核心素養(yǎng)導(dǎo)向下“2、5的倍數(shù)特征”探究式教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施——基于PBL與差異化教學(xué)的探索（人教版五年級(jí)下冊(cè)）一、教學(xué)內(nèi)容分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出數(shù)的過程，探索數(shù)的特征，發(fā)展數(shù)感和推理意識(shí)。本節(jié)課“2、5的倍數(shù)的特征”位于人教版五年級(jí)下冊(cè)第二單元，是在學(xué)生掌握了因數(shù)、倍數(shù)的概念以及如何找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)之后，對(duì)整數(shù)特征進(jìn)行規(guī)律性探索的起始課。從知識(shí)技能圖譜看，本節(jié)課的核心概念是“倍數(shù)特征”，關(guān)鍵技能是“觀察、歸納與演繹推理”，認(rèn)知要求從具體的“識(shí)記特征”上升為理解特征背后的“算理本質(zhì)”。它承上鞏固了倍數(shù)的意義，啟下為后續(xù)探索3的倍數(shù)特征、質(zhì)數(shù)與合數(shù)乃至公倍數(shù)知識(shí)奠定了重要的研究方法基礎(chǔ)。過程方法上，本節(jié)課是滲透“歸納推理”這一數(shù)學(xué)基本思想的絕佳載體。學(xué)生將從有限的例子中觀察、猜想，并通過舉例驗(yàn)證或算理分析來得出結(jié)論，完整經(jīng)歷“具體實(shí)例—觀察發(fā)現(xiàn)—提出猜想—驗(yàn)證猜想—得出結(jié)論”的數(shù)學(xué)探究路徑，這正是“三會(huì)”中“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的雛形。素養(yǎng)價(jià)值滲透方面，探尋數(shù)字規(guī)律本身充滿趣味，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，培養(yǎng)科學(xué)探究精神；同時(shí)，特征在編碼、生活情境中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，有助于形成理性看待世界的數(shù)學(xué)眼光。

基于“以學(xué)定教”原則進(jìn)行學(xué)情研判：五年級(jí)學(xué)生已具備較好的整數(shù)認(rèn)知基礎(chǔ)，熟悉百數(shù)表，能熟練列舉一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。他們的思維正從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，具備初步的觀察、比較和歸納能力。潛在的認(rèn)知障礙在于：其一，可能滿足于特征結(jié)論的記憶，而忽視對(duì)“為什么個(gè)位能決定倍數(shù)特征”這一算理本質(zhì)的追問；其二，在歸納時(shí)可能因舉例不全而產(chǎn)生以偏概全的誤區(qū)；其三，在區(qū)分奇偶數(shù)時(shí)，可能受前概念影響，將“單雙數(shù)”的生活說法與數(shù)學(xué)定義混淆。教學(xué)對(duì)策上，將通過設(shè)計(jì)層次化的操作活動(dòng)（如擺小棒、計(jì)數(shù)器演示），將抽象的算理可視化，搭建從具體到抽象的橋梁。課堂中通過“你的發(fā)現(xiàn)可靠嗎？”“能解釋為什么嗎？”等設(shè)問進(jìn)行動(dòng)態(tài)評(píng)估，并設(shè)計(jì)“探究提示卡”和不同難度的驗(yàn)證任務(wù)，為不同思維層次的學(xué)生提供差異化支持，確保所有學(xué)生都能在探究中有所得。二、教學(xué)目標(biāo)闡述

知識(shí)目標(biāo)：學(xué)生通過自主探究與合作交流，能準(zhǔn)確歸納并陳述2、5的倍數(shù)的特征，理解其特征的算理依據(jù)（即為什么看個(gè)位）；能清晰區(qū)分奇數(shù)與偶數(shù)的概念，并運(yùn)用特征快速、正確判斷一個(gè)數(shù)是否是2或5的倍數(shù)。

能力目標(biāo)：在探究特征的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納的完整過程，提升合情推理與初步的演繹推理能力；能運(yùn)用特征解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，如解決生活中的編碼問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探究活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)樂趣，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔與嚴(yán)謹(jǐn)之美；在小組合作中樂于分享自己的發(fā)現(xiàn)，敢于質(zhì)疑與補(bǔ)充他人的觀點(diǎn)，培養(yǎng)合作探究的科學(xué)態(tài)度。

學(xué)科思維目標(biāo)：重點(diǎn)發(fā)展歸納推理思維，即從特殊到一般的概括能力；滲透數(shù)位值思想和模型思想，認(rèn)識(shí)到“倍數(shù)特征”是一種對(duì)整數(shù)集合的規(guī)律性描述模型。

評(píng)價(jià)與元認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過舉例、說理等方式對(duì)探究結(jié)論進(jìn)行自我驗(yàn)證與相互評(píng)價(jià)；在課堂小結(jié)時(shí)，能回顧并說出本節(jié)課探索規(guī)律的一般步驟和方法，初步形成探究數(shù)特征的學(xué)習(xí)策略元認(rèn)知。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：探索并掌握2、5的倍數(shù)的特征。其確立依據(jù)源于課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“探索規(guī)律”的要求及本單元的知識(shí)樞紐地位。該知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生首次系統(tǒng)探索整數(shù)特征，其探究過程本身所蘊(yùn)含的觀察—猜想—驗(yàn)證方法，是后續(xù)學(xué)習(xí)所有數(shù)論知識(shí)的基礎(chǔ)性方法，屬于“大概念”層面的重點(diǎn)。從能力立意看，掌握特征并靈活應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感和推理能力的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：理解2、5的倍數(shù)特征背后的算理原理。難點(diǎn)成因在于其抽象性：學(xué)生容易記住“個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)”這一結(jié)論，但理解“為什么只需看個(gè)位”涉及到對(duì)整數(shù)數(shù)位值意義的深度理解（如：一個(gè)數(shù)總可以表示為“幾十”或“幾百幾十”加上個(gè)位數(shù)，而“幾十”等部分一定是2或5的倍數(shù)）。突破方向在于借助計(jì)數(shù)器、小棒等直觀學(xué)具進(jìn)行演示與操作，將抽象的位值原理轉(zhuǎn)化為可視化的過程，幫助學(xué)生完成從現(xiàn)象到本質(zhì)的跨越。四、教學(xué)準(zhǔn)備清單1.教師準(zhǔn)備

1.1媒體與教具：交互式課件（內(nèi)含百數(shù)表動(dòng)態(tài)highlighting功能）、實(shí)物投影儀。

1.2學(xué)習(xí)材料：每組一套百數(shù)表卡片（可操作）、計(jì)數(shù)器、若干小棒；設(shè)計(jì)分層《探究學(xué)習(xí)任務(wù)單》（含基礎(chǔ)任務(wù)與挑戰(zhàn)任務(wù)）。2.學(xué)生準(zhǔn)備

預(yù)習(xí)課本相關(guān)內(nèi)容，回顧倍數(shù)的概念；攜帶常規(guī)文具。3.環(huán)境布置

學(xué)生按4人異質(zhì)小組就坐，便于合作探究；黑板分區(qū)規(guī)劃，留出“我們的發(fā)現(xiàn)”、“我們的疑問”和“知識(shí)結(jié)構(gòu)”區(qū)域。五、教學(xué)過程第一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)

1.情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)沖突：同學(xué)們，我們來玩一個(gè)“快速判斷”游戲。大屏幕上會(huì)快速閃現(xiàn)一些數(shù)，請(qǐng)你秒答它是不是5的倍數(shù)，準(zhǔn)備好了嗎？（依次閃現(xiàn)30、47、125、201、340）……哎，我聽到有的同學(xué)速度特別快，有的同學(xué)則需要計(jì)算一下。有什么秘訣嗎？

1.1問題提出與路徑明晰：看來，判斷一個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)，可能藏著我們還沒發(fā)現(xiàn)的“竅門”，或者說“特征”。今天，我們就化身數(shù)學(xué)偵探，一起合作探究“2和5的倍數(shù)”到底藏著什么秘密。我們將從你們熟悉的百數(shù)表入手，通過“火眼金睛”找規(guī)律，“大膽小心”提猜想，最后還要“追根究底”明道理。讓我們開始吧！第二、新授環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)采用支架式探究，設(shè)計(jì)五個(gè)遞進(jìn)任務(wù)。任務(wù)一：圈畫中初探——發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)特征

教師活動(dòng)：首先，請(qǐng)大家拿出百數(shù)表。我們的第一個(gè)偵查目標(biāo)：5的倍數(shù)。請(qǐng)各小組合作，快速圈出1100中所有5的倍數(shù)。（巡視，關(guān)注圈畫速度與方法）。好，大家都完成了?，F(xiàn)在，請(qǐng)把你們組圈出的這些數(shù)“豎著”看，也就是看每一列的個(gè)位，小聲討論一下，你有什么驚人的發(fā)現(xiàn)？給大家兩分鐘?！袄蠋?，我們發(fā)現(xiàn)個(gè)位都是0或5！”“是不是所有5的倍數(shù)都這樣呢？”問得好！這還只是我們從1100這100個(gè)數(shù)里看到的，它一定適用于所有數(shù)嗎？我們需要——驗(yàn)證。怎么驗(yàn)證？可以隨意舉幾個(gè)更大的數(shù)試試看。

學(xué)生活動(dòng)：小組合作，在百數(shù)表上圈畫5的倍數(shù)。觀察、討論，初步歸納出“個(gè)位是0或5”的特征。并舉出如205、310等更大的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.圈畫是否完整、準(zhǔn)確。2.討論時(shí)能否聚焦“個(gè)位”進(jìn)行觀察。3.驗(yàn)證時(shí)舉例是否超出百數(shù)表范圍，具有一般性。

形成知識(shí)、思維、方法清單：

★5的倍數(shù)特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。（教學(xué)提示：這是從有限特例中歸納出的猜想，需強(qiáng)調(diào)其普遍性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。）

★探究方法一（觀察歸納）：從有限的、有代表性的例子（如百數(shù)表）中觀察共性，提出初步猜想。（認(rèn)知說明：這是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的起點(diǎn)。）

▲驗(yàn)證意識(shí)：初步結(jié)論需要更多例子來檢驗(yàn)，避免“以偏概全”。任務(wù)二：遷移中類比——發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)特征

教師活動(dòng)：偵探們首戰(zhàn)告捷！找到了5的倍數(shù)的“密碼”。接下來，我們用同樣的研究方法，獨(dú)立偵查2的倍數(shù)。請(qǐng)看學(xué)習(xí)單上的任務(wù)二：①獨(dú)立圈出百數(shù)表中2的倍數(shù)；②觀察個(gè)位特點(diǎn)，寫出你的猜想；③至少舉3個(gè)例子驗(yàn)證你的猜想。（巡視，對(duì)完成快的學(xué)生提示：“想想，你的猜想能解釋為什么這些數(shù)是2的倍數(shù)嗎？”）時(shí)間到，請(qǐng)同桌交換學(xué)習(xí)單，互相檢查圈畫和舉例，并說說你們的發(fā)現(xiàn)是否一致。

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成圈畫、觀察、猜想與驗(yàn)證過程。同桌互查、交流，鞏固發(fā)現(xiàn)。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否獨(dú)立完成探究流程。2.猜想表述是否清晰（個(gè)位是0,2,4,6,8）。3.同桌互查時(shí)能否發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤。

形成知識(shí)、思維、方法清單：

★2的倍數(shù)特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都是2的倍數(shù)。（教學(xué)提示：對(duì)比5的倍數(shù)特征，感受不同數(shù)字的不同“指紋”。）

★探究方法遷移：將從一個(gè)問題（5的倍數(shù)）中習(xí)得的研究方法（觀察猜想驗(yàn)證），應(yīng)用到新問題（2的倍數(shù)）中。（認(rèn)知說明：這是學(xué)習(xí)能力的重要體現(xiàn)。）任務(wù)三：對(duì)比中建構(gòu)——認(rèn)識(shí)奇數(shù)與偶數(shù)

教師活動(dòng)：我們把2的倍數(shù)這條線索再理一理。在整數(shù)王國(guó)里，是2的倍數(shù)的數(shù)，我們給它們起了一個(gè)專門的數(shù)學(xué)名字，叫“偶數(shù)”（板書）。那，不是2的倍數(shù)的數(shù)呢？對(duì)，就叫“奇數(shù)”。請(qǐng)大家快速判斷：你學(xué)號(hào)是奇數(shù)還是偶數(shù)？和你小組成員說說。（互動(dòng)）生活中我們常說“單數(shù)”、“雙數(shù)”，在數(shù)學(xué)上我們就統(tǒng)一用“奇數(shù)”、“偶數(shù)”來稱呼?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家把百數(shù)表中所有的偶數(shù)涂上陰影，奇數(shù)不涂。看看這幅“奇偶地圖”，你有什么新的規(guī)律發(fā)現(xiàn)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)奇偶相間的排列規(guī)律）。

學(xué)生活動(dòng)：理解奇數(shù)、偶數(shù)的數(shù)學(xué)定義。應(yīng)用定義判斷自己的學(xué)號(hào)。涂畫百數(shù)表，感受奇偶數(shù)的分布規(guī)律（奇偶相間）。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否準(zhǔn)確依據(jù)定義（是否是2的倍數(shù)）判斷奇偶。2.涂畫是否準(zhǔn)確，能否發(fā)現(xiàn)奇偶相鄰的規(guī)律。

形成知識(shí)、思維、方法清單：

★奇數(shù)與偶數(shù)的定義：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。（易錯(cuò)點(diǎn)：明確0是偶數(shù)，這是數(shù)學(xué)規(guī)定。）

★奇偶數(shù)的分布規(guī)律：在連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)和偶數(shù)是交替出現(xiàn)的，相鄰兩數(shù)必為一奇一偶。（應(yīng)用實(shí)例：可用于快速判斷數(shù)列性質(zhì)。）任務(wù)四：沖突中深化——探究“為什么看個(gè)位”（算理理解）

教師活動(dòng)：大家的發(fā)現(xiàn)都很棒！但作為一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)偵探，我們不僅要知其然，還要知其所以然。為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只看它的個(gè)位就行了呢？這個(gè)“為什么”是今天最大的挑戰(zhàn)。讓我們請(qǐng)出老朋友“計(jì)數(shù)器”來幫忙。比如，數(shù)字236，在計(jì)數(shù)器上怎么表示？（學(xué)生描述）?，F(xiàn)在，我們思考：百位上的2顆珠子表示2個(gè)百，也就是200，它是2的倍數(shù)嗎？是5的倍數(shù)嗎？十位上的3顆珠子表示30呢？……大家發(fā)現(xiàn)了什么？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：除了個(gè)位，其他數(shù)位上的數(shù)表示的“幾十”、“幾百”等，都既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)?。┧?，整個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，就完全取決于——？

學(xué)生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，利用計(jì)數(shù)器的數(shù)位模型，分析如236這樣的數(shù)。理解“百位和十位上的數(shù)所代表的數(shù)值（200和30）一定是2和5的倍數(shù)”，因此整個(gè)數(shù)是否是2或5的倍數(shù)，就由個(gè)位上的數(shù)字決定。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否借助計(jì)數(shù)器正確表示數(shù)。2.能否理解“高位上的數(shù)值是2和5的倍數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)。3.能否用自己的話解釋“為什么只看個(gè)位”。

形成知識(shí)、思維、方法清單：

★特征背后的算理（核心原理）：任何一個(gè)多位數(shù)都可以看作由“整十（百、千…）部分”和“個(gè)位部分”組成。由于10、100…都是2和5的倍數(shù)，所以“整十部分”一定是2和5的倍數(shù)。因此，整個(gè)數(shù)是否是2或5的倍數(shù)，就由個(gè)位上的數(shù)決定。（思維提升：從現(xiàn)象歸納上升到算理解釋，完成演繹推理。）

▲數(shù)位值思想的應(yīng)用：將數(shù)的組成與倍數(shù)性質(zhì)結(jié)合，是理解諸多數(shù)字特征的基礎(chǔ)思想。任務(wù)五：整合中明晰——對(duì)比2與5倍數(shù)特征的異同

教師活動(dòng)：經(jīng)過深入偵查，我們終于弄清了真相。現(xiàn)在，請(qǐng)各小組合作，完成學(xué)習(xí)單上的“對(duì)比梳理表”，從“特征”、“與個(gè)位關(guān)系”、“算理關(guān)鍵”等方面對(duì)比2和5的倍數(shù)特征。完成后，請(qǐng)一組代表上臺(tái)展示講解。

學(xué)生活動(dòng)：小組合作填寫對(duì)比表，系統(tǒng)梳理兩個(gè)特征的異同。代表上臺(tái)展示，全班交流完善。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.對(duì)比是否全面、準(zhǔn)確。2.小組合作是否高效，人人參與。3.展示講解是否清晰有條理。

形成知識(shí)、思維、方法清單：

★2與5倍數(shù)特征的共性：都只與這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字有關(guān)。算理基礎(chǔ)相同，都因?yàn)檎當(dāng)?shù)及以上的計(jì)數(shù)單位是2和5的倍數(shù)。

★2與5倍數(shù)特征的差異：個(gè)位數(shù)字的具體要求不同（0,2,4,6,8vs0,5）。這導(dǎo)致了偶數(shù)定義的獨(dú)特性。

★結(jié)構(gòu)化梳理方法：通過表格對(duì)比，將零散知識(shí)點(diǎn)連成網(wǎng)絡(luò)，便于理解和記憶。第三、當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練

設(shè)計(jì)核心：構(gòu)建三層訓(xùn)練體系，實(shí)現(xiàn)差異鞏固。

基礎(chǔ)層（全體必做）：

1.快速判斷：下列數(shù)中哪些是2的倍數(shù)？哪些是5的倍數(shù)？哪些既是2又是5的倍數(shù)？24、35、60、72、90、111。（“既是2又是5的倍數(shù)”有什么特征？對(duì)，個(gè)位一定是0?。?/p>

2.按要求填數(shù)：□7是5的倍數(shù)，□里可以填____。4□是2的倍數(shù)，□里可以填____。

綜合層（多數(shù)挑戰(zhàn)）：

3.生活應(yīng)用：學(xué)校圖書館要將圖書編號(hào)，要求編號(hào)是2的倍數(shù)表示可外借，是5的倍數(shù)表示僅供閱覽。編號(hào)23A，如果可外借，A可能是？如果僅供閱覽，A可能是？如果既可外借又可閱覽，A是？

挑戰(zhàn)層（學(xué)有余力）：

4.推理探究：一個(gè)三位數(shù)，既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，且百位與十位的數(shù)字和是9。這個(gè)數(shù)最大是多少？最小是多少？

反饋機(jī)制：基礎(chǔ)層題目采用全班齊答或手勢(shì)判斷，快速了解整體掌握情況。綜合層與挑戰(zhàn)層題目，先由學(xué)生獨(dú)立完成，隨后小組內(nèi)互評(píng)、講解，教師巡視捕捉典型解法與錯(cuò)誤。最后利用實(shí)物投影展示不同思路，重點(diǎn)講解生活應(yīng)用題的審題和推理題的策略。第四、課堂小結(jié)

知識(shí)整合：同學(xué)們，今天的數(shù)學(xué)偵探之旅即將結(jié)束。誰來當(dāng)小老師，用一句話或一個(gè)圖表，幫大家回顧一下我們今天最大的收獲是什么？（引導(dǎo)學(xué)生說出特征、奇偶數(shù)、探究方法、算理等關(guān)鍵點(diǎn)）。我們可以畫一個(gè)知識(shí)樹：樹根是“探究方法”，主干是“2和5的倍數(shù)特征”，分枝是“奇數(shù)偶數(shù)”、“算理理解”、“應(yīng)用”。

方法提煉：我們是怎么得到這些收獲的？對(duì)，我們從百數(shù)表中觀察、猜想、驗(yàn)證，還深入思考了“為什么”。這種“大膽猜想，小心求證”的態(tài)度，是探索所有數(shù)學(xué)規(guī)律的法寶。

作業(yè)布置：

必做（基礎(chǔ)+綜合）：1.完成課本對(duì)應(yīng)練習(xí)。2.找一找生活中的哪些場(chǎng)景用到了奇偶數(shù)或2、5倍數(shù)的知識(shí)（如街道門牌號(hào)、商品包裝數(shù)量）。

選做（探究）：利用今天的研究方法，試著探索4的倍數(shù)有什么特征？你的猜想是什么？打算如何驗(yàn)證？六、作業(yè)設(shè)計(jì)

基礎(chǔ)性作業(yè)（鞏固核心）：

1.填空：是2的倍數(shù)的數(shù)叫（），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫（）。最小的偶數(shù)是（）。

2.判斷并說理：個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)都是奇數(shù)。（）理由：________________________。

3.從0、3、5、6中選出兩個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，滿足：是2的倍數(shù)（）；是5的倍數(shù)（）；既是2又是5的倍數(shù)（）。

拓展性作業(yè)（情境應(yīng)用）：

4.【生活鏈接】體育委員王老師要將全班45名同學(xué)分成兩組進(jìn)行接力賽，要求每組人數(shù)相等。如果按學(xué)號(hào)奇偶數(shù)分，能正好分完嗎？為什么？你還有什么公平的分組方案？

探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（開放挑戰(zhàn)）：

5.【數(shù)學(xué)探究】我們已經(jīng)知道2和5的倍數(shù)特征與個(gè)位有關(guān)，這與“十進(jìn)制”計(jì)數(shù)法有密切聯(lián)系。請(qǐng)查閱資料或自行思考：如果是在“二進(jìn)制”或“八進(jìn)制”下，數(shù)的“倍數(shù)特征”又會(huì)是怎樣的？寫一篇簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)小報(bào)告或提出你的猜想。七、本節(jié)知識(shí)清單及拓展

1.★2的倍數(shù)特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的整數(shù)都是2的倍數(shù)。這是判斷一個(gè)數(shù)是否為2的倍數(shù)的充要條件，也是后續(xù)學(xué)習(xí)偶數(shù)和奇數(shù)的基礎(chǔ)。

2.★5的倍數(shù)特征：個(gè)位上是0或5的整數(shù)都是5的倍數(shù)。特征簡(jiǎn)潔，是生活中判斷諸如“能否被5整除”問題的直接依據(jù)。

3.★奇數(shù)與偶數(shù)的定義：整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（包括0），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。這是數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義，需注意“0是偶數(shù)”這一規(guī)定。

4.★既是2又是5的倍數(shù)特征：個(gè)位上的數(shù)字必須是0。該特征是2和5倍數(shù)特征的公共部分，因?yàn)橥瑫r(shí)滿足個(gè)位是0、2、4、6、8和0、5，取交集即為0。

5.★特征探究的一般方法：觀察（有限特例）→猜想（歸納共性）→驗(yàn)證（更多例子/一般性推理）→結(jié)論。此方法模型是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的核心路徑，具有普遍適用性。

6.▲算理理解（為什么看個(gè)位）：基于十進(jìn)制位值原則。一個(gè)多位數(shù)可拆分為“整十（百、千…）部分”加“個(gè)位部分”。由于10=2×5，所以任何整十、整百…數(shù)必定同時(shí)是2和5的倍數(shù)。因此，整個(gè)數(shù)的“2、5倍數(shù)屬性”完全由個(gè)位數(shù)字決定。此條是理解本課知識(shí)的深度關(guān)鍵，避免機(jī)械記憶。

7.▲奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（初步感知）：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)?？赏ㄟ^具體例子讓學(xué)生感知，為后續(xù)正式學(xué)習(xí)埋下伏筆。

8.▲0的特殊性：0是2的倍數(shù)（因?yàn)?÷2=0），所以0是偶數(shù)。0也是5的倍數(shù)。教學(xué)時(shí)需明確說明，避免學(xué)生產(chǎn)生“0既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)”或“0不是5的倍數(shù)”等誤解。

9.★生活應(yīng)用實(shí)例：郵政編碼、身份證校驗(yàn)碼設(shè)計(jì)、單雙號(hào)限行、電路開關(guān)狀態(tài)（二進(jìn)制）等都可能隱含奇偶性或2、5倍數(shù)的思想。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。

10.▲與后續(xù)知識(shí)的聯(lián)系：本課特征是探索“3的倍數(shù)特征”（看各位數(shù)字和）的認(rèn)知參照。對(duì)比兩者差異，能深刻理解不同倍數(shù)的特征取決于其與基數(shù)10的因數(shù)關(guān)系。八、教學(xué)反思

（一）預(yù)設(shè)與達(dá)成度分析：本次教學(xué)設(shè)計(jì)以“數(shù)學(xué)偵探”為情境主線，以PBL項(xiàng)目式學(xué)習(xí)理念構(gòu)建探究鏈條，預(yù)設(shè)目標(biāo)基本達(dá)成。從當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練的反饋看，90%以上的學(xué)生能準(zhǔn)確應(yīng)用特征進(jìn)行判斷，說明知識(shí)技能目標(biāo)落實(shí)較好?！叭蝿?wù)四”中利用計(jì)數(shù)器理解算理的設(shè)計(jì)，有效突破了難點(diǎn)，約70%的學(xué)生能嘗試用自己的語言解釋“為什么”，表明推理能力目標(biāo)有了實(shí)質(zhì)性推進(jìn)。情感目標(biāo)在小組合作與“快速判斷”游戲的熱烈氛圍中得到體現(xiàn)。

（二）環(huán)節(jié)有效性評(píng)估：導(dǎo)入環(huán)節(jié)的“快速判斷”游戲成功制造了認(rèn)知沖突，激發(fā)了探究欲。新授的五個(gè)任務(wù)環(huán)環(huán)相扣，從“發(fā)現(xiàn)特征”到“理解本質(zhì)”再到“對(duì)比梳理”，形成了一個(gè)螺旋上升的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其中，“任務(wù)二”的獨(dú)立探究設(shè)計(jì)，有效培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力。“任務(wù)五”的對(duì)比梳理表，促使學(xué)生將零散知識(shí)系統(tǒng)化，是課堂的一個(gè)亮點(diǎn)。我意識(shí)到，“給學(xué)生一個(gè)