2026年數(shù)學(xué)建模方法與應(yīng)用考試題一、單選題（共5題，每題2分，計(jì)10分）1.在某城市交通流模型中，若用微分方程描述車流量變化，下列哪個(gè)方程更適用于描述單車道上的車流密度ρ與時(shí)間t的關(guān)系？（）A.ρ′=-aρ(b-ρ)B.ρ′=arρ(1-ρ/L)C.ρ′=-kρ2D.ρ′=bρ-cρ22.在處理某地區(qū)傳染病傳播問(wèn)題時(shí)，若采用SIR模型（易感-感染-移除），以下哪個(gè)參數(shù)最能反映感染者向移除者轉(zhuǎn)變的速度？（）A.β（感染率）B.γ（移除率）C.α（潛伏期比例）D.δ（免疫喪失率）3.某電商平臺(tái)通過(guò)A/B測(cè)試優(yōu)化商品推薦算法，發(fā)現(xiàn)算法改進(jìn)后用戶點(diǎn)擊率提升了15%。若用邏輯回歸模型分析，該提升主要體現(xiàn)在哪個(gè)指標(biāo)上？（）A.模型偏差（Bias）B.模型方差（Variance）C.AUC（曲線下面積）D.F1分?jǐn)?shù)4.在農(nóng)業(yè)產(chǎn)量預(yù)測(cè)中，若采用時(shí)間序列ARIMA模型，以下哪個(gè)檢驗(yàn)用于判斷序列是否平穩(wěn)？（）A.Ljung-Box檢驗(yàn)B.Durbin-Watson檢驗(yàn)C.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)D.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)5.某工廠生產(chǎn)線上出現(xiàn)零件缺陷問(wèn)題，采用帕累托圖分析發(fā)現(xiàn)80%的缺陷由3個(gè)原因?qū)е?。此時(shí)最適合的改進(jìn)方法是？（）A.均值-標(biāo)準(zhǔn)差控制圖B.因果分析圖C.散點(diǎn)圖D.箱線圖二、填空題（共5題，每題2分，計(jì)10分）1.在線性回歸模型中，若殘差平方和為SSR，總平方和為SST，則判定系數(shù)R2的表達(dá)式為_(kāi)_________。2.若某城市自來(lái)水管網(wǎng)存在泄漏，通過(guò)壓力-流量關(guān)系模型發(fā)現(xiàn)泄漏點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致管網(wǎng)壓力下降12%，此時(shí)__________方法可用于定位泄漏位置。3.在供應(yīng)鏈管理中，若需求服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，缺貨成本為C?，備貨成本為C?，則最優(yōu)訂貨量Q可通過(guò)__________公式計(jì)算。4.在機(jī)器學(xué)習(xí)模型中，過(guò)擬合現(xiàn)象通常表現(xiàn)為訓(xùn)練集誤差遠(yuǎn)低于測(cè)試集誤差，此時(shí)可通過(guò)__________技術(shù)緩解該問(wèn)題。5.若某地區(qū)霧霾天數(shù)占比為30%，采用貝葉斯公式更新后，若觀測(cè)到連續(xù)3天霧霾，則霧霾天概率P(D|E)的表達(dá)式為_(kāi)_________。三、簡(jiǎn)答題（共4題，每題5分，計(jì)20分）1.簡(jiǎn)述灰色預(yù)測(cè)模型（GM(1,1)）的基本原理及其在短期經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用場(chǎng)景。2.在交通流量控制中，為什么卡爾曼濾波器比傳統(tǒng)PID控制器更適用于動(dòng)態(tài)路況估計(jì)？3.某公司通過(guò)聚類分析將客戶分為三類，若發(fā)現(xiàn)聚類結(jié)果與實(shí)際業(yè)務(wù)需求不符，應(yīng)如何調(diào)整聚類參數(shù)？4.在金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，VaR（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）模型的核心假設(shè)是什么？若市場(chǎng)出現(xiàn)極端波動(dòng)，該模型可能失效的原因有哪些？四、計(jì)算題（共3題，每題10分，計(jì)30分）1.某城市公交系統(tǒng)每天6:00-8:00高峰期客流變化數(shù)據(jù)如下表，試用指數(shù)平滑法（α=0.3）預(yù)測(cè)6:30的客流量。|時(shí)間|客流量（人/小時(shí)）||--|||6:00|1200||6:30|1800||7:00|2500||7:30|3000|2.某農(nóng)場(chǎng)種植兩種作物A和B，單位面積投入成本分別為400元/畝和600元/畝，收益分別為800元/畝和1000元/畝。若土地總面積為100畝，且政府補(bǔ)貼政策要求B作物種植面積不低于總面積的40%，求如何分配種植面積才能使總利潤(rùn)最大？3.某醫(yī)院記錄了某病患者的治愈時(shí)間數(shù)據(jù)（單位：天）：15,20,18,22,25,19,24。試用生存分析法計(jì)算該病患者的中位生存時(shí)間及95%置信區(qū)間（假設(shè)數(shù)據(jù)服從Weibull分布）。五、應(yīng)用題（共2題，每題20分，計(jì)40分）1.某港口碼頭通過(guò)仿真模型優(yōu)化集裝箱裝卸作業(yè)流程。已知當(dāng)前作業(yè)效率為每小時(shí)50箱，若引入自動(dòng)化設(shè)備，預(yù)計(jì)效率提升至每小時(shí)70箱，但設(shè)備投資成本為200萬(wàn)元。若裝卸成本為10元/箱，設(shè)備折舊年限為5年，試用成本效益分析法判斷是否應(yīng)引入自動(dòng)化設(shè)備。2.某旅游城市通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查收集游客滿意度數(shù)據(jù)，其中交通、住宿、餐飲三項(xiàng)評(píng)分均服從正態(tài)分布，樣本均值分別為4.2、4.5、4.0，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.8、0.7、0.9。若政府部門(mén)計(jì)劃投入100萬(wàn)元提升服務(wù)質(zhì)量，試通過(guò)多目標(biāo)規(guī)劃模型分配資金，使三項(xiàng)評(píng)分均達(dá)到4.8分。答案與解析一、單選題答案1.A（Logistic模型適用于車流密度飽和增長(zhǎng)場(chǎng)景）2.B（γ反映感染到移除的速率）3.C（AUC衡量模型區(qū)分能力，點(diǎn)擊率提升對(duì)應(yīng)AUC增大）4.A（Ljung-Box檢驗(yàn)用于序列自相關(guān)性檢驗(yàn)）5.B（帕累托圖聚焦主要問(wèn)題，因果分析圖深入根源）二、填空題解析1.R2=SSR/SST（衡量回歸解釋度）2.壓力波法（泄漏點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致壓力驟降）3.EOQ公式（EconomicOrderQuantity）4.正則化（Lasso/Ridge）5.P(D|E)=P(E|D)P(D)/P(E)（貝葉斯公式更新概率）三、簡(jiǎn)答題解析1.GM(1,1)原理：基于累加生成序列建立一階線性微分方程，適用于數(shù)據(jù)弱相關(guān)但趨勢(shì)穩(wěn)定的短期預(yù)測(cè)。應(yīng)用場(chǎng)景：如GDP、人口增長(zhǎng)等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)預(yù)測(cè)。2.卡爾曼濾波優(yōu)勢(shì)：可處理動(dòng)態(tài)系統(tǒng)噪聲干擾，實(shí)時(shí)更新估計(jì)值，而PID依賴固定參數(shù)，無(wú)法適應(yīng)突變路況。3.調(diào)整聚類參數(shù)：①增加/減少聚類數(shù)k；②調(diào)整距離度量（如歐氏距離/曼哈頓距離）；③使用輪廓系數(shù)評(píng)估聚類效果。4.VaR模型假設(shè)：市場(chǎng)正態(tài)分布、獨(dú)立同分布；失效原因：黑天鵝事件、尾部風(fēng)險(xiǎn)未覆蓋。四、計(jì)算題解析1.指數(shù)平滑法：6:30預(yù)測(cè)值=0.3×1800+0.7×1200=1500（人/小時(shí)）2.線性規(guī)劃模型：設(shè)A、B種植面積分別為x?、x?，約束：x?+x?≤100；x?≥40；x?,x?≥0目標(biāo)函數(shù)：Max(400x?+600x?)解得：x?=60,x?=40，總利潤(rùn)=84000元3.生存分析：中位生存時(shí)間=18天（排序第4值）；置信區(qū)間計(jì)算需極大值似然估計(jì)（略）。五、應(yīng)用題解析1.成本效益分析：年均效益=(70-50)×10×2000-200萬(wàn)=600萬(wàn)；投資回收期=200/60≈3.3