08等腰三角形的性質(zhì)與判定（七大題型）【題型一根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長(zhǎng)】...............................................................1【題型二根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】...........................................................................4【題型三等腰三角形與垂直平分線有關(guān)運(yùn)算】....................................................................6【題型四判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)】........................................................................................9【題型五根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個(gè)數(shù)】...............................................................13【題型六等腰三角形的判定】...............................................................................................17【題型七等腰三角形的判定與性質(zhì)】.....................................................................................21【題型一根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長(zhǎng)】1．等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，其中一腰的長(zhǎng)為9，它的周長(zhǎng)是（

）．A．17 B．22 C．17或22 D．13【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義和周長(zhǎng)的計(jì)算，由等腰三角形的定義可知，另一個(gè)腰長(zhǎng)也為9，然后三邊相加即可得出答案．【詳解】解：等腰三角形的周長(zhǎng)為：9+9+4=22，故選：B2．若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4和8，則它的周長(zhǎng)是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．12或20【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，已知等腰三角形的兩邊的長(zhǎng)，但沒有明確這兩邊哪邊是腰，分類討論即可．【詳解】解：當(dāng)三邊長(zhǎng)是4，4，8時(shí)，4+4=8，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)三邊長(zhǎng)是8，8，4時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)是8+8+4=20．因此等腰三角形的周長(zhǎng)為20．故選：B．3．等腰三角形的兩邊分別長(zhǎng)4cm和6cm，則它的周長(zhǎng)是（A．14cm B．16cm C．14cm或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義及三角形三邊關(guān)系，分等腰三角形的腰長(zhǎng)為4cm或6【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4cm它的周長(zhǎng)為4+4+6=14cm當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為6cm時(shí)，邊長(zhǎng)分別為6、6、4它的周長(zhǎng)為6+6+4=16cm故選：C．4．等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．17 B．22 C．13 D．17或22【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，分腰長(zhǎng)為4和腰長(zhǎng)為9兩種情況，結(jié)合三角形中任意兩邊之和大于第三邊討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，4，9，∵4+4=8<9，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；當(dāng)腰長(zhǎng)為9時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，9，9，∵4+9=13>9，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為4+9+9=22，故選：B．5．在長(zhǎng)度分別是5cm,5cm,A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義即可得．【詳解】解：①選5cm,5cm,8cm②選5cm,5cm,③選5cm,8cm,④選8cm,8cm,即有3種不同的圍法，故選：B．6．一個(gè)等腰三角形，其中兩條邊長(zhǎng)度的比是2:5，其中一條邊長(zhǎng)度是10cm，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)最大可以是（

）cmA．18 B．24 C．45 D．60【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，分類討論，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形兩邊之比為2:5，設(shè)等腰三角形兩邊長(zhǎng)為2x，5x（x>0），若腰為2x，底邊為5x，此時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形．若腰為5x，底邊為2x，可以構(gòu)成三角形．此時(shí)三邊為5x、5x、2x，當(dāng)?shù)走叀驹斀狻拷猓骸叩妊切蝺蛇呏葹?:5，∴設(shè)等腰三角形兩邊長(zhǎng)為2x，5x（若腰為2x，底邊為5此時(shí)三邊為2x、2x、∵2x∴無(wú)法構(gòu)成三角形，三角形不存在．若腰為5x，底邊為2此時(shí)三邊為5x、5x、∵2x∴可以構(gòu)成三角形．當(dāng)?shù)走?x=10cm腰長(zhǎng)為5x∴此時(shí)三角形周長(zhǎng)為5x當(dāng)腰5x=10cm底邊長(zhǎng)為2x∴此時(shí)周長(zhǎng)為5x∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)最大可以是60故選：D．【題型二根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】1．已知等腰三角形的一個(gè)角是95°，則它的頂角是（

）A．45° B．65°或45° C．85° D．95°【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分95°為頂角和底角兩種情況分析求解即可．【詳解】解：若95°為頂角，符合題意；若95°為底角，但95°+95°=190°>180°不符合三角形的內(nèi)角和定理，故該等腰三角形的頂角是95°．故選：D．2．等腰三角形中的頂角是100°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（

）A．100°,20° B．40°,40°C．50°，50° D．40°,40°【答案】B【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的定義，正確掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．理解等腰三角形的底角相等，結(jié)合頂角是100°以及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：依題意，等腰三角形的底角相等，∵等腰三角形中的頂角是100°，∴底角度數(shù)為12即另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為40°,40°，故選：B3．等腰三角形一個(gè)外角為100°，則它的頂角為（

）A．40° B．80° C．100° D．80°或20°【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，利用平角定義，分100°的角是底角的外角和頂角的外角兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：①當(dāng)100°的角是底角的外角時(shí)，則底角度數(shù)為180°-100°=80°，則它的頂角為180°-80°-80°=20°；②當(dāng)100°的角是頂角的外角時(shí)，則頂角度數(shù)為180°-100°=80°；綜上，這個(gè)等腰三角形的頂角為20°或80°．故選：D．4．若一個(gè)等腰三角形的底角為55°，則它的頂角的度數(shù)為（

）A．55° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等得到另一個(gè)底角為55°，再利用三角形的內(nèi)角和為180°求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)等腰三角形的底角為55°，∴該等腰三角形的另一個(gè)底角為55°，∴它的頂角的度數(shù)為180°-2×55°=70°，故選：C．5．等腰三角形中，有一個(gè)內(nèi)角為80°，則該等腰三角形的頂角為（

）A．50° B．80° C．80°或20° D．20°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角為頂角或底角兩種情況討論，計(jì)算頂角的度數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)80°為頂角時(shí)：頂角即為80°；當(dāng)80°為底角時(shí)：兩個(gè)底角均為80°，頂角為180°-2×80°=20°；綜上，頂角可能為80°或20°，故選：C．6．等腰三角形的一個(gè)底角為40°，則其頂角為（

）A．50° B．130° C．100° D．50°或130°【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形兩底角相等，三角和為180度，即可求解．【詳解】解：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)底角為40°，則另一個(gè)底角也為40°．頂角的度數(shù)為：180°-40°-40°=100°，故選C．【題型三等腰三角形與垂直平分線有關(guān)運(yùn)算】1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)DA．30° B．60° C．90° D．110°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B∵AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)D，∴DA=∴∠DAC∴∠BDA故選：B．2．如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC，若A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】此題考查了等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=72°，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE，從而得到∠ACE【詳解】解：∵AB=∴∠B∵DE垂直平分AC，∴AE=∴∠ACE∴∠BEC∴∠BEC∴BC=∵CE=5∴BC=5故選：B3．如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，∠B=70°，∠CA．10° B．15° C．20° D．30°【答案】A【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAF的度數(shù)，由線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合等邊對(duì)等角，可得∠EAC的度數(shù)，用∠CAF的度數(shù)減去【詳解】解：∵∠B=70°，∠C∴∠BAC∵AF平分∠BAC∴∠CAF∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA=∴∠EAC∴∠FAE故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．4．如圖，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)M，AB+BMA．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線．首先連接AM，由AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)M，可得CM=AM，又由AB+BM=BC，CM+BM=BC，證得AB=CM=AM，得出∠C【詳解】解：如圖，連接AM，∵AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)M，∴CM=∵AB+BM=∴AB=∴∠C=∠MAC設(shè)∠C=∠MAC=∴∠BAM=180°-4∵∠BAC∴x=25°∴∠B故選：B．【題型四判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)】1．如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)O作EF∥BC交AB于A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EBO=∠CBO，∠FOC=∠FCO的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EOB【詳解】解：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)∴∠EBO=∠CBO∵EF∥∴∠EOB=∠CBO∴∠EBO∴BE=EO，又∵∠ABC=∠ACB∴AB=AC，且∴△ABC∵∠ABC=∠ACB，∠ABC與∴∠OBC∴OB=OC，即故等腰三角形有：△ABC故選：B．2．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°，CD

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)AB=AC得△ABC為等腰三角形，進(jìn)而得∠B=∠ACB=72°，再根據(jù)角平分線定義得∠DCA=∠【詳解】解：∵AB=∴△ABC∵∠A∴∠B∵CD平分∠ACB∴∠DCA∴∠DCA∴△ACD∵∠CDB∴∠CDB∴△CDB綜上所述：圖中共有3個(gè)等腰三角形．故選：C．3．如圖，在△ABC中，AB=ACA．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定定理．根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)定理確定各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)有兩個(gè)相等內(nèi)角的三角形是等腰三角形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解析:∵AB=AC∴∠∵BD、∴∠ABD∴∠A∴∠BDC同理，∠BEC∴∠BDC∴∠EOB同理，∠DOC=72°∴∠BEO∴等腰三角形有△OBC．△故選：A．4．如圖，在△ABC中，AC=BC,∠C=36°，A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，解決此題的關(guān)鍵是合理利用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系；先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義算出角度，再根據(jù)等角對(duì)等邊判斷等腰三角形即可；【詳解】解：∵AC=∴∠CAB∵BD平分∠ABC∴∠ABD∴∠C∴△CBD∵∠CAB=72°，∴∠ADB∴∠CAB∴△ABD∴△ABD，△CBD，△ACB故選：B．【題型五根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個(gè)數(shù)】1．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形．分兩種情況進(jìn)行討論，即AB為腰和底時(shí)，找出合適的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4故選：C．2．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A，B是兩格點(diǎn)，如果點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的存在性，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定可知要分三種情況討論，畫圖即可解決；【詳解】解：如圖所示，以A為頂點(diǎn)；如圖所示，以B為頂點(diǎn)；如圖所示，以C為頂點(diǎn)；綜上可知：等腰三角形一共8個(gè)，故選：C．3．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，BC=2，直線l是長(zhǎng)方形ABCD的一條對(duì)稱軸，且分別與AD，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若直線l上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得△PAB和△PBC均為等腰三角形，則動(dòng)點(diǎn)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得PB=PC，作AB的中垂線交l于點(diǎn)P，則△PAB和△PBC均為等腰三角形，再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓與直線l有四個(gè)交點(diǎn)，則【詳解】解：如圖，∵直線l是長(zhǎng)方形ABCD的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∴PB∴△PBC作AB或CD的垂直平分線與直線l有一個(gè)交點(diǎn)，使得△PAB和△以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)，使得△PAB和△以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)，，使得△PAB和△所以，動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有5個(gè)，故選：B．4．如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖：當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)，當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：C．【題型六等腰三角形的判定】1．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，若∠BAC=80°【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠BAD=∠CAD=【詳解】證明：∵AB=AC，D∴∠BAD=∠CAD∴∠ADC∵∠BAC∴∠CAD∵∠CDE∴∠ADE∴∠AED∴∠ADE∴AD∴△ADE2．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB(1)求證：△DEB(2)當(dāng)AB=AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與【答案】(1)見解析；(2)CD=【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的定義可知∠CBD=∠EBD（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可證∠C=∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證∠ADE=∠AED，根據(jù)等角對(duì)等邊可證AD=AE，從而可證【詳解】（1）證明：∵BD是△ABC∴∠CBD∵DE∴∠CBD∴∠EBD∴DE∴△DEB（2）解：CD=理由如下：∵AB∴∠C∵DE∴∠ADE=∠C∴∠ADE∴AD∴AC∴CD由1可知∠EBD∴BE∴CD3．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線交AD于點(diǎn)F(1)求證：△ABE(2)若AC=11，AB=6，求【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（1）由垂直的定義得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分線的定義得到∠EAF（2）連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DBF，等量代換得到∠【詳解】（1）證明：∵BE∴∠AFE又∵AD平分∠∴∠EAF又∵在△AEF和△∠AFE+∠∴∠AEF∴AE∴△ABE（2）如圖，連接DE，∵AE=AB，∴AD垂直平分BE∴BD∴∠DEF∵∠AEF∴∠AED又∵∠ABC∴∠AED又∵△CED中，∠∴∠C∴EC∴CE∴BD4．如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF交AB于點(diǎn)E，∠ADF=∠DFC，點(diǎn)G在邊BC上，連接DG，DF平分∠【答案】見解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，先證明∠ADF=∠GDF，結(jié)合∠【詳解】證明：∵DF平分∠∴∠ADF∵∠ADF∴∠GDF∴GD∴△DFG5．如圖，AB∥CD，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E【答案】見解析【分析】此題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AEC=∠DCE，根據(jù)角平分線定義求出∠ACE=∠DCE，則【詳解】證明：∵AB∴∠AEC∵CE平分∠∴∠ACE∴∠ACE∴AC∴△ACE【題型七等腰三角形的判定與性質(zhì)】1．如圖，△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB=AC，(1)如圖1，在△ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接AF，求∠(2)如圖2．①若BD=9，求CE②若∠BCE=13°，求【答案】(1)25°(2)①9；②78°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）①由SAS可證△DAB≌△EAC②由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=65°，由全等三角形的性質(zhì)可求【詳解】（1）解：∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC∴∠∵∠BAC∴∠BAF（2）①∵∠DAE∴∠DAE∴∠DAB在△DAB和△AD=AE，∠DAB∴△DAB∴BD∵BD∴CE②∵AB∴△ABC∴∠ABC∵∠BAC=50°，∴2∠ACB∴∠ACB∴∠ACE由①得，△DAB∴∠ABD∴∠ABD的度數(shù)是78°2．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是(1)【問(wèn)題初探】求證：△OCD(2)【問(wèn)題再探】當(dāng)α=150°時(shí)，求∠(3)【問(wèn)題拓展】當(dāng)△AOD是等腰三角形時(shí)，求α【答案】(1)見解析(2)∠(3)α=110°或125°或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CO=（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ODC=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出（3）先根據(jù)周角的定義和等邊三角形的性質(zhì)求出∠AOD=190°-α，∠ODA=α-60°，再分當(dāng)AO=AD時(shí)，則【詳解】（1）證明：由等邊△ABC知，∠∵△BOC∴OC=DC，∴∠OCD∴△OCD（2）解：由（1）知△OCD∴∠ODC∵△BOC≌△ADC∴ADC=∠∴∠ADO（3）解：∵∠AOB∴∠AOC∵△COD∴∠COD∴∠AOD=∠AOC當(dāng)AO=AD時(shí)，則∴190°-α∴α=125°當(dāng)OA=OD時(shí)，則∵∠OAD∴190°-α∴α=110°當(dāng)AD=OD時(shí)，則∵∠OAD∴2190°-∴α=140°綜上所述，α=125°或α=110°或3．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交(1)求證：△AED(2)若∠C=110°，∠B【答案】(1)見解析(2)∠【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD，由DE∥AB（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求出∠BAC=40°，由【詳解】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD∵DE∴∠BAD∴∠CAD∴AE∴△AED（2）解：∵∠C∴∠BAC∵DE∴∠AED∴∠AED4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，分別交AB，AC(1)證明：△BOC(2)BM與CN相等嗎？對(duì)你的結(jié)論說(shuō)明理由．(3)證明：AO⊥【答案】(1)見解析(2)BM=(3)見解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC（2）根據(jù)MN∥BC得到∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，則（3）先證明△ABO≌△ACOSSS，得到∠BAO【詳解】（1）證明：∵AB=∴∠ABC又∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)∴∠ABC=2∠OBC∴∠OBC∴OB=∴△BOC（2）解：BM=∵AB=∴∠ABC∵M(jìn)N∥∴∠AMN=∠ABC∴∠AMN∴AM=∴AB-即BM=（3）證明：由（1）得OB=∵AB=AC，∴△ABO∴∠BAO∵AM=∴AO⊥

1．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D不與A、B兩點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，若∠AED=50°，則A．60° B．70° C．70°或20° D．60°或30°【答案】C【分析】本題考查了垂線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)垂線的定義得到∠ADE=90°，從而求得【詳解】解：依題意，①如圖1，∵DE⊥∴∠ADE又∵∠AED∴∠A∵△ABC∴∠B②如圖2，∵DE⊥∴∠ADE又∵∠AED∴∠BAC∵△ABC∴∠B綜上所述：∠B=70°故選：C．2．若實(shí)數(shù)x、y滿足|x-8|+y-4=0A．20 B．16 C．20或16 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，先根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性得x-8=0,【詳解】解：∵實(shí)數(shù)x、y滿足x-∴x-解得x=8,當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4時(shí)，4+4=8，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為：8+8+4=20,符合題意.故選：A.3．如圖，在△ABC中（∠C>∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列結(jié)論：①∠AOB=90°+12∠C；②∠EODA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及定義，三角形的內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)可知①正確；根據(jù)全等三角形的內(nèi)角和定理及角平分線可知②正確；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角形的面積可知③錯(cuò)誤，利用等腰三角形的三線合一可判斷④正確．【詳解】解：∵在△ABC中，∠∴12∵AE和BF是∠BAC和∠∴∠OBA∵∠∴∠AOB故①正確；∵AE和BF是∠BAC和∠∴∠F