18.1.2矩形的判定

第

1

課

時(shí)

矩形的判定知識(shí)點(diǎn)1有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形1.

如圖，下列條件中，不能判定□

ABCD

是

矩

形

的是

()A.∠BAD=90°B.∠BAD=∠BC.AB2+BC2=AC2

D.

∠B=∠D2.如

圖

，P是

□ABC

D的

邊

AD

的中點(diǎn)，且PB=PC.求證：四邊形ABCD

是矩形.∵P是

邊AD的中點(diǎn)，∴

AP=DP.又∵

PB=PC,∴△ABP≌△DCP(SSS).∴∠D=∠A.

∴∠D=∠A=90°.∴四邊

形ABCD

是矩

形

.證

明：

∵

四

邊形ABCD

是平

行

四

邊

形

，∴AB=DC,AB//DC,∴∠D

十

∠A=180°

.知識(shí)點(diǎn)2

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形3.數(shù)學(xué)課上，老師要班里的學(xué)生判斷一個(gè)四邊形

門框是否為矩形.下面是某合作小組的4位學(xué)

生擬定的方案，其中正確的是

(

)A.測(cè)量對(duì)角線是否互相平分B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C.

測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角D.

測(cè)量三個(gè)角是否都為直角4.如圖，∠AOB是一個(gè)直角，任意一點(diǎn)P

到這個(gè)角的兩

邊的距離之和為6,則圖中

四邊形的周長(zhǎng)為

5.

如圖，點(diǎn)

B在直線PC

上

，BD

、BE分別是∠ABC、∠ABP

的平分線，且AE⊥BE,AD⊥BD,垂足分別為點(diǎn)

E

、D.求證：四邊形

AEBD是

矩

形

.∵AE_BE,AD_BD,∴∠AEB=∠ADB=90°.四

邊

形

AEBD

是

矩

形

.證

明：∵

BD、BE分別

是∠ABC、∠ABP

的平分線

，,

即

∠EBD=90°

.知識(shí)點(diǎn)3

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形新考向河南本土素材朱

仙鎮(zhèn)木版年畫屬全國(guó)著名年畫之一

，年畫的印版以矩形桃木為基(如圖)

.

工人們?cè)趯?duì)這些矩形桃木基進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，不僅要測(cè)量?jī)山M對(duì)邊的長(zhǎng)度是否相等，常常還要測(cè)量它們的兩條對(duì)角線是否相等，以確保形狀是矩形.這樣

做的依據(jù)是

7.【教材P119練習(xí)

T2變式題】如圖，□

ABCD的

對(duì)角線AC

、BD

相交于點(diǎn)

O,△OAB

是等邊三角

形.求證：四邊形ABCD是矩形.證

明：∵

△AOB形，∴OA=OB.∵

四邊形

ABCD邊

形

，B∴BD=AC.∴

四

邊形ABCD

是矩形

.是

等是邊

平三行角

四AC.8.依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為矩形的是(

)9.

如圖，四邊形ABCD

的對(duì)角線

AC

BD

于點(diǎn)O,E

、F

、G

、H

分別為

AB

、BC

、CD

和

AD的

中點(diǎn)，順次連結(jié)EF

、FG

、GH

和

HE

得到四邊形E

FGH.若AC=10,BD=

8,

則

四

邊

形EFGH的面積為

10.[轉(zhuǎn)化思想]如圖，在Rt△ABC中

，∠A=90°,AB=3,AC=4,D

是斜邊BC

上的

一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D

分別作

DM

LAB

于點(diǎn)M,DNLAC

于點(diǎn)

N,連結(jié)MN,

則線段MN

的長(zhǎng)的最小值為11.新考向開(kāi)放性問(wèn)題如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°,延長(zhǎng)CB

至點(diǎn)D,

使得

BD=BC,過(guò)點(diǎn)A、D

分別作AE//BD,DE//AB,AE

與交于點(diǎn)E.下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：由題目的已知條件

，

若

連

結(jié)

B

E

,

則

可

證

明

BE⊥CD由題目的已知條件，若連結(jié)BE、C

E

,則

可

證明CE=DE相請(qǐng)你選擇其中一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明.解

：

選

擇

小星的

說(shuō)法

進(jìn)

行

證明：如圖，連結(jié)BE.∵AE/BD,DE//AB,∴

四邊形

ABDE是

平行

四邊形.∴AE=BD.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE/BC,

四

邊形

AEBC

是平行

四邊形.又∵

∠C=90°,∴

四邊

形

AEBC是矩形.∴∠EBC=90°.∴BELCD.(

或

選擇小紅的

說(shuō)法進(jìn)行證明

：如圖，連結(jié)

BE

、CE.∵AE//BD,DE//AB,∴

四邊形

ABDE是

平

行

四邊形.∴AE=BD,AB=DE.∵BD=BC,∴AE=BC.∵AE//BC,∴

四

邊形

AEBC

是平行

四邊形.又∵∠ACB=90°,∴

四邊形

AEBC是矩形.∴AB=CE.∴CE=DE.)12.

新考向數(shù)學(xué)文化中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，給出了證明三角形面積公式的出

入相補(bǔ)原理.如圖，在△ABC

中，分別取AB、AC

的中點(diǎn)D

、E,

連

結(jié)

DE,

過(guò)

點(diǎn)

A作

AFlDE,

垂

足

為

點(diǎn)F,延長(zhǎng)FD至點(diǎn)

G,使得

DG=DF,

延長(zhǎng)

FE

至

點(diǎn)H,

使

得

EH=EF,連結(jié)

BG

、CH.(1)求證：四邊形

BCHG是矩形；(2)若

DE=6,AF=5,

求△ABCBAF,G=∠AFD.同理可證

△CEH≌△AEF.∴CH=AF,∠H=∠AFE.BG=CH.∵AFlDE,

∴∠AFD=∠AFE=90°.∠G=∠H=90°.

∴∠G+∠H=180°.∴BG//CH.∴四邊形

BCHG是平行四邊形

.

又∵∠G=9

0

°

,

∴

四

邊

形

BCHG是

矩

形

.(1

)

證明：∵D、E分別

是

AB、AC的中點(diǎn)，∴B

在△BDG和

△ADF

中，

∵

BD=AD,∠BDG=∠ADF,DG=DF,∴△BDG≌△ADF(SAS).∴BG=(

2

)解：∵D、E分別

是

AB、AC的

中

點(diǎn)

，∴BC=2DE=12.由(

1

)

知

△BDG≌△ADF,△CEH≌△AEF,BG=AF=5.

∴S△BDG=S△ADF,S△CEH=S△AEF.∴S△ABC=S△ADF

十S△AEF十S,梯形BCED=S△BDG+S△CEH+S

梯形BCED=S

矩形BCHG=

BC·BG=12×5=60.13.

如圖，在矩形

ABCD中，AB=6