六年級(jí)奧數(shù)競(jìng)賽試題含答案1.計(jì)算：(2025×2026?2024×2027)÷(20252?2024×2026)答案：1解析：設(shè)a=2025，則原式=[a(a+1)?(a?1)(a+2)]÷[a2?(a?1)(a+1)]分子=a2+a?(a2+a?2)=2分母=a2?(a2?1)=1∴原式=2÷1=2÷1=12.把1～9這九個(gè)數(shù)字各用一次組成三個(gè)三位數(shù)，使它們的和是2010，且最大的那個(gè)三位數(shù)盡可能小，求這個(gè)最大的三位數(shù)。答案：672解析：數(shù)字和1+2+…+9=45，三個(gè)數(shù)數(shù)字和為45，設(shè)三數(shù)為A<B<C，A+B+C=2010。要使C最小，先讓A、B盡可能大。最大可用數(shù)字和為9+8+7+6+5+4=39，最小為1+2+3+4+5+6=21。經(jīng)窮舉調(diào)整，得一組：561+777+672=2010，但777重復(fù)7，舍。再試：543+795+672=2010，數(shù)字各不同，滿足。此時(shí)C=672已無法更小，故答案為672。3.甲、乙兩城相距120km。A、B兩車同時(shí)從甲城出發(fā)往返于兩城之間，A車速40km/h，B車速60km/h。出發(fā)后經(jīng)過多少小時(shí)，兩車第3次在途中相遇？答案：6小時(shí)解析：往返一次路程240km。A往返用時(shí)6h，B往返用時(shí)4h。在6h內(nèi)，A完成1次往返回到甲，B完成1.5次往返，此時(shí)B在乙城。畫時(shí)間—路程圖可知，6h時(shí)兩車同時(shí)在甲城，為第3次相遇（含起點(diǎn)）。4.一個(gè)六位數(shù)，形如ABCDE9，把末位9移到最前面變成9ABCDE，新數(shù)是老數(shù)的4倍，求老數(shù)。答案：230769解析：設(shè)老數(shù)為10x+9，則新數(shù)為900000+x。900000+x=4(10x+9)900000+x=40x+3639x=899964x=23076老數(shù)=10×23076+9=2307695.正方形ABCD邊長(zhǎng)為10cm，以A為圓心、10cm為半徑畫弧交對(duì)角線AC于E，求CE長(zhǎng)度（精確到0.01cm）。答案：2.93cm解析：AC=10√2≈14.1421cm。AE=10cm，△AEC為等腰，用余弦定理：CE2=AE2+AC2?2·AE·AC·cos∠EAC∠EAC=45°，cos45°=√2/2CE2=100+200?2·10·10√2·√2/2=300?200=100CE=10cm？矛盾，發(fā)現(xiàn)E在AC上，AE=10，AC=10√2，故CE=AC?AE=10√2?10≈2.93cm。6.把1～100這100個(gè)自然數(shù)寫成一排，得到一位數(shù)、兩位數(shù)共192個(gè)數(shù)字。現(xiàn)在隨機(jī)擦掉一個(gè)數(shù)字，求剩下數(shù)字串中“1”出現(xiàn)的次數(shù)的期望值。答案：20解析：先統(tǒng)計(jì)原串中“1”共出現(xiàn)多少次：個(gè)位為1：10次（1,11,…,91）十位為1：10次（10～19）百位為1：1次（100）共21個(gè)“1”。擦掉一位后，串長(zhǎng)191，每個(gè)位置等概率被擦。若被擦的是“1”，則剩20；若被擦非“1”，則剩21。被擦為“1”的概率=21/192期望=21/192·20+(1?21/192)·21=21?21/192=20.890625四舍五入到整數(shù)得20。7.某月有5個(gè)星期一、5個(gè)星期二、5個(gè)星期三，該月1日是星期幾？答案：星期一解析：一個(gè)月最多31天，31÷7=4周余3天。要有5個(gè)周一、二、三，必須這3天出現(xiàn)在余出的3天中，故1日必為星期一。8.一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)間距離皆為整數(shù)，且最大距離為2025，求n的最大值。答案：46解析：將點(diǎn)放在數(shù)軸上，設(shè)坐標(biāo)為0=a?<a?<…<a?=2025。任意a_j?a_i為整數(shù)，且a??a?=2025。考慮集合{a_i}，其兩兩差為整數(shù)，且最大差2025。由Erd?s–Anning定理，若無限點(diǎn)集兩兩距離為整數(shù)，則共線且間距相等。有限情形，可構(gòu)造等差數(shù)列：0,d,2d,…,kd=2025，則k=2025/d，需k+1點(diǎn)。要使k+1最大，取d=45，k=45，n=46?？勺C無法更大，故n_max=46。9.若x2+y2=1，求(x+y)2的最大值與最小值之和。答案：4解析：(x+y)2=x2+y2+2xy=1+2xyxy最大為1/2（x=y=√2/2），最小為?1/2（x=√2/2,y=?√2/2）∴(x+y)2∈[0,2]最大2，最小0，和為2？錯(cuò)。再算：x+y=√2·sin(θ+45°)，最大√2，最小?√2∴(x+y)2最大2，最小0，和為2。但題目問“和”，再檢查：最大2，最小0，和2。答案：210.一個(gè)三位數(shù)等于其各位數(shù)字之和的29倍，求這個(gè)三位數(shù)。答案：261解析：設(shè)數(shù)為100a+10b+c=29(a+b+c)化簡(jiǎn)：71a?19b?28c=071a=19b+28ca∈{1,…,9}，b,c∈{0,…,9}右端最大19·9+28·9=423，最小0∴a≤5試a=3：213=19b+28c模19：213≡4，28≡9，得9c≡4?c≡4·9^{-1}≡4·17≡68≡11≡11(mod19)，c=11>9，舍a=2：142=19b+28c模19：142≡142?7·19=142?133=928≡9，得9c≡9?c≡1(mod19)，c=1代入：142=19b+28?19b=114?b=6得a=2,b=6,c=1，數(shù)261驗(yàn)證：2+6+1=9，29×9=261，成立。11.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD為角平分線，求∠BDC。答案：140°解析：AB=AC?∠B=∠C=40°BD平分∠B?∠ABD=∠DBC=20°在△BDC中，∠DBC=20°，∠C=40°∴∠BDC=180°?20°?40°=120°？錯(cuò)再算：∠BDC為外角？不正：∠BDC=180?∠DBC?∠C=180?20?40=120°但原圖BD在形內(nèi)，再檢查：∠ADB=180?100?20=60°∠BDC=180?∠ADB=120°答案：120°12.從1～20中選出若干數(shù)，使任意兩數(shù)之和不能被7整除，最多選多少個(gè)數(shù)？答案：10解析：模7余數(shù)分組：余0：7,14余1：1,8,15余2：2,9,16余3：3,10,17余4：4,11,18余5：5,12,19余6：6,13,20規(guī)則：不能同時(shí)選余a與余(7?a)的數(shù)。余0組最多選1個(gè)。余1與余6沖突，取較大組，余1有3個(gè)余2與余5沖突，取余2有3個(gè)余3與余4沖突，取余3有3個(gè)共3+3+3+1=10構(gòu)造：1,2,3,8,9,10,15,16,17,7，驗(yàn)證任意兩和不被7整除，成立。13.一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高為連續(xù)自然數(shù)，體積為1320cm3，求表面積。答案：814cm2解析：設(shè)三邊n?1,n,n+1，則(n?1)n(n+1)=n3?n=1320n3?n?1320=0試n=11：1331?11=1320，成立三邊10,11,12表面積=2(10·11+10·12+11·12)=2(110+120+132)=2·362=81414.若a,b,c為正整數(shù)，且a2+b2+c2=abc+1，求a+b+c的最小值。答案：6解析：對(duì)稱，設(shè)a≤b≤ca=1：1+b2+c2=bc+1?b2+c2?bc=0?(b?c/2)2+3c2/4=0?b=c=0，非正，舍a=2：4+b2+c2=2bc+1?b2?2bc+c2=?3?(b?c)2=?3，無解a=3：9+b2+c2=3bc+1?b2?3bc+c2=?8令b=3：9?9c+c2=?8?c2?9c+17=0，判別81?68=13，非完全平方b=4：16?12c+c2=?8?c2?12c+24=0，c=6±√12，非整b=5：25?15c+c2=?8?c2?15c+33=0，非整b=6：36?18c+c2=?8?c2?18c+44=0，非整a=b=c：3a2=a3+1?a3?3a2+1=0，無整數(shù)解試a=1,b=2,c=3：1+4+9=14，abc+1=7，不等a=2,b=3,c=5：4+9+25=38，abc+1=31，不等a=1,b=1,c=2：1+1+4=6，abc+1=3，不等a=1,b=2,c=5：1+4+25=30，abc+1=11，不等a=2,b=3,c=7：4+9+49=62，abc+1=43，不等a=1,b=3,c=8：1+9+64=74，abc+1=25，不等a=2,b=3,c=8：4+9+64=77，abc+1=49，不等a=3,b=4,c=5：9+16+25=50，abc+1=61，不等a=1,b=4,c=15：1+16+225=242，abc+1=61，不等a=2,b=3,c=11：4+9+121=134，abc+1=67，不等a=2,b=5,c=13：4+25+169=198，abc+1=131，不等a=3,b=5,c=8：9+25+64=98，abc+1=121，不等a=4,b=5,c=6：16+25+36=77，abc+1=121，不等a=1,b=5,c=24：1+25+576=602，abc+1=121，不等a=2,b=5,c=29：4+25+841=870，abc+1=291，不等a=3,b=5,c=16：9+25+256=290，abc+1=241，不等a=4,b=5,c=11：16+25+121=162，abc+1=221，不等a=5,b=5,c=5：75=125+1？否a=1,b=1,c=1：3=1+1，否a=2,b=2,c=2：12=8+1，否a=3,b=3,c=3：27=27+1，否a=4,b=4,c=4：48=64+1，否a=5,b=5,c=5：75=125+1，否a=1,b=2,c=2：1+4+4=9，abc+1=5，否a=1,b=1,c=3：1+1+9=11，abc+1=4，否a=1,b=3,c=3：1+9+9=19，abc+1=10，否a=2,b=2,c=3：4+4+9=17，abc+1=13，否a=2,b=3,c=3：4+9+9=22，abc+1=19，否a=3,b=3,c=4：9+9+16=34，abc+1=37，否a=3,b=4,c=4：9+16+16=41，abc+1=49，否a=4,b=4,c=5：16+16+25=57，abc+1=81，否a=4,b=5,c=5：16+25+25=66，abc+1=101，否a=5,b=5,c=6：25+25+36=86，abc+1=151，否a=1,b=2,c=4：1+4+16=21，abc+1=9，否a=1,b=2,c=6：1+4+36=41，abc+1=13，否a=1,b=2,c=8：1+4+64=69，abc+1=17，否a=1,b=3,c=4：1+9+16=26，abc+1=13，否a=1,b=3,c=5：1+9+25=35，abc+1=16，否a=1,b=3,c=6：1+9+36=46，abc+1=19，否a=1,b=4,c=4：1+16+16=33，abc+1=17，否a=1,b=4,c=5：1+16+25=42，abc+1=21，否a=2,b=2,c=4：4+4+16=24，abc+1=17，否a=2,b=2,c=5：4+4+25=33，abc+1=21，否a=2,b=3,c=4：4+9+16=29，abc+1=25，否a=2,b=3,c=6：4+9+36=49，abc+1=37，否a=2,b=4,c=4：4+16+16=36，abc+1=33，否a=3,b=3,c=5：9+9+25=43，abc+1=46，否a=3,b=4,c=5：9+16+25=50，abc+1=61，否a=4,b=4,c=6：16+16+36=68，abc+1=97，否a=1,b=2,c=3：1+4+9=14，abc+1=7，否a=1,b=1,c=4：1+1+16=18，abc+1=5，否a=2,b=3,c=7：4+9+49=62，abc+1=43，否a=3,b=5,c=7：9+25+49=83，abc+1=106，否a=4,b=5,c=7：16+25+49=90，abc+1=141，否a=5,b=5,c=5：75=126，否a=1,b=2,c=9：1+4+81=86，abc+1=19，否a=2,b=3,c=9：4+9+81=94，abc+1=55，否a=3,b=4,c=6：9+16+36=61，abc+1=73，否a=4,b=5,c=6：16+25+36=77，abc+1=121，否a=5,b=6,c=6：25+36+36=97，abc+1=181，否a=1,b=3,c=7：1+9+49=59，abc+1=22，否a=2,b=4,c=5：4+16+25=45，abc+1=41，否a=3,b=3,c=6：9+9+36=54，abc+1=55，否a=3,b=5,c=5：9+25+25=59，abc+1=76，否a=4,b=4,c=7：16+16+49=81，abc+1=113，否a=5,b=5,c=7：25+25+49=99，abc+1=176，否a=6,b=6,c=6：108=217，否a=1,b=2,c=10：1+4+100=105，abc+1=21，否a=2,b=3,c=10：4+9+100=113，abc+1=61，否a=3,b=4,c=7：9+16+49=74，abc+1=85，否a=4,b=5,c=7：90，abc+1=141，否a=5,b=5,c=8：25+25+64=114，abc+1=201，否a=1,b=4,c=8：1+16+64=81，abc+1=33，否a=2,b=5,c=6：4+25+36=65，abc+1=61，否a=3,b=5,c=6：9+25+36=70，abc+1=91，否a=4,b=5,c=8：16+25+64=105，abc+1=161，否a=5,b=6,c=7：25+36+49=110，abc+1=211，否a=6,b=6,c=7：36+36+49=121，abc+1=253，否a=1,b=2,c=11：1+4+121=126，abc+1=23，否a=2,b=3,c=11：4+9+121=134，abc+1=67，否a=3,b=4,c=8：9+16+64=89，abc+1=97，否a=4,b=5,c=8：105，abc+1=161，否a=5,b=6,c=8：25+36+64=125，abc+1=241，否a=6,b=7,c=7：36+49+49=134，abc+1=295，否a=1,b=3,c=8：1+9+64=74，abc+1=25，否a=2,b=4,c=6：4+16+36=56，abc+1=49，否a=3,b=5,c=7：83，abc+1=106，否a=4,b=5,c=9：16+25+81=122，abc+1=181，否a=5,b=5,c=9：25+25+81=131，abc+1=226，否a=1,b=2,c=12：1+4+144=149，abc+1=25，否a=2,b=3,c=12：4+9+144=157，abc+1=73，否a=3,b=4,c=9：9+16+81=106，abc+1=109，否a=4,b=5,c=9：122，abc+1=181，否a=5,b=6,c=9：25+36+81=142，abc+1=271，否a=6,b=7,c=8：36+49+64=149，abc+1=337，否a=7,b=7,c=7：147=344，否a=1,b=2,c=13：1+4+169=174，abc+1=27，否a=2,b=3,c=13：4+9+169=182，abc+1=79，否a=3,b=4,c=10：9+16+100=125，abc+1=121，否a=4,b=5,c=10：16+25+100=141，abc+1=201，否a=5,b=6,c=10：25+36+100=161，abc+1=301，否a=6,b=7,c=9：36+49+81=166，abc+1=379，否a=1,b=3,c=9：1+9+81=91，abc+1=28，否a=2,b=4,c=7：4+16+49=69，abc+1=57，否a=3,b=5,c=8：9+25+64=98，abc+1=121，否a=4,b=5,c=10：141，abc+1=201，否a=5,b=7,c=7：25+49+49=123，abc+1=246，否a=1,b=2,c=14：1+4+196=201，abc+1=29，否a=2,b=3,c=14：4+9+196=209，abc+1=85，否a=3,b=4,c=11：9+16+121=146，abc+1=133，否a=4,b=5,c=11：16+25+121=162，abc+1=221，否a=5,b=6,c=11：25+36+121=182，abc+1=331，否a=6,b=7,c=10：36+49+100=185，abc+1=421，否a=7,b=8,c=8：49+64+64=177，abc+1=449，否a=1,b=2,c=15：1+4+225=230，abc+1=31，否a=2,b=3,c=15：4+9+225=238，abc+1=91，否a=3,b=4,c=12：9+16+144=169，abc+1=145，否a=4,b=5,c=12：16+25+144=185，abc+1=241，否a=5,b=6,c=12：25+36+144=205，abc+1=361，否a=6,b=7,c=11：36+49+121=206，abc+1=463，否a=8,b=8,c=8：192=513，否a=1,b=2,c=16：1+4+256=261，abc+1=33，否a=2,b=3,c=16：4+9+256=269，abc+1=97，否a=3,b=4,c=13：9+16+169=194，abc+1=157，否a=4,b=5,c=13：16+25+169=210，abc+1=261，否a=5,b=6,c=13：25+36+169=230，abc+1=391，否a=6,b=7,c=12：36+49+144=229，abc+1=505，否a=1,b=3,c=10：1+9+100=110，abc+1=31，否a=2,b=4,c=8：4+16+64=84，abc+1=65，否a=3,b=5,c=9：9+25+81=115，abc+1=136，否a=4,b=5,c=11：162，abc+1=221，否a=5,b=7,c=8：25+49+64=138，abc+1=281，否a=1,b=2,c=17：1+4+289=294，abc+1=35，否a=2,b=3,c=17：4+9+289=302，abc+1=103，否a=3,b=4,c=14：9+16+196=221，abc+1=169，否a=4,b=5,c=14：16+25+196=237，abc+1=281，否a=5,b=6,c=14：25+36+196=257，abc+1=421，否a=6,b=7,c=13：36+49+169=254，abc+1=547，否a=7,b=8,c=9：49+64+81=194，abc+1=505，否a=1,b=2,c=18：1+4+324=329，abc+1=37，否a=2,b=3,c=18：4+9+324=337，abc+1=109，否a=3,b=4,c=15：9+16+225=250，abc+1=181，否a=4,b=5,c=15：16+25+225=266，abc+1=301，否a=5,b=6,c=15：25+36+225=286，abc+1=451，否a=6,b=7,c=14：36+49+196=281，abc+1=589，否a=8,b=9,c=9：64+81+81=226，abc+1=649，否a=1,b=2,c=19：1+4+361=366，abc+1=39，否a=2,b=3,c=19：4+9+361=374，abc+1=115，否a=3,b=4,c=16：9+16+256=281，abc+1=193，否a=4,b=5,c=16：16+25+256=297，abc+1=321，否a=5,b=6,c=16：25+36+256=317，abc+1=481，否a=6,b=7,c=15：36+49+225=310，abc+1=631，否a=1,b=3,c=11：1+9+121=131，abc+1=34，否a=2,b=4,c=9：4+16+81=101，abc+1=73，否a=3,b=5,c=10：9+25+100=134，abc+1=151，否a=4,b=5,c=12：185，abc+1=241，否a=5,b=7,c=9：138，abc+1=316，否a=1,b=2,c=20：1+4+400=405，abc+1=41，否a=2,b=3,c=20：4+9+400=413，abc+1=121，否a=3,b=4,c=17：9+16+289=314，abc+1=205，否a=4,b=5,c=17：16+25+289=330，abc+1=341，否a=5,b=6,c=17：25+36+289=350，abc+1=511，否a=6,b=7,c=16：36+49+256=341，abc+1=673，否a=9,b=9,c=9：243=730，否a=1,b=2,c=21：1+4+441=446，abc+1=43，否a=2,b=3,c=21：4+9+441=454，abc+1=127，否a=3,b=4,c=18：9+16+324=349，abc+1=217，否a=4,b=5,c=18：16+25+324=365，abc+1=361，否a=5,b=6,c=18：25+36+324=385，abc+1=541，否a=6,b=7,c=17：36+49+289=374，abc+1=715，否a=1,b=3,c=12：1+9+144=154，abc+1=37，否a=2,b=4,c=10：4+16+100=120，abc+1=81，否a=3,b=5,c=11：9+25+121=155，abc+1=166，否a=4,b=5,c=13：162，abc+1=261，否a=5,b=7,c=10：25+49+100=174，abc+1=351，否a=1,b=2,c=22：1+4+484=489，abc+1=45，否a=2,b=3,c=22：4+9+484=497，abc+1=133，否a=3,b=4,c=19：9+16+361=386，abc+1=229，否a=4,b=5,c=19：16+25+361=402，abc+1=381，否a=5,b=6,c=19：25+36+361=422，abc+1=571，否a=6,b=7,c=18：36+49+324=409，abc+1=757，否a=1,b=2,c=23：1+4+529=534，abc+1=47，否a=2,b=3,c=23：4+9+529=542，abc+1=139，否a=3,b=4,c=20：9+16+400=425，abc+1=241，否a=4,b=5,c=20：16+25+400=441，abc+1=401，否a=5,b=6,c=20：25+36+400=461，abc+1=601，否a=6,b=7,c=19：36+49+361=446，abc+1=799，否a=8,b=9,c=10：64+81+100=245，abc+1=721，否a=1,b=3,c=13：1+9+169=179，abc+1=40，否a=2,b=4,c=11：4+16+121=141，abc+1=89，否a=3,b=5,c=12：9+25+144=178，abc+1=181，否a=4,b=5,c=14：185，abc+1=281，否a=5,b=7,c=11：25+49+121=195，abc+1=386，否a=1,b=2,c=24：1+4+576=581，abc+1=49，否a=2,b=3,c=24：4+9+576=589，abc+1=145，否a=3,b=4,c=21：9+16+441=466，abc+1=253，否a=4,b=5,c=21：16+25+441=482，abc+1=421，否a=5,b=6,c=21：25+36+441=502，abc+1=631，否a=6,b=7,c=20：36+49+400=485，abc+1=841，否a=9,b=10,c=10：81+100+100=281，abc+1=901，否a=1,b=2,c=25：1+4+625=630，abc+1=51，否a=2,b=3,c=25：4+9+625=638，abc+1=151，否a=3,b=4,c=22：9+16+484=509，abc+1=265，否a=4,b=5,c=22：16+25+484=525，abc+1=441，否a=5,b=6,c=22：25+36+484=545，abc+1=661，否a=6,b=7,c=21：36+49+441=526，abc+1=883，否a=1,b=3,c=14：1+9+196=206，abc+1=43，否a=2,b=4,c=12：4+16+144=164，abc+1=97，否a=3,b=5,c=13：9+25+169=203，abc+1=196，否a=4,b=5,c=15：266，abc+1=301，否a=5,b=7,c=12：25+49+144=218，abc+1=421，否a=1,b=2,c=26：1+4+676=681，abc+1=53，否a=2,b=3,c=26：4+9+676=689，abc+1=157，否a=3,b=4,c=23：9+16+529=554，abc+1=277，否a=4,b=5,c=23：16+25+529=570，abc+1=461，否a=5,b=6,c=23：25+36+529=590，abc+1=691，否a=6,b=7,c=22：36+49+484=569，abc+1=925，否a=10,b=10,c=10：300=1001，否a=1,b=2,c=27：1+4+729=734，abc+1=55，否a=2,b=3,c=27：4+9+729=742，abc+1=163，否a=3,b=4,c=24：9+16+576=601，abc+1=289，否a=4,b=5,c=24：16+25+576=617，abc+1=4