第14頁/共15頁天津市五區(qū)縣重點校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（共36分）一、選擇題（本題共9個小題，每題4分，共36分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、補集運算得解.【詳解】因為，，所以，，故選：D2.（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式即可得.【詳解】.故選：B.3.若滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，即可判斷選項.【詳解】因，，，故.故選：A.4.下列四個命題中為真命題的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.設(shè)是兩個集合，則“”是“”的充要條件C.“”是“”的必要不充分條件D.“”的否定是“”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充要條件的判斷方法可確定ABD項，根據(jù)帶量詞的命題的否定要求可判斷D項.【詳解】對于A，當(dāng)時，由可得，故充分性不成立；由可得，故可得，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，A錯誤；對于B，由可得，由也可推得，故“”是“”的充要條件，B正確；對于C，由可得：，則，故充分性成立；由可得：，而當(dāng)時，，故必要性不成立，即“”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，因“”的否定是“”，故D錯誤.故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性，排除部分選項，再利用在上函數(shù)值的正負(fù)判斷得解.【詳解】函數(shù)，對任意實數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，又，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，因此函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，選項A錯誤；當(dāng)時，，，選項BD錯誤，選項C符合要求.故選：C6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間可能是（）A. B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理求解.【詳解】因為，所以，又函數(shù)圖象連續(xù)且在0,+∞單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，，故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點即零點存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因為，，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，得出，，即可求解．【詳解】，，，則，，當(dāng)時，由，解得，又，故；當(dāng)時，由，得無解，同理當(dāng)時，無解．故選：B．8.已知函數(shù)，下面結(jié)論中正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.若，則C.的值域為D.若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AB選項；將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合反比例型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的值域，可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，A錯；對于B選項，因為，，B錯；對于C選項，因為，當(dāng)時，，則，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，則，此時，，綜上所述，函數(shù)的定義域為，C錯；對于D選項，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因為函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是0,1，D對.故選：D.9.已知函數(shù)若方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】作出圖像，令，則方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，且，則，解得，故選：.二、填空題（本題共5個小題，每題5分，共25分）10.已知扇形的周長為6cm，圓心角為2rad，則該扇形的面積是___________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)扇形的周長求出半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計算即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則，解得，所以該扇形的面積為.故答案為：.11.已知角的終邊上有一點，則的值為______．【答案】【解析】【分析】由題意及三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用化簡后代入即可求值.【詳解】因為角的終邊上有一點，所以.所以.故答案為：.12._____________.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)換底公式化簡計算即得.【詳解】.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求參數(shù)a的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系可得a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，對稱軸為直線，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得，∴參數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若時，方程的解分別為，，方程的解分別為，（），則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】首先通過求解含絕對值的方程，得到，同理解方程，得到，然后根據(jù)指數(shù)運算可得，最后根據(jù)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解的最小值.【詳解】由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，所以，即的最小值為.故答案為：三、解答題（本題共5個小題，共59分）15.已知為銳角，為鈍角，且，.（1）求值；（2）求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及齊次式的方法即可求解；（2）先由，可求得，再由兩角差的正切公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦二倍角公式，得，又，所以；【小問2詳解】因為為銳角，且，可得，由，可得，所以，所以.16.某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為30000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元.設(shè)該公司的儀器月產(chǎn)量為臺，當(dāng)月產(chǎn)量不超過400臺時，總收益為元，當(dāng)月產(chǎn)量超過400臺時，總收益為80000元.（注：利潤=總收益-總成本）（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元【答案】（1）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為15000元.【解析】【分析】（1）利用已知條件，結(jié)合分段函數(shù)，可直接列出利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）利用分段函數(shù)的解析式，分段求解函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）由題意得總成本為（）元，由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以利潤；（2）由（1）得，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，的最大值為15000；當(dāng)時，是減函數(shù)，所以；綜上，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為15000元.【點睛】本題考查利用函數(shù)思想求解實際問題，求解函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，然后把所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）最小正周期為π，單增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式，再用整體思想進行求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用好平移變換和伸縮變換，再利用整個思想求值域即可.【小問1詳解】的最小正周期為π；令，則，的單增區(qū)間為.【小問2詳解】的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來得到圖象，得到的圖象，，當(dāng)則，當(dāng)即時，單調(diào)遞增當(dāng)即時，單調(diào)遞減，又，在的值域為.18已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）試判斷在區(qū)間的單調(diào)性，并證明；（3）對，總，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，再借助二次函數(shù)求出值域.（2）由（1）求出，再利用函數(shù)單調(diào)性定義推理得證.（3）求出函數(shù)在上的值域，函數(shù)在上的值域，再結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問1詳解】函數(shù)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的值域為.【小問2詳解】由（1）知，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，由，得，，則，即，所以在區(qū)間上是增函數(shù).【小問3詳解】當(dāng)時，，因此，由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由對，總，使成立，得，則，又，則，即，則，所以實數(shù)的取值范圍是.19.對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱“類函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；（2）設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡，得，得到存在滿足，即可作出判定；（2）根據(jù)可化為，令，得到方程在[2,+∞)有解可保證是“M類函數(shù)”，分離參數(shù)，即可求解.（3）由為其定義域上的“類函數(shù)”，得到存在實數(shù)使得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，可得，即，整理得，所以存在滿足所以函數(shù)是“M類函數(shù)”.（2）當(dāng)時，可化為，令，則，從而在[2,+∞)有解可保證是“M類函數(shù)”，即在[2,+∞)有解可保證是“M類函數(shù)”，設(shè)在[2,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得函數(shù)的最小值為，所以，即.（3）由在上恒成立，可得，