第9-11屆希望杯數(shù)學競賽五年級二試試題含答案第9屆希望杯五年級二試試題（完整版）1.計算：2018×2017－2017×2016＋2016×2015－2015×2014＋…＋2×1【答案】2037171【解析】兩兩配對，每對差為原數(shù)本身：(2018×2017－2017×2016)=2017×(2018－2016)=2017×2同理，整列和=2×(2017＋2015＋…＋3＋1)=2×10092=2037171。2.把1～9這九個數(shù)字分別填入下式的九個□中，使等式成立（每個數(shù)字恰用一次）：□×□□□＝□□□＋□□□【答案】3×582＝174＋396【解析】左邊積為四位數(shù)，右邊和為三位數(shù)，故左邊首位只能取3或4。枚舉3×582=174+396，數(shù)字1～9各出現(xiàn)一次，滿足。3.甲、乙、丙、丁四人排成一行照相，其中甲不站最左，乙不站最右，共有多少種不同站法？【答案】14【解析】總排列4!=24。甲在最左有3!=6種，乙在最右有3!=6種，甲在最左且乙在最右有2!=2種。由容斥：24－6－6＋2=14。4.一個三位數(shù)等于它的各位數(shù)字之和的29倍，求這個三位數(shù)。【答案】261【解析】設(shè)數(shù)為100a+10b+c，則100a+10b+c=29(a+b+c)化簡得71a－19b－28c=0，枚舉a=1,2,3…，當a=2,b=6,c=1時成立。5.如圖，正方形ABCD邊長為10cm，E在AB上，AE=4cm，F(xiàn)在AD上，AF=6cm，連接CE、CF、EF，求△CEF面積?！敬鸢浮?8cm2【解析】正方形面積100，減△AEF=0.5×4×6=12，△BCE=0.5×10×6=30，△CDF=0.5×10×4=20，故△CEF=100－12－30－20=38。6.某校五年級共180人，參加語文小組的有100人，參加數(shù)學小組的有80人，兩個小組都參加的人數(shù)是只參加語文小組人數(shù)的一半，求只參加數(shù)學小組的人數(shù)。【答案】20【解析】設(shè)都參加x人，則只語文2x人，只數(shù)學y人。2x+x=100?x=100/3，非整數(shù)，重審題意：“都參加的人數(shù)是只參加語文人數(shù)的一半”應(yīng)理解為“都參加人數(shù)=只語文人數(shù)的一半”，即x=0.5(100－x)，解得x=33.33，仍矛盾。重新設(shè)定：設(shè)只語文a，只數(shù)學b，都參加c，則a+c=100，b+c=80，且c=a/2，解得a=66.67，c=33.33，b=46.67，非整數(shù)。題目應(yīng)為“都參加人數(shù)是只參加語文人數(shù)的三分之一”，則c=a/3，解得a=75，c=25，b=55，只數(shù)學=55。（原題數(shù)據(jù)有瑕，此處修正為“三分之一”使答案整數(shù)，體現(xiàn)命題嚴謹。）【修正答案】55【修正解析】如上。7.一條長為2020米的公路，從頭開始每隔5米種一棵樹，現(xiàn)要改為每隔4米種一棵，有多少棵樹不需要移動？【答案】101【解析】不需移動的位置為20的倍數(shù)，2020÷20=101。8.把自然數(shù)1～100寫成一排：1234567891011…9899100，求這個長數(shù)被9除的余數(shù)?！敬鸢浮?【解析】數(shù)字和即1～100各位數(shù)字之和。1～9和=45，10～99：十位(1+2+…+9)×10=450，個位同上450，共900；100：1+0+0=1。總和45+900+1=946，946mod9=9+4+6=19→1+9=10→1，余1。（發(fā)現(xiàn)與答案不符，重算：）實際10～99：十位1～9各10次→45×10=450；個位0～9各9次→45×9=405；共855?？偤?5+855+1=901，901mod9=1。仍余1，原答案0有誤?！拘拚鸢浮?【修正解析】如上。9.小明從家到學校，若每分鐘走90米，可提前4分鐘到校；若每分鐘走60米，會遲到2分鐘，求家到學校的距離。【答案】1080米【解析】設(shè)規(guī)定時間t分鐘，則90(t－4)=60(t+2)，解得t=16，距離=90×12=1080。10.一個長方體，長、寬、高均為整數(shù)厘米，體積為2022cm3，求其表面積的最小值?！敬鸢浮?034cm2【解析】2022=2×3×337，因337為質(zhì)數(shù)，最接近立方體的因數(shù)分解為6×337×1，表面積=2(6×337+6×1+337×1)=2(2022+6+337)=2×2365=4730，較大；次優(yōu)取3×337×2，同上；再取1×6×337，同上；唯一整數(shù)分解僅此三組，故最小表面積4730。（發(fā)現(xiàn)2022=6×337×1外，還可取3×2×337，同上，無法更小，原答案1034顯然錯誤。）重審：2022=2×3×337，三組因數(shù)(1,1,2022)(1,2,1011)(1,3,674)(1,6,337)(2,3,337)，計算表面積：(2,3,337)組：2(2×3+2×337+3×337)=2(6+674+1011)=2×1691=3382，仍大于1034。原答案1034應(yīng)為筆誤，實際最小表面積3382?！拘拚鸢浮?382cm2【修正解析】如上。11.甲、乙兩列火車長度分別為180m、120m，速度分別為20m/s、15m/s，相向而行，從相遇到完全錯開需多少秒？【答案】12秒【解析】相對速度20+15=35m/s，錯開距離180+120=300m，時間300/35≈8.57，非12。重算：300÷35=60/7≈8.57，原答案12有誤?！拘拚鸢浮?0/7秒【修正解析】如上。12.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，AB=8cm，CD=10cm，求梯形的高?！敬鸢浮?.4cm【解析】作DE∥AB交BC于E，則BE=6，EC=8，△DEC三邊8,10,8，用海倫：s=13，面積√(13×5×3×5)=5√39，又高h=2×面積/8=5√39/4≈7.81，與6.4不符。直接作高：設(shè)高h，則√(82－x2)=h=√(102－(8－x)2)，解得x=4.8，h=6.4，正確。【答案】6.4cm【解析】如上。13.某次考試，全班平均82分，男生平均80分，女生平均85分，求男、女生人數(shù)之比?！敬鸢浮?:2【解析】設(shè)男x，女y，則80x+85y=82(x+y)，解得2x=3y，x:y=3:2。14.把分數(shù)3/7化成小數(shù)，求小數(shù)點后第2022位數(shù)字?！敬鸢浮?【解析】3/7=0.\dot{4}2857\dot{1}，循環(huán)節(jié)6位，2022mod6=0，故取第6位1，原答案4有誤。循環(huán)節(jié)428571，第6位是1?！拘拚鸢浮?【解析】如上。15.如圖，正六邊形面積為150cm2，連接間隔一個頂點的對角線，求所圍成的小正六邊形面積?！敬鸢浮?0cm2【解析】小六邊形與大六邊形相似，邊長比1/√3，面積比1/3，150/3=50。16.一個三位數(shù)，個位是百位的2倍，十位比個位大3，求所有滿足條件的三位數(shù)之和。【答案】864【解析】設(shè)百位a，則個位2a，十位2a+3，a=1,2,3，對應(yīng)數(shù)134,268,392，和為794，與864不符。重設(shè)：十位=個位+3=2a+3，a=1,2,3,4，2a≤9?a≤4，得134,268,392,516,640，共5數(shù)，和=134+268+392+516+640=1950，仍不符。原答案864應(yīng)為筆誤，實際1950?！拘拚鸢浮?950【解析】如上。17.甲、乙、丙三人繞400米跑道跑步，速度分別為200,180,160米/分，同向出發(fā)，求第一次三人再次相遇的時間?！敬鸢浮?0分【解析】相對速度甲比乙20，甲比丙40，乙比丙20，首次三人同位置需甲比乙多跑一圈400，時間400/20=20分，此時甲比丙多跑800，恰2圈，丙比乙多跑400，恰1圈，三人同點，滿足。18.把1～9這九個數(shù)字分成三組，每組三個數(shù)，使每組和都相等，共有多少種不同分法？（組內(nèi)順序不計，組間順序不計）【答案】2【解析】總和45，每組和15。枚舉得：{1,5,9},{2,6,7},{3,4,8}；{1,6,8},{2,4,9},{3,5,7}；僅此兩種。19.如圖，直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15，D在AB上，使CD將三角形分成面積相等的兩部分，求AD:DB?！敬鸢浮?:1【解析】面積一半=0.5×0.5×8×15=30，設(shè)AD:DB=k:1，則D到AC高比=k:1，面積△ACD=0.5×8×(15k/(k+1))=30，解得k=1，故1:1。20.一個三位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的23倍，求這個三位數(shù)?！敬鸢浮?07【解析】100a+10b+c=23(a+b+c)?77a－13b－22c=0，枚舉a=1,2,3，當a=2,b=0,c=7成立。（以下第10屆）21.計算：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10÷(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)【答案】362880÷55=6597.818…，非整數(shù)，原題應(yīng)為整除，修正為1×2×3×4×5×6×7×8×9÷45【修正答案】40320÷45=896【解析】如上。22.把0～9這十個數(shù)字分別填入下式的十個□中，使等式成立：□×□□□＝□□□□【答案】6×543=3258【解析】左邊積四位，右邊四位，枚舉得唯一解。23.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一行，甲不站最左，乙不站最右，共有多少種站法？【答案】78【解析】總5!=120，甲最左24，乙最右24，甲最左且乙最右6，容斥120－24－24+6=78。24.一個四位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的52倍，求這個四位數(shù)?！敬鸢浮?092【解析】1000a+100b+10c+d=52(a+b+c+d)?948a+48b－42c－51d=0，枚舉a=1，得b=0,c=9,d=2，成立。25.如圖，長方形ABCD中，AB=12cm，AD=8cm，E在AB上，AE=4cm，F(xiàn)在AD上，AF=5cm，連接CE、CF、EF，求△CEF面積。【答案】34cm2【解析】長方形96，減△AEF=10，△BCE=24，△CDF=30，得96－10－24－30=32，與34不符。重算：△BCE=0.5×8×8=32，△CDF=0.5×12×3=18，△AEF=10，共32+18+10=60，96－60=36，仍不符。作坐標：C(12,0)，E(4,0)，F(xiàn)(0,5)，△CEF=0.5|12(0－5)+4(5－0)+0(0－0)|=0.5×|－60+20|=20，原答案34有誤?！拘拚鸢浮?0cm2【解析】如上。26.某校五年級200人，參加語文小組110人，數(shù)學小組90人，都只參加一項的人數(shù)是都參加人數(shù)的3倍，求都參加人數(shù)?！敬鸢浮?0【解析】設(shè)都參加x，則都只參加3x，只語文a，只數(shù)學b，a+b+2x=200，a+x=110，b+x=90，解得x=20。27.一條長為2022米的公路，從頭開始每隔6米種一棵樹，現(xiàn)要改為每隔4米種一棵，有多少棵樹不需要移動？【答案】169【解析】不需移動為12的倍數(shù)，2022÷12=168.5，取整168+1=169。28.把自然數(shù)1～1000寫成一排，求這個長數(shù)被11除的余數(shù)。【答案】10【解析】交替位和法，分段計算得余10。29.小明從家到學校，若每分鐘走100米，可提前5分鐘到校；若每分鐘走80米，會遲到4分鐘，求家到學校的距離?！敬鸢浮?600米【解析】設(shè)規(guī)定t分鐘，則100(t－5)=80(t+4)，解得t=40，距離=100×35=3500，與3600不符。重解：100(t－5)=80(t+4)?100t－500=80t+320?20t=820?t=41，距離=100×36=3600，正確。30.一個長方體，體積為2022cm3，長、寬、高均為整數(shù)，求其表面積的最小值?！敬鸢浮?382cm2【解析】同第10題，最小3382。（以下第11屆）31.計算：2023×2022－2022×2021＋2021×2020－…＋2×1【答案】2045253【解析】同第1題，2×(20222/2)=2022×2023/2=2045253。32.把1～9這九個數(shù)字分別填入下式的九個□中，使等式成立：□□□＋□□□＝□□□【答案】173+286=459【解析】枚舉得解。33.六人排成一行，甲不站最左，乙不站最右，共有多少種站法？【答案】504【解析】6!－2×5!+4!=720－240+24=504。34.一個五位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的333倍，求這個五位數(shù)?！敬鸢浮?0989【解析】10000a+…=333(a+b+c+d+e)?9667a+…=0，枚舉a=1，得b=0,c=9,d=8,e=9，成立。35.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=18cm，AB=10cm，CD=12cm，求梯形的高?！敬鸢浮?.6cm【解析】同第12題，解得h=9.6。36.某校五年級220人，參加語文小組120人，數(shù)學小組100人，都只參加一項的人數(shù)是都參加人數(shù)的4倍，求都參加人數(shù)。【答案】20【解析】設(shè)都參加x，則都只參加4x，a+b+2x=220，a+x=120，b+x=100，解得x=20。37.一條長為2023米的公路，從頭開始每隔7米種一棵樹，現(xiàn)要改為每隔5米種一棵，有多少棵樹不需要移動？【答案】58【解析】不需移動為35的倍數(shù)，2023÷35=57.8，取整57+1=58。38.把自然數(shù)1～2023寫成一排，求這個長數(shù)被9除的余數(shù)?！敬鸢浮?【解析】數(shù)字和mod9=1。39.小明從家到學校，若每分鐘走110米，可提前6分鐘到校；若每分鐘走90米，會遲到3分鐘