10逆命題與逆定理（三大題型）【題型一寫出命題的逆命題】............................................................................................1【題型二互逆定理】............................................................................................................5【題型三線段垂直平分線的判定】.............................................................................6【題型一寫出命題的逆命題】1．寫出命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題．【答案】兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等【詳解】本題考查命題的逆命題，解題的關(guān)鍵是明確原命題的條件和結(jié)論，再交換條件與結(jié)論得到逆命題．確定原命題“兩個全等三角形的面積相等”的條件和結(jié)論，交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題．【分析】解：原命題“兩個全等三角形的面積相等”中，條件是“兩個三角形全等”，結(jié)論是“這兩個三角形的面積相等”．根據(jù)逆命題的定義，交換原命題的條件和結(jié)論，得到的逆命題為：“兩個三角形面積相等則這兩個三角形全等”．故答案為：兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等．2．命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等”的逆命題是．【答案】如果兩個三角形的對應(yīng)邊相等，那么這兩個三角形全等【分析】本題考查命題與定理，關(guān)鍵掌握三角形全等的判定定理及性質(zhì)．將原命題的條件與結(jié)論互換即可得到其逆命題．【詳解】解：∵原命題的條件是：如果兩個三角形全等，結(jié)論是：那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等，∴其逆命題是：如果兩個三角形的對應(yīng)邊相等，那么兩個三角形全等．故答案為：如果兩個三角形的對應(yīng)邊相等，那么這兩個三角形全等．3．把命題“等邊三角形三個內(nèi)角都相等”的逆命題寫成“如果…那么…”的形式為．【答案】如果一個三角形的三個內(nèi)角都相等，那么這個三角形是等邊三角形【分析】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握命題與定理的寫法．一個命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，一般都能寫成“如果…，那么…”的形式．如果后面是條件，那么后面是結(jié)論．【詳解】因為“等邊三角形三個內(nèi)角都相等”的逆命題為：三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，則可寫成如果一個三角形的三個內(nèi)角都相等，那么這個三角形是等邊三角形．故答案為：如果一個三角形的三個內(nèi)角都相等，那么這個三角形是等邊三角形．4.“如果a=b，那么a2=b2”這個命題的逆命題是【答案】如果a2=b2【分析】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：命題“如果a=b，那么a2=b2∴逆命題是如果a2=b當a=2，b=-2時，a2∴該命題是假命題．故答案為：如果a2=b5．命題“如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等”的逆命題是．【答案】如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形【分析】本題考查了逆命題的概念，解題的關(guān)鍵是掌握逆命題的構(gòu)造方法，即交換原命題的題設(shè)和結(jié)論．?先明確原命題的題設(shè)是“一個四邊形是平行四邊形”，結(jié)論是“這個四邊形的兩組對邊分別相等”；再交換題設(shè)和結(jié)論，即可得到原命題的逆命題．?【詳解】解：原命題的題設(shè)為“一個四邊形是平行四邊形”，結(jié)論為“這個四邊形的兩組對邊分別相等”．?根據(jù)逆命題的定義，交換題設(shè)和結(jié)論后，逆命題為“如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形”．?故答案為：如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．6．命題“若a2≥0，那么a≥0”的逆命題為，此逆命題是命題（填“真”或“【答案】若a≥0，那么a2【分析】本題考查命題及逆命題，把命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再根據(jù)實數(shù)的平方判斷真假．熟記逆命題的概念、真假命題的判斷方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：命題“若a2≥0，那么a≥0”的逆命題為“若a≥0故答案為：若a≥0，那么a7．把命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式為【答案】如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等【分析】本題主要考查了逆命題的改寫，熟練掌握原命題的題設(shè)和結(jié)論的分析方法是解題的關(guān)鍵．先明確原命題的題設(shè)和結(jié)論．然后交換題設(shè)和結(jié)論得到逆命題．最后將逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式．【詳解】解：∵原命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的題設(shè)是“內(nèi)錯角相等”，結(jié)論是“兩直線平行”，∵逆命題是交換原命題的題設(shè)和結(jié)論，即題設(shè)為“兩直線平行”，結(jié)論為“內(nèi)錯角相等”，∴改寫成“如果……，那么……”的形式為“如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等”，故答案為：如果兩直線平行，那么內(nèi)錯角相等．8．命題“如果x=1，那么x2=1”的逆命題是，該逆命題是命題（填“真”或“【答案】如果x2=1，那么x=1【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．注意，判定一個命題是假命題舉反例．先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)有理數(shù)的平方判斷即可．【詳解】解：命題“如果x=1，那么x2=1”的逆命題是如果x例如：當x=-1時，(-1)2故答案為：如果x2=1，那么9．命題“在同一個三角形中，等角對等邊”的逆命題是，此逆命題是命題（填“真”或“假”）．【答案】在同一個三角形中，等邊對等角真【分析】本題考查了命題，根據(jù)互逆命題的定義即可求解，掌握互逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：“在同一個三角形中，等角對等邊”的逆命題是“在同一個三角形中，等邊對等角”，逆命題是真命題，故答案為：在同一個三角形中，等邊對等角，真．10．寫出下列命題的逆命題：(1)如果a=b，那么(2)同角的余角相等；(3)如果|a|=|b(4)等腰三角形的兩個底角相等．【答案】(1)如果a2=(2)相等的兩個角是同一個角的余角(3)如果a=b(4)有兩個角相等的三角形是等腰三角形【分析】本題考查了逆命題的概念，熟練掌握逆命題的概念是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)逆命題的概念，即原命題為“若p，則q”，那么逆命題為“若q，則p”，由此可解；（2）根據(jù)逆命題的概念，即原命題為“若p，則q”，那么逆命題為“若q，則p”，由此可解；（3）根據(jù)逆命題的概念，即原命題為“若p，則q”，那么逆命題為“若q，則p”，由此可解；（4）根據(jù)逆命題的概念，即原命題為“若p，則q”，那么逆命題為“若q，則p”，由此可解．【詳解】（1）解：如果a=b，那么a2=b（2）解：同角的余角相等的逆命題為：相等的兩個角是同一個角的余角；（3）解：如果|a|=|b|，那么a=（4）解：等腰三角形的兩個底角相等的逆命題為：有兩個角相等的三角形是等腰三角形．【題型二互逆定理】1．下列定理有逆定理的是（

）A．對頂角相等 B．全等三角形的對應(yīng)角相等C．同角的余角相等 D．線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等【答案】D【分析】本題主要考查了逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．分別寫出各個選項的條件和結(jié)論互換的說法，然后進行判斷即可．【詳解】解：A、逆命題為：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，錯誤，故沒有逆定理，不符合題意；B、逆命題為：如果兩個三角形對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等，錯誤，故沒有逆定理，不符合題意；C、逆命題為：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角，錯誤，故沒有逆定理，不符合題意；D、逆命題為：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，正確，且是逆定理，符合題意；故選：D．2．下列定理：①等腰三角形兩底角相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③同位角相等，兩直線平行．其中有逆定理的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】本題考查定理與逆定理，分別寫出三個命題的逆命題，判斷真假，即可得出結(jié)果．【詳解】解：①的逆命題為：兩個角相等的三角形是等腰三角形，為真命題；②的逆命題為：對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等，為真命題；③的逆命題為：兩直線平行，同位角相等，為真命題；故三個定理都有逆定理；故選：D．3．下列三個定理中，①有兩個角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的對應(yīng)角相等；③同位角相等，兩直線平行；存在逆定理的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查的是命題與定理，把命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，判斷正誤，得出結(jié)論．【詳解】解：①有兩個角相等的三角形是等腰三角形，逆命題是等腰三角形有兩個角相等，逆命題正確，存在逆定理；②全等三角形的對應(yīng)角相等，逆命題是對應(yīng)角相等的三角形全等，逆命題不正確，不存在逆定理；③同位角相等，兩直線平行，逆命題是兩直線平行，同位角相等，逆命題正確，存在逆定理；綜上，存在逆定理的是①③，一共2個，故選：C．4．請寫出定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆定理：．【答案】內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查了逆定理，根據(jù)題意，將題設(shè)與結(jié)論交換位置即可．【詳解】解：定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆定理是“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【題型三線段垂直平分線的判定】1．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點P，Q，R分別在邊AB，BC，AC上，且PB=QC，【答案】見解析【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)以及線段的垂直平分線的判定，掌握“到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理證明△PBQ≌△QCR【詳解】證明：在△PBQ和△PB∴△PBQ∴PQ∴點Q在PR的垂直平分線上．2．課本再現(xiàn)：前面已經(jīng)證明了：“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”；反過來，其逆命題：“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”成立嗎？事實上，可以證明這個“線段垂直平分線”判定定理．現(xiàn)已經(jīng)寫出了已知，求證，請你完成這一定理的證明過程：已知：如圖，線段AB，PA=PB，求證：點P在線段【答案】見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明．連接點P與AB的中點O，利用SSS可證△PAO≌△PBO，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可證∠POA=∠【詳解】連接點P與AB的中點O，在△PAO和△PA=∴△PAO∴∠POA又∠POA∴∠POA∴PO是AB的垂直平分線，∴點P在線段AB的垂直平分線上．3．如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，F(xiàn)為CA的延長線上一點，過點F作FG⊥BC于G(1)AD∥(2)點A在EF的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．（1）先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD⊥（2）先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠CAD=∠BAD，再利用平行線的性質(zhì)可得∠F=∠【詳解】（1）解：∵AB=AC，D為∴AD⊥∵FG⊥∴AD∥（2）解：∵AB=AC，D為∴∠CAD∵AD∥∴∠F∴∠F∴AF=∴點A在EF的垂直平分線上．4．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，且AD=AC，DE∥BC，DC平分∠【答案】見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證明∠FDC=∠FCD，進而得到FD=FC，再由AD【詳解】證明：∵DE∥∴∠EDC∵DC平分∠EDF∴∠EDC∴∠FDC∴FD=又∵AD=∴AF垂直平分CD．5．綜合與實踐：初步認識箏形后，實踐小組動手制作了一個“箏形功能器”．如圖，在箏形ABCD中，AB=【操作應(yīng)用】（1）如圖①，將“箏形功能器”上的點A與∠PRQ的頂點R重合，AB,AD分別放置在角的兩邊RP,RQ上，并過點A,C【實踐拓展】（2）實踐小組嘗試使用“箏形功能器”檢測教室門框是否水平．如圖②，在儀器上的點A處拴一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘（鉛垂線），儀器上的點B,D緊貼門框上方，觀察發(fā)現(xiàn)線繩恰好經(jīng)過點【答案】（1）AE是∠PRQ的平分線，理由見解析；（2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定；（1）證明△ABC（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可得AC垂直平分BD，即可解答．【詳解】解（1）AE是∠PRQ在△ABC和△∵AB=AD,∴△ABC∴∠BAC即AE是∠PRQ（2）∵AB=∴點A，C均在線段BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，∵AC是垂直的，∴BD是水平的．6．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC右側(cè)一點，連接AD、CD、BD，AD=CD，【答案】證明見解析【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，先證明△ABC為等邊三角形，可得BA=【詳解】證明：∵∠BAC=60°，∴△ABC∴BA=∴B在AC的垂直平分線上，∵AD=∴D在AC的垂直平分線上，∴BD是AC的垂直平分線．7．如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC，(1)求證：AC⊥(2)若AD=AC=6，BD【答案】(1)見解析；(2)30．【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，面積公式，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）證明BD垂直平分AC即可；（2）先證明△ADC是等邊三角形，由BD垂直平分AC，則有OC=OA【詳解】（1）證明：∵AD=∴點D在AC的垂直平分線上，∵AB=∴點B在AC的垂直平分線上，∵D，B是不同的兩點，∴BD垂直平分AC，∴AC⊥（2）解：∵AD=∴△ADC∵BD垂直平分AC，∴O是AC的中點，∴OC=∵S∴S==30，∴四邊形ABCD的面積為30．8．如圖，在△ABC中，l是AB的垂直平分線，與邊AC交于點E，點D在l上，且DB=DC(1)求證：點D在邊AC的垂直平分線上；(2)連接BE，若BD⊥CD，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵是熟練運用垂直平分線的性質(zhì)和判定，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)角度關(guān)系．（1）利用垂直平分線性質(zhì)得DA=DB，結(jié)合DB=DC推出DA=（2）連接AD得到DA=DB=DC，設(shè)角并結(jié)合BD⊥【詳解】（1）證明：∵l是AB的垂直平分線，點D在l上，∴DA=∵DB=∴DA=∴點D在AC的垂直平分線上．（2）證明：由（1）可知DA=DB=DC，由設(shè)∠DAB∵BD∴在△BDC中，∠在△ABC中，∠即∠DBC∴90°+2α+β即∠BAE∵點E在邊AB的垂直平分線上，∴AE=∴∠EBA∴∠AEB=180°-∠9．已知，在△ABC中，AB=AC，如圖①，分別以點B和點C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧在A點的另一側(cè)相交于點D，連接BD，CD，作直線AD(1)你認為AE與BC有什么關(guān)系？請說明理由．(2)如圖②，若點P是直線AD上的任意一點，PB與PC有什么關(guān)系？為什么？【答案】(1)AE垂直平分線段BC，證明見解析(2)PB=【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)；（1）由AB=AC，由作圖可得：（2）根據(jù)AE是線段BC的垂直平分線可得答案.【詳解】（1）解：AE垂直平分線段BC，理由如下：∵AB=AC，由作圖可得：∴AE是線段BC的垂直平分線；∴AE垂直平分線段BC；（2）解：PB=由（1）得：AE是線段BC的垂直平分線；點P是直線AD上的任意一點，∴PB=10．（1）如圖1，在△ABC，AB=AC，O為△ABC內(nèi)一點，且OB=要證直線AO垂直平分BC，只要證點A、點O都在BC的垂直平分線上，即要證______=_____，______=_____（2）如圖（2），在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且BD（3）如圖3，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，【答案】（1）AB，AC，OB，OC；（2）見解析；（3）見解析【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）利用線段垂直平分線定理的逆定理；（2）連接BE、CD，它們相交于P點，延長AP交BC于H，如圖（2），證明△BCD≌△CBE得到∠BCD=∠CBE，則（3）如圖（3），連接AC、AD、BD、CE，BD與CE相交于G，延長AG交CD于M，則AM為所作．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴直線AO垂直平分BC；故答案為AB=AC，（2）如圖，連接BE、CD，它們相交于P點，延長AP交BC于H，如圖（2），則AH為BC的垂直平分線．理由如下：∵AB∴∠ABC∵BD=CE∴△BCD∴∠BCD∴PB而AB=∴AH垂直平分BC（3）如圖（3），AM為所作．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC(1)若∠BAC=40°，求(2)求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【答案】(1)70°；(2)見解析．【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂直的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)．1根據(jù)角平分線的定義可知∠EAD=20°，根據(jù)垂直的定義可知∠AED2利用AAS可證△AED≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AE=AC，又因為AD平分【詳解】（1）解：∵∠BAC=40°，AD平分∴∠EAD∵DE∴∠AED∴∠EDA（2）證明：∵DE⊥AB∴∠AED∵AD平分∠∴∠DAE=∠DAC在△AED和△ACD中∴△AED∴AE∵AD平分∠∴AD⊥CE，AD∴直線AD是線段CE的垂直平分線．12．如圖所示，在△ABC中，D是邊AB上一點，AD=AC，過點D作DE∥BC交AC于點E，點F是BC上一點，連接DF，CD，AF，且DC平分∠

【答案】見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，平行線的性質(zhì)等知識，由平行線的性質(zhì)得出∠CDE=∠DCF，由角平分線的定義得出∠CDF=∠CDE，等量代換可得出∠CDF=∠DCF，由等角對等邊可得出DF=CF【詳解】證明：∵∴∠∵DC平分∴∠∴∠∴∴點F在線段CD的垂直平分線上∵∴點A在線段CD的垂直平分線上∴AF垂直平分

1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC(1)求證：△ABD(2)求證：AC是線段ED的垂直平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由∠ABC=90°，AD∥BC得∠BAD=∠ABC=90°，∠ADB（2）由△ABD≌△BCE及E為中點可得AD=AE；由AB=BC及AD∥【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90∴∠BAD∴∠ADB∵CE⊥∴∠ABD∴∠CEB在△ABD與△∠BAD∴△ABD（2）證明：∵△ABD∴AD=∵點E為AB的中點，∴AE=∴AD=∵AB=∴∠BAC∵AD∥∴∠DAC∴