數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$已知，$\sigma^{2}$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$為來(lái)自總體$X$的樣本，則下列不是統(tǒng)計(jì)量的是（）A.$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$B.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$C.$\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i^{2}}{\sigma^{2}}$D.$\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$2.設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，則$D(\overline{X})$等于（）A.$D(X)$B.$\frac{1}{n}D(X)$C.$nD(X)$D.$\frac{1}{n^2}D(X)$3.設(shè)總體$X\simN(0,1)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$為來(lái)自總體$X$的樣本，則$\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$服從（）A.$N(0,n)$B.$\chi^{2}(n)$C.$t(n)$D.$F(n,n)$4.在假設(shè)檢驗(yàn)中，記$H_0$為原假設(shè)，$H_1$為備擇假設(shè)，則犯第一類錯(cuò)誤是指（）A.$H_0$為真，接受$H_1$B.$H_0$為真，拒絕$H_0$C.$H_0$不真，接受$H_0$D.$H_0$不真，拒絕$H_0$5.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$為樣本，$\overline{X}$為樣本均值，則$\mu$的置信度為$1-\alpha$的置信區(qū)間為（）A.$(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$B.$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$C.$(\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$D.$(\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$6.設(shè)總體$X$的概率密度為$f(x;\theta)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$\theta$是未知參數(shù)，則似然函數(shù)$L(\theta)$為（）A.$\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$B.$\sum_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$D.$\frac{1}{n}\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)$7.設(shè)$X_1,X_2$是來(lái)自總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$的樣本，則下列是$\mu$的無(wú)偏估計(jì)的是（）A.$\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$B.$\frac{1}{2}(X_1-X_2)$C.$\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2^2$D.$\frac{1}{2}(X_1^2+X_2^2)$8.設(shè)總體$X\simB(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$為樣本，則$p$的矩估計(jì)量為（）A.$\overline{X}$B.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$C.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$D.$\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n-1}$9.設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，則$E(S^2)$等于（）A.$D(X)$B.$\frac{1}{n}D(X)$C.$nD(X)$D.$\frac{1}{n^2}D(X)$10.設(shè)總體$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}$是來(lái)自$X$的樣本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}$是來(lái)自$Y$的樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，當(dāng)$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=\sigma^{2}$未知時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$，應(yīng)選用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）A.$Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}$B.$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，其中$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$C.$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$D.$\chi^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{\sigma^{2}}$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的說(shuō)法正確的有（）A.統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)B.統(tǒng)計(jì)量中不含有未知參數(shù)C.樣本均值是統(tǒng)計(jì)量D.樣本方差是統(tǒng)計(jì)量2.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，則（）A.$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$B.$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)$C.$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)$D.$\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^{2}/\sigma_2^{2}}\simF(n_1-1,n_2-1)$（兩樣本情形）3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，影響犯兩類錯(cuò)誤概率的因素有（）A.樣本容量B.顯著性水平C.總體分布D.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4.對(duì)于參數(shù)估計(jì)，下列說(shuō)法正確的有（）A.矩估計(jì)法是用樣本矩估計(jì)總體矩B.極大似然估計(jì)法是求使得似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值C.無(wú)偏估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)D.有效估計(jì)量一定是無(wú)偏估計(jì)量5.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，為使$\mu$的置信度為$1-\alpha$的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)$l$，則樣本容量$n$應(yīng)滿足（）A.$n\geq(\frac{2z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma}{l})^2$B.與$\alpha$有關(guān)C.與$\sigma$有關(guān)D.與$l$有關(guān)6.下列分布中，屬于抽樣分布的有（）A.正態(tài)分布B.$\chi^{2}$分布C.$t$分布D.$F$分布7.設(shè)總體$X$的概率分布為$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，則$\lambda$的估計(jì)方法可以有（）A.矩估計(jì)法B.極大似然估計(jì)法C.順序統(tǒng)計(jì)量法D.最小二乘法8.設(shè)$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$\overline{X}$是樣本均值，$S^2$是樣本方差，當(dāng)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$時(shí)，（）A.$\overline{X}$與$S^2$相互獨(dú)立B.$\overline{X}$與$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$相互獨(dú)立C.$\overline{X}$與$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}$相互獨(dú)立D.$\overline{X}$與$S$相互獨(dú)立9.在兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=\sigma^{2}$未知時(shí)，檢驗(yàn)$H_0:\mu_1=\mu_2$，$H_1:\mu_1\neq\mu_2$，（）A.采用$t$檢驗(yàn)B.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$C.拒絕域與顯著性水平有關(guān)D.拒絕域與樣本容量有關(guān)10.設(shè)總體$X$的分布函數(shù)為$F(x;\theta)$，$\theta$是未知參數(shù)，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$\hat{\theta}$是$\theta$的估計(jì)量，則（）A.若$E(\hat{\theta})=\theta$，則$\hat{\theta}$是$\theta$的無(wú)偏估計(jì)量B.若$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\hat{\theta}-\theta|\lt\varepsilon)=1$，則$\hat{\theta}$是$\theta$的一致估計(jì)量C.無(wú)偏估計(jì)量一定是有效估計(jì)量D.有效估計(jì)量一定是一致估計(jì)量三、判斷題（每題2分，共20分）1.樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無(wú)偏估計(jì)量。（）2.若$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$都是參數(shù)$\theta$的無(wú)偏估計(jì)量，且$D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)$，則$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。（）3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，增大樣本容量可以同時(shí)減小犯兩類錯(cuò)誤的概率。（）4.總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$未知，$\mu$的置信度為$1-\alpha$的置信區(qū)間為$(\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$。（）5.似然函數(shù)是樣本的聯(lián)合概率密度。（）6.統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。（）7.犯第一類錯(cuò)誤的概率就是顯著性水平$\alpha$。（）8.兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的線性組合一定是無(wú)偏估計(jì)量。（）9.對(duì)于總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n)$。（）10.在兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)中，采用$F$檢驗(yàn)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的兩種主要方法及其基本思想。答：參數(shù)估計(jì)主要有矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。矩估計(jì)法是用樣本矩估計(jì)總體矩，以樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體矩的函數(shù)。極大似然估計(jì)法是在已知樣本觀測(cè)值的情況下，選取參數(shù)值使樣本出現(xiàn)的概率最大，即求使似然函數(shù)最大的參數(shù)值。2.什么是假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤？如何減少兩類錯(cuò)誤？答：第一類錯(cuò)誤是$H_0$為真時(shí)拒絕$H_0$；第二類錯(cuò)誤是$H_0$不真時(shí)接受$H_0$。增大樣本容量可同時(shí)減少兩類錯(cuò)誤概率，選擇合適顯著性水平也能一定程度平衡兩類錯(cuò)誤。3.簡(jiǎn)述樣本均值$\overline{X}$和樣本方差$S^2$的性質(zhì)。答：樣本均值$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無(wú)偏估計(jì)，$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$（總體正態(tài)）。樣本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是總體方差$\sigma^{2}$的無(wú)偏估計(jì)，且與$\overline{X}$相互獨(dú)立（總體正態(tài)）。4.簡(jiǎn)述置信區(qū)間的含義。答：對(duì)于給定置信度$1-\alpha$，構(gòu)造的置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它以$1-\alpha$的概率包含總體參數(shù)的真值。即多次抽樣得到多個(gè)置信區(qū)間，約有$100(1-\alpha)\%$的區(qū)間包含總體參數(shù)。五、討論題（每題5分，共20