高中數(shù)學(xué)人民教育出版社

A版選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n

項(xiàng)和(第一課時(shí))話說(shuō)豬八戒西天取經(jīng)后回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO,

可好景不長(zhǎng)，因資金周轉(zhuǎn)不靈集團(tuán)陷入了窘境,急需大量資金投入，于是豬八戒就找到孫悟空幫忙.悟空一

口就答應(yīng)：“行!我每天投資100萬(wàn)元，連續(xù)一個(gè)月(30天),但是有一個(gè)條件：作為回報(bào)，從投資的第一天起你必須返還我1元，第二天返還2元，第三天返還4元，……,即后一天返還數(shù)為前一天的2倍?！卑私渎犃诵睦锎蚱鹆诵∷惚P：“第一天：支出1元，收入100萬(wàn)元；第二天：支出2元，收入100萬(wàn)元；第三天：支出4元，收入100萬(wàn)元……哇，發(fā)財(cái)了……”心里越想越美，再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“這猴子老是欺負(fù)我，會(huì)不會(huì)又在耍我?

”問(wèn)

：假如你是高老莊集團(tuán)企劃部的高參，請(qǐng)你幫八戒分析一下按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資?又該返還給悟空多少錢?分析：30天八戒吸納的資金共3000萬(wàn)元。由于后一天返還數(shù)為前一天的2倍，且共有30天，所以八戒每一天返還悟空的錢依次是：1,2,22,23,…,

228,229S30=1+2+22+.….+28+229引入新課

選自《第七封印》人第1格：

1第2格：

2第3格：22第4格：

23第63格：

2?2第64格：263引入新課引入新課問(wèn)題1:這位聰明的發(fā)明者到底要求的是多少麥粒呢?麥?？倲?shù)為1+

2

+

22+

23+…+

23=人引入新課

公式推導(dǎo)探究S64的求法S?=1S?=1+2S?=1+2+22S?=1+2+22+23S6?=1+2+22+23+23

2??-1問(wèn)題2:

大膽猜想S?4應(yīng)該等于多少?沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

牛頓=1=2-1=3=22-1=7=23-1=15=2?-1年樹1sueMextn(1643-127),是兩國(guó)著名的物進(jìn)學(xué)家、數(shù)學(xué)室和天文學(xué)家，是十七世紀(jì)棋盤格數(shù)n

=53麥粒總數(shù)Sn

=9007199254740991A=(53,9007199254740991)n#536080100120200回歸故事情境，總共要多少粒麥

粒?應(yīng)用公式a1=1,q=2,n=64,S64=?60002000據(jù)已有資料，1000粒麥子的質(zhì)量為40克，麥粒的總質(zhì)量超過(guò)7000億噸；按2023年世界小麥年產(chǎn)量7.9億噸計(jì)算，是連續(xù)880多年的產(chǎn)量總和.糧食湊不夠指數(shù)爆炸式增長(zhǎng)的“威力”!國(guó)王做不到假想湊齊小麥，則可裝滿一個(gè)長(zhǎng)10米、寬8米、高從地球到太陽(yáng)距離大小

的“巨倉(cāng)”.

(地球到太陽(yáng)的距離大約

1.5億千米)回歸情境棋盤放不下引入新課

公式推導(dǎo)S??=1+2+22++2?2+2?3追問(wèn)1:觀察相鄰兩項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系?如果我們把每一項(xiàng)都乘以2,就變成了與它相鄰的后一項(xiàng)①式兩邊同乘以2則有2S??=2+22+23+…+23+2??②引入新課

公式推導(dǎo)追問(wèn)2:比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)?S??=1+2+22S?4=2+22+23+

…+2?3+

24

①

-

②得：

-

S

=1-2?即S=2?-164反思：縱觀全過(guò)程，①式兩邊為什么要乘以2?乘以3?22?

23?

等，會(huì)達(dá)到一樣的效果嗎?

人引入新課

式推導(dǎo)S=a?

+aq+a?q2+

+a?

q”qs=aiqtaig^2+.+ai+

…+a?q“?1+a?q”(1)-(2)得S

。-qS,=a?-a?q”

錯(cuò)位相減法(1-9)S,=a,(1-q”)31-9q=1,S

。=na錯(cuò)位相減法數(shù)列的錯(cuò)位相減法是數(shù)學(xué)史上逐步演變的經(jīng)典求和技巧，核心源于對(duì)“等差

區(qū)等比”型數(shù)列求和需求的邏輯推導(dǎo)。從歷史脈絡(luò)來(lái)看，其思想可追溯至古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德

(公元前287-前212年)——他在計(jì)算拋物線弓形面積時(shí)，首次運(yùn)用了“構(gòu)造等比數(shù)列、兩邊同乘

公比、錯(cuò)位相減消去中間項(xiàng)”的核心邏輯，這是錯(cuò)位相減法的雛形。后世數(shù)學(xué)家(如17世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家、明清時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)家)在處理級(jí)數(shù)求和問(wèn)題時(shí)，逐步將這一邏輯規(guī)范化、公式化，最終形成了如今中學(xué)數(shù)學(xué)中針對(duì)“a

=等差數(shù)列×等比數(shù)列”的標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)位相減求和方法。由等比數(shù)列得問(wèn)題1:你還有沒(méi)有其它方法來(lái)證明等比數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式?a2tasta4+?an=Sn-a歐幾里德(Euclid)a

a2+as+?..ann-a由等比定理得假如你是高老莊集團(tuán)企劃部的高參，請(qǐng)你幫八戒分析一下按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資?又該返還給悟空多少錢?1,2,22,23,.….,228,229S30=1+2+22+..+28+229=1073741823引入新課

公式推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式q=1,S=na

“知三求二”將

an=a?q-1

代入可得：當(dāng)

q

不知道是多少時(shí)，

一定要對(duì)q=1和q≠1進(jìn)行分類討論!5.=“1-引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例例1.已知數(shù)列{

a}是等比數(shù)列.(2

)

若a=270=2490.

求5若a

9=

求

5

,(1)(1)

若a=

=2解(1

)

因

為a=2

已

知a?q

求S,引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例例1.已知數(shù)列{

a}是等比數(shù)列.m1引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例例1.已知數(shù)列{

a}

是等比數(shù)列.可得27×解

(2)

由x=27.又由q<0,

得(2)若a=27.a,=4

q<0,

求S。已知a

an

求S則a,=a·q”-

1得例1.已知數(shù)列{

a

是等比數(shù)列.③

若a=8.q=

一，s=3求”引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例已知a,q

S

。求n9=1引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例練習(xí)1

.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列。(1)若a?=3,q=2,n=6,a?=6S=189求

S;;引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例na

q=1)-2---“9=1)

方程(組)的思想a?,a,q,n,S,

知三求二末項(xiàng)項(xiàng)數(shù)公比首項(xiàng)前

n項(xiàng)

和引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例例2:已知等比數(shù)列{a

前n項(xiàng)和為S,

若

S?=3,S?=84,

求公比q和a1.1-q,a=3,

代人S,=“?(1-a')=3

中，可得a,=1解：顯然

q≠1,

由引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例練求公比q和41

·(1-q2)(1+q)=1+q2=5→q2=4→q=±2,

代入S?=a?+a?=a(1+q)=3中，可得a=1

或-3人引入新課

公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例例3已

知：1+a+

a2+a3+a?+L+a”-?1,求前n項(xiàng)和為S?解：

(1)當(dāng)a=0時(shí)，S。=1(2)當(dāng)

a=1時(shí)

，S。=n(3)

當(dāng)a≠0,1時(shí)

，s。=1-a”a=0綜

上

所

述

，S。

n

a=11-a

a≠0,1引入新課公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例思維拓展

鞏固練習(xí)練

習(xí)

1求數(shù)列1,a,a2,..的前n項(xiàng)和Sn(a≠0)引入新課公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例思維拓展從函數(shù)的角度觀察等比數(shù)列的前n項(xiàng)和q≠1、

二

叫

!

一記為A(A≠0)

S,=A-Aq"(q>0.q≠1)q”

(q≠1a?1-qa?

1-qS引

入新課公式推導(dǎo)

應(yīng)用舉例思維拓展鞏固練習(xí)

課堂小結(jié)1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法(錯(cuò)位相減法)2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(注意q的分類