2025—2026學(xué)年第一學(xué)期高二學(xué)科素養(yǎng)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)至選擇性必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A B. C. D.2.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.3.圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含4.若拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5.在平行四邊形中，，，則（）A. B. C. D.6.已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則的斜率為（）A.5 B.6 C. D.7.在正三棱柱容器中，，，能夠放入該三棱柱的球的最大半徑為，將一些半徑為的小球放入該三棱柱（球要全部進(jìn)入三棱柱中），則放入的小球個(gè)數(shù)最多為（）A.4 B.5 C.6 D.78.已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A B. C. D.二、選擇題：本題其3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，則（）A.的虛軸長(zhǎng)為 B.C.焦距為3 D.的漸近線方程為10.已知點(diǎn)，則（）AB.C.在上的投影向量為D.點(diǎn)到直線的距離為11.當(dāng)且時(shí)，恒成立，則稱是同號(hào)增函數(shù)．下列函數(shù)中，是同號(hào)增函數(shù)的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則______．13.已知復(fù)數(shù)的模為，且為純虛數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)：______．14.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)均在上，且，則的離心率為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某款智能汽車具備“自動(dòng)泊車”和“自動(dòng)輔助變道”兩項(xiàng)功能.已知該款汽車成功完成“自動(dòng)泊車”的概率為0.8，成功完成“自動(dòng)輔助變道”的概率為0.9.假設(shè)這兩項(xiàng)功能的工作狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)該款智能汽車進(jìn)行一次變道測(cè)試和一次泊車測(cè)試.（1）求汽車兩項(xiàng)功能測(cè)試都成功的概率；（2）求汽車恰有一項(xiàng)功能測(cè)試成功的概率.16.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且是周長(zhǎng)為的直角三角形．（1）求的方程．（2）設(shè)直線：與交于，兩點(diǎn)．（?。┣笾担唬áⅲ┣笏倪呅蔚拿娣e．17.如圖，在三棱錐中，平面，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，．（1）證明：平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．18.已知函數(shù)（，）的最小正周期為，最大值為2．（1）求，；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，的角平分線，求的最小值．19.已知拋物線：的準(zhǔn)線方程為．（1）求的方程．（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的取值范圍；（ⅲ）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)在一條定直線上．

2025—2026學(xué)年第一學(xué)期高二學(xué)科素養(yǎng)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)至選擇性必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出集合的補(bǔ)集和并集，再結(jié)合交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，則又因?yàn)榛颍瑒t，所以故選：D.2.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，再結(jié)合模長(zhǎng)公式及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由得，即，又，，所以，解得故選：C3.圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】A【解析】【分析】先寫出圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓心間距離和半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓與圓的半徑分別為2，1，圓心坐標(biāo)分別為，，則，故圓與圓的位置關(guān)系是外離.故選：A.4.若拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求解．【詳解】拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可得，，，解得，故B正確．故選：B．5.在平行四邊形中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到即為的中點(diǎn)，，從而得到.【詳解】，故，即為的中點(diǎn)，所以與相交于點(diǎn)，又，，所以，，故.故選：B6.已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則的斜率為（）A.5 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)由點(diǎn)差法可得直線的斜率，可得答案.【詳解】設(shè)由AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則且，所以.又A，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以由相減可得，即，所以，即，解得，所以的斜率為.故選：A.7.在正三棱柱容器中，，，能夠放入該三棱柱的球的最大半徑為，將一些半徑為的小球放入該三棱柱（球要全部進(jìn)入三棱柱中），則放入的小球個(gè)數(shù)最多為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)球與正三棱柱的側(cè)面相切，求得球的最大半徑，再根據(jù)正三棱柱的高求解.【詳解】在正三棱柱中，，，能夠放入該三棱柱的球的最大半徑為，則該球與正三棱柱的側(cè)面相切，所以，解得，所以，因?yàn)?，，所以將一些半徑為的小球放入該三棱柱，則放入的小球個(gè)數(shù)最多為5個(gè).故選：B8.已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由直線方程確定經(jīng)過(guò)，進(jìn)而可得圓心到直線的距離的最大值為，從而可得弦的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€：，變形為，令，解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且該點(diǎn)在圓內(nèi).如圖：過(guò)原點(diǎn)O作，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：C.二、選擇題：本題其3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，則（）A.的虛軸長(zhǎng)為 B.C.的焦距為3 D.的漸近線方程為【答案】AB【解析】【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合虛軸、定義、焦距、漸近線的定義求解.【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則則虛軸長(zhǎng)為，A正確；，B正確；焦距為，C錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知點(diǎn)，則（）A.B.C.在上的投影向量為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷AB；求出投影向量坐標(biāo)判斷C；利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算判斷D.【詳解】由點(diǎn)，得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，因此在上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，D正確.故選：ABD11.當(dāng)且時(shí)，恒成立，則稱是同號(hào)增函數(shù)．下列函數(shù)中，是同號(hào)增函數(shù)的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】解，再判斷在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是否為增函數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，得，得，在，上單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，，得，而，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，得，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故C正確；D選項(xiàng)，得；得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得故答案為：.13.已知復(fù)數(shù)的模為，且為純虛數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)：______．【答案】，（答案不唯一，只需即可）.【解析】【分析】設(shè)，從而得到方程組，求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)，則，，又為純虛數(shù)，故，，聯(lián)立可得，故，不妨令.故答案為：（答案不唯一，只需即可）.14.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)均在上，且，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線定義，結(jié)合余弦定理列式求出離心率.【詳解】令雙曲線的左焦點(diǎn)為，半焦距為，連接，由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得四邊形為平行四邊形，則，不妨令點(diǎn)在第一象限，由，得，而，則，在中，由余弦定理得，因此，解得，所以的離心率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某款智能汽車具備“自動(dòng)泊車”和“自動(dòng)輔助變道”兩項(xiàng)功能.已知該款汽車成功完成“自動(dòng)泊車”的概率為0.8，成功完成“自動(dòng)輔助變道”的概率為0.9.假設(shè)這兩項(xiàng)功能的工作狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)該款智能汽車進(jìn)行一次變道測(cè)試和一次泊車測(cè)試.（1）求汽車兩項(xiàng)功能測(cè)試都成功的概率；（2）求汽車恰有一項(xiàng)功能測(cè)試成功的概率.【答案】（1）0.72；（2）0.26.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式列式計(jì)算.（2）利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式列式求解.【小問(wèn)1詳解】記事件成功完成“自動(dòng)泊車”，事件成功完成“自動(dòng)輔助變道”，事件相互獨(dú)立，則，汽車兩項(xiàng)功能測(cè)試都成功的事件為，所以汽車兩項(xiàng)功能測(cè)試都成功的概率.【小問(wèn)2詳解】汽車恰有一項(xiàng)功能測(cè)試成功的事件為，因此，所以汽車恰有一項(xiàng)功能測(cè)試成功的概率為0.26.16.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且是周長(zhǎng)為的直角三角形．（1）求的方程．（2）設(shè)直線：與交于，兩點(diǎn)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ?【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)及三角形為直角三角形可得，進(jìn)而可得方程；（2）（?。┲苯痈鶕?jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得；（ⅱ）將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的和，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭侵荛L(zhǎng)為的直角三角形，再由橢圓的定義可得，即.又因?yàn)闉橹苯侨切?，且為上頂點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，故.又由，即，代入，解得.故的方程為.【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）將直線：代入，消去x得，，.所以.（ⅱ）由（?。┲?，且與異號(hào)，所以..所以.所以四邊形的面積為.17.如圖，在三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，．（1）證明：平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）.【解析】【分析】（1）先通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量，再證明與平面的法向量垂直，且不在平面內(nèi)，從而得出線面平行；（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)線面角的向量公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，，故以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，已知，則，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，即，因?yàn)?，所以，，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，所以平面，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，所以，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?，，，所以，因此，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)（，）的最小正周期為，最大值為2．（1）求，；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，的角平分線，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)周期和最大值，計(jì)算得到參數(shù)的值；（2）利用函數(shù)整體代入求單調(diào)區(qū)間；（3）先根據(jù)條件求角，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求的最小值，進(jìn)而求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，最大值為2．，所以，，解得【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，令，解得：，所以的單調(diào)增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，結(jié)合，解得，由為角平分線，，，由面積法：化簡(jiǎn)得，由余弦定理設(shè)，則，代入得由均值不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.在時(shí)單調(diào)遞增，故時(shí)，最小，即的最小值為.19.已知拋物線：的準(zhǔn)線方程為．（1）求的方程．（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的取值范圍；（ⅲ）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）結(jié)合準(zhǔn)線方程求出，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）