2026年初中九年級數(shù)學(xué)強化寒假作業(yè)每日一練（30天）說明：本作業(yè)每日包含5種題型（選擇題、填空題、解答題、證明題、拓展題），貼合九年級數(shù)學(xué)重難點（二次函數(shù)、圓、相似三角形、銳角三角函數(shù)、一元二次方程），注重基礎(chǔ)強化與能力提升，每天練習(xí)時長控制在40-50分鐘，做完后對照答案自查自糾，查漏補缺。第1天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.y=3x-1B.y=3x2C.y=3/xD.y=3x3+2x2.一元二次方程x2-2x-3=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=x2-4x+5的頂點坐標(biāo)是________。2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根是1，則a+b+c=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：x2-6x+8=02.已知二次函數(shù)y=2x2+4x-1，求當(dāng)x=2時的函數(shù)值。四、證明題（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，求證：AD⊥BC。五、拓展題（14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（0，3），（1，0），（2，-1），求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷其圖像的開口方向。第2天一、選擇題（每題3分，共10分）1.若點A（-2，y?）、B（1，y?）、C（2，y?）都在二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖像上，則y?、y?、y?的大小關(guān)系是（）A.y?>y?>y?B.y?>y?>y?C.y?>y?>y?D.y?>y?>y?2.用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0，配方后得到的方程是（）A.(x-2)2=5B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x+2)2=3二、填空題（每題3分，共10分）1.一元二次方程2x2-5x+1=0的兩根之和是________。2.二次函數(shù)y=-x2+2x+3的最大值是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：2x2-7x+3=02.已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（1，-2），且經(jīng)過點（2，1），求該二次函數(shù)的解析式。四、證明題（10分）已知：在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，求證：AO=CO，BO=DO。五、拓展題（14分）某商場銷售一批進價為20元/件的商品，售價為x元/件，每天可賣出（100-x）件，設(shè)每天的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)售價為多少元時，每天的利潤最大，最大利潤是多少？第3天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列各組線段中，能構(gòu)成相似三角形的是（）A.2cm、3cm與4cm、5cmB.3cm、4cm與6cm、8cmC.1cm、2cm與2cm、3cmD.4cm、5cm與5cm、4cm2.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，則△ADE與△ABC的相似比是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.2:3B.2:5C.3:5D.4:25二、填空題（每題3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，相似比為2:3，則它們的周長比是________。2.已知線段AB=4cm，點C是AB的黃金分割點，且AC>BC，則AC=________cm（結(jié)果保留根號）。三、解答題（每題8分，共16分）1.已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，求證：△ABC是直角三角形。2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求sinA、cosA、tanA的值。（注：圖略，可自行畫圖理解）四、證明題（10分）已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB/DE=AC/DF，求證：△ABC∽△DEF。五、拓展題（14分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，若AC=3，BC=4，求CD的長及AD的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）第4天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列說法正確的是（）A.所有的圓都是相似圖形B.所有的正方形都不是相似圖形C.所有的等腰三角形都是相似圖形D.所有的菱形都是相似圖形2.若銳角α滿足sinα=cos30°，則α的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（每題3分，共10分）1.若tanα=1（α為銳角），則α=________°，sinα=________。2.已知⊙O的半徑為5cm，點P到圓心O的距離為3cm，則點P在⊙O________（填“內(nèi)部”“外部”或“圓上”）。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：sin60°+cos45°-tan30°（結(jié)果保留根號）2.已知⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，求圓心O到弦AB的距離。四、證明題（10分）已知：AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且∠ACB=90°，求證：BC是⊙O的切線。五、拓展題（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，若AB=10，AC=6，求BD的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）第5天一、選擇題（每題3分，共10分）1.一元二次方程x2+kx-3=0的一個根是1，則k的值是（）A.-2B.2C.-4D.42.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像開口向下，則a的取值范圍是（）A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0二、填空題（每題3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，面積比為4:9，則它們的對應(yīng)邊之比是________。2.⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為E，若CE=2，DE=8，則AB=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：(x-3)2=2(x-3)2.已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3，求其圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)。四、證明題（10分）已知：在△ABC中，DE∥BC，AD/DB=AE/EC，求證：DE是△ABC的中位線。五、拓展題（14分）某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，每件成本為10元，銷售價為x元，每月的銷售量為y件，且y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+500，設(shè)每月的利潤為w元，（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售價定為多少元時，每月的利潤為2000元？（3）當(dāng)銷售價定為多少元時，每月的利潤最大？最大利潤是多少？第6天一、選擇題（每題3分，共10分）1.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠APB=60°，則∠AOP的度數(shù)是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.30°B.60°C.90°D.120°2.下列函數(shù)中，圖像經(jīng)過原點的是（）A.y=3x2+1B.y=3x2C.y=3x+1D.y=3/x二、填空題（每題3分，共10分）1.一元二次方程x2-3x+2=0的兩根之積是________。2.已知銳角α，cosα=√3/2，則sin(90°-α)=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：2sin30°+cos60°-tan45°2.如圖，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，求∠BOC的度數(shù)。（注：圖略，可自行畫圖理解）四、證明題（10分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，DE⊥AB于點E，求證：△ADE∽△ABC。五、拓展題（14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（-1，0），（3，0），（0，3），（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求該二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)和對稱軸；（3）當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大？第7天一、選擇題（每題3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，且AB=2DE，BC=4，則EF的長是（）A.2B.4C.8D.162.一元二次方程2x2+3x-1=0的根的判別式的值是（）A.1B.17C.13D.5二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=2(x-3)2+1的對稱軸是直線________。2.若點P（m，n）在⊙O上，⊙O的半徑為r，圓心O的坐標(biāo)為（a，b），則(m-a)2+(n-b)2=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：3x2+6x-9=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，BC=4，求AC的長。四、證明題（10分）已知：AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E，求證：CE=DE。五、拓展題（14分）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點D是BC的中點，以D為圓心，DC為半徑作⊙D，求證：AB是⊙D的切線。（注：圖略，可自行畫圖理解）第8天一、選擇題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=-x2+4x-3的圖像與x軸的交點個數(shù)是（）A.0個B.1個C.2個D.3個2.下列說法正確的是（）A.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例B.相似三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角成比例C.相似三角形的周長相等D.相似三角形的面積相等二、填空題（每題3分，共10分）1.計算：tan60°-√3=________。2.若⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為4cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.已知二次函數(shù)y=2x2-4x+1，用配方法將其化為y=a(x-h)2+k的形式，并寫出頂點坐標(biāo)。2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，求AC和BC的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）四、證明題（10分）已知：在△ABC中，∠B=∠C，點E、F分別在AB、AC上，且BE=CF，求證：△BEF≌△CFE。五、拓展題（14分）某商店銷售一批服裝，每件售價為150元，可獲利25%，求每件服裝的進價；若每件服裝按售價的八折出售，可獲利多少元？每件的利潤率是多少？第9天一、選擇題（每題3分，共10分）1.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，則下列等式成立的是（）A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2=4ac+12.如圖，在⊙O中，OA⊥OB，若OA=2，則弧AB的長是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.πB.2πC.4πD.8π二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=-x2+2x+8的圖像與x軸的兩個交點之間的距離是________。2.已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，則∠F=________°。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：x2-5x+6=02.計算：sin45°·cos45°+tan30°·sin60°四、證明題（10分）已知：PA是⊙O的切線，A為切點，AB是⊙O的直徑，求證：∠PAB=90°。五、拓展題（14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為（2，-3），且經(jīng)過點（3，1），（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求該函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)；（3）當(dāng)y>0時，x的取值范圍是多少？第10天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列線段中，能成為直角三角形斜邊的是（）A.3cm、4cm、5cmB.2cm、3cm、4cmC.1cm、2cm、3cmD.4cm、5cm、6cm2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（0，0），（1，2），（2，3），則a、b、c的大小關(guān)系是（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a二、填空題（每題3分，共10分）1.若tanα=√3（α為銳角），則α=________°，cosα=________。2.⊙O的半徑為5cm，弦AB=6cm，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的長及sinB的值。2.解一元二次方程：2x2-5x-3=0四、證明題（10分）已知：在?ABCD中，AB=BC，求證：?ABCD是菱形。五、拓展題（14分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于點D，過點D作DE⊥BC于點E，（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC=4，BC=3，求DE的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）第11天一、選擇題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=3(x+1)2-2的圖像，可由二次函數(shù)y=3x2的圖像（）得到A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位B.向右平移1個單位，再向下平移2個單位C.向左平移1個單位，再向上平移2個單位D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位2.若△ABC∽△DEF，相似比為1:2，則它們的面積比是（）A.1:2B.1:4C.2:1D.4:1二、填空題（每題3分，共10分）1.一元二次方程x2-6x+9=0的根是________。2.已知sinα=1/2（α為銳角），則cosα=________，tanα=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：√3tan60°+2sin30°-cos60°2.已知二次函數(shù)y=x2-4x+3，求其圖像的頂點坐標(biāo)和對稱軸，并畫出函數(shù)的大致圖像（可簡要描述圖像特征）。四、證明題（10分）已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF。五、拓展題（14分）某果園有100棵蘋果樹，每棵樹平均結(jié)600個蘋果，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些蘋果樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每棵樹所接受的陽光就會減少，根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個蘋果，設(shè)多種x棵蘋果樹，果園總產(chǎn)量為y個，（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)多種多少棵蘋果樹時，果園總產(chǎn)量最大？最大總產(chǎn)量是多少？第12天一、選擇題（每題3分，共10分）1.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠ACD=30°，則∠BAD的度數(shù)是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.30°B.45°C.60°D.90°2.一元二次方程x2+2x-1=0的解是（）A.x?=1+√2，x?=1-√2B.x?=-1+√2，x?=-1-√2C.x?=2+√2，x?=2-√2D.x?=-2+√2，x?=-2-√2二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的最大值是________。2.已知⊙O的直徑為12cm，點A到圓心O的距離為7cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：(x+2)(x-3)=62.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，求EC的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）四、證明題（10分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的中線，求證：CD=1/2AB。五、拓展題（14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交于點A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，-8），（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）若點P是該二次函數(shù)圖像上的一點，且S△PAB=2S△ABC，求點P的坐標(biāo)。第13天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列函數(shù)中，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大的是（）A.y=-x2+1B.y=-x+1C.y=x2-1D.y=1/x2.若銳角α滿足cosα=1/2，則α的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（每題3分，共10分）1.相似三角形的對應(yīng)高的比等于________。2.⊙O的弦AB=8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑是________cm。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：sin60°·cos30°-tan45°·tan30°2.已知二次函數(shù)y=2x2-8x+5，求當(dāng)x取何值時，y有最小值，最小值是多少？四、證明題（10分）已知：AB、CD是⊙O的兩條直徑，求證：四邊形ACBD是矩形。五、拓展題（14分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點E、F分別在AC、BC上，且AE=CF，EF的中點為D，連接CD并延長至點P，使CD=DP，連接PA、PB，（1）求證：四邊形PAEB是平行四邊形；（2）求PA的最小值。（注：圖略，可自行畫圖理解）第14天一、選擇題（每題3分，共10分）1.一元二次方程2x2-7x+5=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若AC=6，AD=4，則AB的長是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.9B.10C.11D.12二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖像與y軸的交點坐標(biāo)是________。2.若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，EF=8，則BC的長是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：3x2-4x-1=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，求BC的長。四、證明題（10分）已知：在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：△BDC≌△CEB。五、拓展題（14分）某商場購進一批進價為20元/件的商品，售價為x元/件，每天的銷售量為y件，且y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+100，設(shè)每天的利潤為w元，（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天的利潤不低于200元，求x的取值范圍；（3）當(dāng)售價定為多少元時，每天的利潤最大，最大利潤是多少？第15天一、選擇題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像開口向上，且與y軸交于負半軸，則（）A.a>0，c>0B.a>0，c<0C.a<0，c>0D.a<0，c<02.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，若OA=3，AP=4，則OP的長是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.5B.6C.7D.8二、填空題（每題3分，共10分）1.一元二次方程x2-5x=0的根是________。2.計算：sin30°+cos30°+tan30°=________（結(jié)果保留根號）。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：2cos60°+√3sin60°-tan45°2.已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3，求其圖像與x軸的交點坐標(biāo)，并求出兩交點之間的距離。四、證明題（10分）已知：在△ABC中，DE∥BC，且DE=1/2BC，求證：D、E分別是AB、AC的中點。五、拓展題（14分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D，若∠D=30°，CD=2√3，求⊙O的半徑及AB的長。（注：圖略，可自行畫圖理解）第16天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.2cm、3cm、4cmB.3cm、4cm、6cmC.5cm、12cm、13cmD.4cm、6cm、7cm2.二次函數(shù)y=3(x-2)2+5的最小值是（）A.2B.3C.5D.-5二、填空題（每題3分，共10分）1.若△ABC∽△DEF，相似比為3:2，則它們的周長比是________，面積比是________。2.⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是________。三、解答題（每題8分，共16分）1.解一元二次方程：x2-7x+12=02.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=4/5，AB=10，求AC和BC的長。四、證明題（10分）已知：在?ABCD中，對角線AC⊥BD，求證：?ABCD是菱形。五、拓展題（14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（1，-1），（2，-4），（0，2），（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求該函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而減小？第17天一、選擇題（每題3分，共10分）1.一元二次方程x2+4x+4=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根2.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=2，則AC的長是（）（注：圖略，可自行畫圖理解）A.2√2B.2√3C.4D.4√2二、填空題（每題3分，共10分）1.二次函數(shù)y=-2x2+8x-5的頂點坐標(biāo)是________。2.已知tanα=√3/3（α為銳角），則α=________°，sinα=________。三、解答題（每題8分，共16分）1.計算：sin45°+cos60°-√3tan30°2.如圖，在⊙O中，弧AB=弧BC，∠AOB=60°，求∠BOC和∠AOC的度數(shù)。（注：圖略，可自行畫圖理解）四、證明題（10分）已知：在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD=BE，求證：△ABC是等腰三角形。五、拓展題（14分）某服裝店銷售一批羽絨服，每件進價為800元，售價為1200元，每天可賣出10件，為了擴大銷售，增加利潤，商店決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件羽絨服每降價50元，每天可多賣出5件，設(shè)每件羽絨服降價x元，每天的利潤為w元，（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件羽絨服降價多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？第18天一、選擇題（每題3分，共10分）1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.y=2x-3B.y=2x2-3C.y=2/xD.y=2x32.如圖，PA是⊙O的切線，A為切點，AB是⊙O的