2026年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)經(jīng)典題目解析與練習(xí)一、選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣A為3階矩陣，且|A|=2，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于多少？（答案：4）2.已知向量組α1=(1,2,3)，α2=(0,1,2)，α3=(0,0,1)，則該向量組的秩為多少？（答案：3）3.設(shè)矩陣A和B均為n階可逆矩陣，則下列運算中不正確的是？A.AB的可逆矩陣為B^-1A^-1B.A+B的可逆矩陣為A^-1+B^-1C.A^T的可逆矩陣為(A^T)^-1D.|AB|=|A||B|（答案：B）4.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性相關(guān)的是？A.α1+α2，α2+α3，α3+α1B.2α1，3α2，4α3C.α1-α2，α2-α3，α3-α1D.α1，α2，α3的線性組合系數(shù)全為1（答案：C）5.設(shè)矩陣A的特征值為1，2，3，則矩陣A的跡Tr(A)等于多少？（答案：6）二、填空題（每題4分，共5題）6.若矩陣A滿足A^2-A-2I=0，且A可逆，則A的逆矩陣A^-1等于？（答案：(1/2)(A-I)）7.設(shè)向量α=(1,2,3)^T，β=(1,-1,1)^T，則向量α與β的夾角余弦值等于？（答案：1/√15）8.已知矩陣A的秩為2，且A的三個特征值分別為1，2，0，則矩陣A^2的特征值等于？（答案：1，4，0）9.設(shè)向量組α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,λ)線性相關(guān)，則λ的取值范圍是？（答案：λ=2或λ=6）10.若矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T滿足A^TA=I，則矩陣A一定是？（答案：正交矩陣）三、計算題（每題6分，共5題）11.計算行列式D的值：D=|123||012||001|（答案：1）12.解線性方程組：x1+2x2+3x3=12x1+5x2+7x3=43x1+7x2+10x3=6（答案：x1=1，x2=0，x3=-1）13.求矩陣A的逆矩陣：A=|12||34|（答案：A^-1=(-1/2)|4-2|=|-21|）14.求向量組α1=(1,0,1)，α2=(1,1,0)，α3=(0,1,1)的秩，并判斷其線性相關(guān)性。（答案：秩為3，線性無關(guān)）15.求矩陣A的特征值和特征向量：A=|12||21|（答案：特征值為-1，3；特征向量分別為(-1,1)^T和(1,1)^T）四、證明題（每題10分，共2題）16.證明：若向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)。證明：設(shè)k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，展開得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，由α1，α2，α3線性無關(guān)，得k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，故線性無關(guān)。17.證明：若矩陣A滿足A^T=A且A的特征值全為正，則A是正定矩陣。證明：由A^T=A，知A是對稱矩陣。對任意非零向量x，x^TAx=x^Txx=x^Tx>0，且A的特征值全為正，故A是正定矩陣。答案與解析一、選擇題1.答案：4解析：由伴隨矩陣性質(zhì)，|A|=|A|^(n-1)，故|A|=2^(3-1)=4。2.答案：3解析：向量組α1，α2，α3的秩等于其向量個數(shù)，因為它們線性無關(guān)。3.答案：B解析：A+B的可逆矩陣不為A^-1+B^-1，正確應(yīng)為(A+B)^-1。4.答案：C解析：α1-α2，α2-α3，α3-α1的線性組合系數(shù)不全為0時為0，故線性相關(guān)。5.答案：6解析：矩陣的跡等于其特征值之和，Tr(A)=1+2+3=6。二、填空題6.答案：(1/2)(A-I)解析：由A^2-A-2I=0得A(A-I)=2I，故A^-1=(1/2)(A-I)。7.答案：1/√15解析：cosθ=(α^Tβ)/(||α||||β||)，計算得1/√15。8.答案：1，4，0解析：A^2的特征值為A特征值的平方，即1^2=1，2^2=4，0^2=0。9.答案：λ=2或λ=6解析：由α1，α2，α3線性相關(guān)，得行列式|111||123||13λ|=0，解得λ=2或6。10.答案：正交矩陣解析：由A^TA=I，知A滿足正交矩陣定義。三、計算題11.答案：1解析：按第一行展開，D=1|12|-2|01|+3|00|=11-20+30=1。12.答案：x1=1，x2=0，x3=-1解析：用高斯消元法，化簡為階梯形矩陣，解得解向量。13.答案：A^-1=|-21|解析：用伴隨矩陣法或初等行變換法求逆，結(jié)果為|-21|。14.答案：秩為3，線性無關(guān)解析：計算行列式不為0，故向量組線性無關(guān)，秩為3。15.答案：特征值為-1，3；特征向量分別