB2=DE2DE2=2DF2^CL^+DB^IDF2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)

鍵，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

模型2.手拉手模型（相似模型）

“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮?。ㄟ@個頂點不變），我們稱這樣的圖

形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

手拉手模型有以卜特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉(zhuǎn)并縮放后2個

三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

條件:如圖，NBAC=NDAE=a,42=空=々；

AEAC

結(jié)論：&ADEsXNBC、△48QS”CE；的二八/BFC-BAC.

EC

證明：??,絲=絲=2，.AD=AE,^BAC=ZDAE=a,：,AADE^/^ABC,

ABACABAC

*：ZBAC=ZDAE=a,AZBAC-^DAC=ZDAE-ZDAC,：,ZBAD=ZCAE,

?.?四=空=攵，???△AB￡>S2\AC￡,??.些=空=%,ZABD=ZACE,：,ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，ZAOB=NCOD=90。,生=絲=小

ODOB

結(jié)論：AAOCS^BOD；生=Z，4C_L3。，Sxlirn=-ABxCD-

BDABCD2

證明：VZAO/?=ZCOD=90°?AZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,AZAOC=ZBOD,

-：OC_=OA_=k:.LAOCSABOD,?,?生=絲"NOAB-OBD,

ODOBBDOB

???NAEB=N4O8=9（）。，：,AC±BD,ASAftrn=-ABxCD.

3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）

條件:M為等邊三角形ABC和。E尸的邊AC和D廠的中點；結(jié)論：△BMEs/^CMF；—=J3.

CF'

證明：???加為等邊三角形ABC和D防的邊AC和。尸的中點，，也=型=6，NBMC=NEMF=90。,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,:?/BME=NCMF,:山BMEs4cMF,:.里=改=6，

CFCM

條件:AABC和AOE是等腰直角三角形；結(jié)論：△A8￡>SZ\ACE；NACE=90。；處=①.

CE2

證明：:△ABC和4DE是等腰直角三角形，，絲=絲=變，N8AC=ND4E=45。，

ACAE2

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：,ZBAD=ZCAE,A^ABD^AACE,

.?.殷=絲=也，ZACE=ZABD=90°

CEAC2

例I.（2023?江西?一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小宛對等腰只角形的

旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究.

（D［觀察猜想］如圖1，AABC是以A3、AC為腰的等腰三角形，點。、點上分別在AB、AC上.MDE〃BC,

將AAQE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)。（0MW360。）.請直接寫出旋轉(zhuǎn)后4。與CE的數(shù)量關(guān)系；

⑵［探究證明］如圖2,"C8是以/。為直角頂點的等腰直角三角形,分別交AC與AB構(gòu)邊于點瓜

點。.將AAOE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立.若成立，請給出證明;

若不成立，請說明理由；

（3）［拓展延伸］如圖3,BD是等邊&ABC底邊4c的中線，AEA.BE,AE//BC.將Z/WE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到

△尸8凡點人落在點尸的位置，若等邊三角形的邊長為4,當(dāng)時，求出。尸的值.

【答案】⑴結(jié)論8仄CE.證明見解析；

（2）結(jié)論不成立.8。與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=gCE.證明見解析；（3）28

【分析】（1）結(jié)論4Q=CK.證明（SAS）；（2）結(jié)論不成立.8。與CE的數(shù)量關(guān)系：8。=&

C￡證明△DABS/XEAC,可得結(jié)論；（3）根據(jù)條件可得當(dāng)時，ZEBC=90°-ZABC=30°,結(jié)合

等邊三角形的性質(zhì)，可得用_L&），勾股定理即可求得。尸.

【詳解】（1）結(jié)論BO=CE.理由：如圖I中，ZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAEt

?:AB=AC,AD=AE,Z.（SAS）,:?BD=EC.故答案為：BD=CE.

（2）結(jié)論不成立.“。與CK的數(shù)量關(guān)系：BD=4iCE.

理由：???△ABC,△AED都是等腰直角三角形，???NC4B=NEA/>45。，普=槳=夜，

ACAE

ZDAB=ZEAC,???△DA8SZ\E4C,A—=—=>/2,:.BD=C.CE

CEAC

（3）如圖3,8。是等邊人48。底邊AC的中線，AE±BEtAE〃BC.

Z.BAE=60°,NABE=30°,AE=^AB=2fNCBD=ZABD=30°

???將AABE繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)到△F8E,落在點尸的位置，.?./b8七=乙48七=30°

當(dāng)A8_LBE時，ZLEBC=90°-ZABC=30°/.ZFBD=/FBE+NEBC+/CBD=90°/.BF1BD

???△A8c是等邊△,等邊三角形的邊長為4,.”。=且x4=2#,BF=AB=4

2

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.

例2.（2024.山東棗莊?二模）綜合實踐

問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)頂點連線的長度

存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對此進(jìn)行了研究，如圖1,在/BC中，？890?,A8=8C=4,分別取A8,

AC的中點。，E,作VAOE.如圖2所示，將VADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE.

⑴探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段B。和CE的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明.

⑵性質(zhì)應(yīng)用：如圖3,當(dāng)OE所在直線首次經(jīng)過點8時，求CE的長.

【答案】（1）C￡=夜8￡>，證明見蟀析；（2）?！耙?6

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)

前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟.

（1）根據(jù)中點的定義得出人。=:人8,進(jìn)而得出當(dāng)=『，易得幽=立，通過證明

22AEACAC2

ABDACE,即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出當(dāng)所在在線經(jīng)過點B時，ADA.BE,根據(jù)勾股定理可

得=二F=2g，根據(jù)（1）可得籌=4,即可求解；

【詳解】（1）解：猜想CE=^BD，證明如下：

?.?在“8C中，?B90?,AB=BC=4,AB，4。的中點分別為。，E,

???AsD=一1A心B,門AE=一1”AC,,..AD=AE=1-,.則..AD=AB,

22ABAC2AEAC

：?B90?.A4=AC=4,.?.4AC=45。，/.cosZ^C=—=—，:.AC=&AB，

AC2

將VAOE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZBAD=ZCAE,

有嘮sAACE,費(fèi)嚏S皿

（2）解：AB=4C=4,分別取A4，AC的中點。，E,

DE//BC,AD=^AB=2,AABC^AADE,.\ZADE=Z.ABC=90°,

???當(dāng)OE所在直線經(jīng)過點3時，ADLBE,/.ZADB=90°,

在中，根據(jù)勾股定理可得：BD=jAB2-AD2=2百，由（I）可得：—=—，

CE2

,:空=顯，解得：CE=2瓜;

CE2

例3.（2024?四川成都?中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片A8C和AOE中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90Q.

【初步感知】（1）如圖1，連接5力，CE,在紙片4。石繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究絲的值.

【深入探究】（2）如圖2,在紙片ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點。恰好落在△48C的中線8M的延長線上時，

延長EO交4c于點尸，求C尸的長.

【拓展延伸】（3）在紙片AOE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,。，E三點能否構(gòu)成直角三角形.若能，直

接寫出所有直角三角形CDE的面積：若不能，請說明理由.

RD47（）4R

【答案】（1）二的值為：；⑵。尸=?；（3）直角三角形CDE的面積分別為4,16,12,3

CE53913

【分析】（1）根據(jù)八8=八￡>=3,BC=DE=4,ZABC=^ADE=90°.證明△人。Eg△ABC,

AC=AE=yjAB2+BC2=VAD2+DE2=5?繼而得到//>!￡=/BAC，NZME-NZMC=NBAC-NZMC即

NC4￡=N84O,再證明△C4ESZJ?A。，得至ij型=任=3.

CEAC5

(2)連接CE,延長8M交CE于點Q,根據(jù)(1)得△CAES.BA。，得到NABO=NACE,根據(jù)中線8M得到

BM^AM=CM=^AC=^,繼而得到NM8C=NMC8,結(jié)合NA8D+NM8C=90。，得到NACE+NMC8=90。

即/4C￡=90。，得至IJ4B||CQ,再證明△ABM^^CQM,得證矩形ABCQ,再利用勾股定理，三角形相似

的判定和性質(zhì)計算即可.(3)運(yùn)用分類思想解答即可.

【詳解】(I);AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=900.：,AADE^ABC(SAS),

?*-AC=AE=y]AB2+BC2=VAZ7+DE2=5?^DAE=ZBAC,

???ZDAE-ZDAC=ZRAC-ZDAC即ZC4E=/BAD,?.?絲=任=1.?.^CAE^BAD，，磅=空=°.

AEAC*5

(2)連接CK,延長5W交CZ?于點Q,根據(jù)(1)得/.^ABD-ZACE,

???BM是中線??.BM=AM=CM=^AC=^,：,ZMBC=/MCB,

ZABD+/MBC=90°,：,ZACE+/MCB=90°即NBCE=90°,

.?.AB\\CQ,???NBAM=4QCM/ABM=NCQM,

/BAM=NQCM

?：ZABM=ZCQM,???△8AMg^QCM(AAS),，8M=QM,???四邊形ABCQ是平行四邊形，

AM-CM

丁ZABC=90°J四邊形44CQ矩形，?.AB=CQ=3,BC=A。=4,ZAQC=90°,

,-------------EPEQ3,1

???PQ||CMEQ=V^^=3,二麗=透=§=1，,PO'CN,

NEPQ=NAPD

設(shè)PQ=x,CN=2x,則AP=4—x,???]N￡QP=NAQP=90°,.?.△石。心aAOPlAAS),...A尸=￡P(guān)=4—x,

EQ=AD=3

9：EP2=PQ2+EQ2,.\(4-A-)2=X2+32,解得X=N；/.AP=4-x=—,CN=2x=~,

884

???PQ||CN,AC=5,：.AAPFS^NF,,

CNCF

25__74---

.?"g二"立中-解得b=±

CNCF7CF39

4

(3)如圖，當(dāng)AD與AC重合時，此時￡>￡_Z4C,此時是電角三角形,

故SA8E=，CD?力E=，x(4C-AO)xOE=,x2x4=4；

222

如圖，當(dāng)人。在C4的延長線上時.此時OE1AC,此時△q)￡；是直角三角形,

te5a,f=^CD-DE=1x(AC+AD)xDE=^x8x4=16：

如圖，當(dāng)。E_LEC時，此時“7)石是直角三角形，過點A作AQ_LEC于點Q,

VAE=AC=5,:.EQ=QC='EC,AQtEC,DEA.EC,DEJ.AD.

???四邊形AOEQ是矩形，：,AD=EQ=QC=^-EC=3,AEC=6,故=,EC?OE='x6x4=12；

乙乙乙

如圖，當(dāng)。C_LEC時，此時△。%是直角三角形，過點A作AQ1EC「點Q,交DEF點N,

IENE0|?

AEQ=QC=-EC=xNQ//CD,.*.--=-^=1,:.DN=EN=-DE=2,QN=-DC,

2fDNQC22

???ZAND=NENQ,ZADN=NEQN=90°,/DAN=NQEN,...tan/DAN=tanZQEN,

QNDN_2:.QN='x,：,DC=^x.CE=2x,

~EQ~~AD~3

?:ED,=DC、EC?,.,.42=(24+(與、，/..r一36今舛65/13

?X-->解儲，X=------：

1313

243648

故SA=4EC?DC=-x2xx-x=-x—x—=—

GE223331313

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應(yīng)用，三角形全

等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩

形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵.

例4.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和△人$中，AB=AC,AE=AF,NKAC=NE4尸=30。，連接3E,CF,

延長BE交CF于點D.則3E與的數(shù)量關(guān)系：,^BDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在8c和中，AI3=AC,AE=AF,N8AC=/足4/=120。，連接BE,CF,

延長8E,R7交于點。.請猜想既與。尸的數(shù)量關(guān)系及N8OC的度數(shù)，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,"18C和AAE/均為等腰直角三角形，NB4C=NE4/=90。，連接況，CF,且點、B,

E,尸在一條直線上，過點A作/尸，垂足為點M.則BF,CF,/W之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)實踐應(yīng)用：正方形ABC。中，AB=2,若平面內(nèi)存在點P滿足々電＞=90。，PD=\,則S△的=

【答案】(1)8七=3，30(2)BE=CFfNBDC=600.證明見解析(3)8尸=b+240(4)21：〃.或上且

44

【分析】(1)根據(jù)已知得出NR4E=NC4/，即可證明△8AE44C4尸，得出8E=b,ZABE=ZACF,進(jìn)

而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；(2)同(I)的方法即可得證；(3)同(1)的方法證明

ABAE^ACAF(SAS),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AM=；"=EM,即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)題意畫出圖形，連接BD，以為直徑,8。的中點為圓心作圓，以。點為圓心，1為半徑作圓，

兩圓交于點P/，延長8P至M,使得PM=OP=1，證明“ID?△/)M,得上月4=變8加，勾股定理

2

求得進(jìn)而求得BM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出尸4=[(1+/卜與恒，勾股定理求得8QPQ,

進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：VZBAC=ZE4F=3O°,AZBAE=ZCAF,

又?.?A8=AC,AE=AF,/.^BAE^CAF,:.BE=CF,ZABE=ZACF設(shè)AC,8。交于點。，

VZAOD=ZACF+^BDC=ZABE+ZfiAOZBDC=^BAO=ABAC=30°,故答案為：BE=CF,30.

(2)結(jié)論：BE=CF,/BDC=60。；

證明：VZBAC=ZE4F=120°,AZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即ZR4￡=NC4F,

XVAB=AC,AE=AF,△BAEg△C4/7Z.BE=CF,?AEB?AFC

ZE4F=120°,AE=AF,/.ZAEF=ZAFE=30°，,

ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+30°-(ZAFC-30°)=60°,

(3)BF=CF+2AM,

理由如下，VZBAC=ZEAF=9(r,AZ^4C-ZE4C=ZE4F-ZE4C,BPZBAE=ZC4F,

又8c和AA耳'均為等腰直角三角形AB=AC,AE=AF,.?.△8AE二Z\C4/(SAS),:、BE=CF,

在Rt^AE/中，AMLBF,:?AM=、EF=EM=MF,：.BF=BE+EF=CF+2AM；

2

(4)解：如圖所示，連接80,以80為直徑,3。的中點為圓心作圓，以。點為圓心，1為半徑作圓，兩圓

交卜點P，《，延長第至M，使得PM=OP=1,則是等腰直角三角形，NMDP=45。

丁ACDB=45。，??.AMDB=/MDP+NPDC+4CDB=90°+APDC=ZADP，

AD1DP1PA1>/2J2

???==K，V^7=K，；?AADgJiDM；.——='=二，APA=—BM,

DB42DM42BM叵22

VAB=2,在RaQP8中，PB=JDB?-DP，“(2?_丫=不，

:.BM=BP+PM=d+1,PA=q(\+W=6+F

過點。作PQ/A3于點Q,設(shè)Q5=x,貝|JAQ=2-X,

在RtZ\APQ中，PQ2=AP2-AQ2,在RtZ\P8。中，PQ2=PB?-BQ

2111

：.AP-AQ=PB-BQ：.一（2-力2=（近丫--解得：x=Lz^,則3。=1^,

設(shè)PQ,BD交于點G,則ABQG是等腰直角三角形，???。6=。8=三立

4

在RLDPB.RSDRB中,[""一.?Rt^DPB^Rt^DRB.?./PDB=ZP.DB

[DB=DB

乂PD=RD=1,DG=DG：.”GDq4P\DGZPGD=^PfiD=45°

???CPGP、=90。，.??<G〃4B.?.s=』ABxQG=』x2x,

2244

在RSPQB中，PQ=JPB?—BQ?=

?cLns?c”幣7+6

??S.ABP=-A3xPQ=—x2x---=--->

綜上所述，S.產(chǎn)匕包或上2故答案為:上史或上史.