第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體的實(shí)例，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，了解指數(shù)增長(zhǎng)模型和指數(shù)衰減模型，體會(huì)指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；2.通過(guò)指數(shù)增長(zhǎng)模型和指數(shù)衰減模型，經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)概念的歸納，并了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，提升抽象概括能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念和底數(shù)的取值范圍，并能應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的概念解決具體的問(wèn)題.

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解和掌握指數(shù)函數(shù)的概念，并能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的概念解決具體問(wèn)題．難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用．

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景一尺之錘，日取其半.意思是：一尺長(zhǎng)的木棍，第一天截取一半，第二天起，每天截取剩下的一半.那么，每天截取的木棍長(zhǎng)度是多少？每天截取的木棍長(zhǎng)度有什么規(guī)律？某種細(xì)胞分裂時(shí),第一次由1個(gè)分裂成2個(gè)，第2次由2個(gè)分裂成4個(gè)，如此下去，如果第x次分裂得到y(tǒng)個(gè)細(xì)胞，那么某細(xì)胞個(gè)數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系是什么？設(shè)計(jì)意圖：舉生活中的實(shí)際例子，讓學(xué)生感受指數(shù)變化，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.（二）探究新知任務(wù)1：探究什么指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型和指數(shù)衰減模型.問(wèn)題1隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門(mén)票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門(mén)票.如下表給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．時(shí)間/年A地景區(qū)B地景區(qū)人次/萬(wàn)次年增加量/萬(wàn)次人次/萬(wàn)次年增加量/萬(wàn)次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126思考：比較A，B兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？如果想繼續(xù)研究16年，17年乃至后面的游客人次，可以采用什么方式進(jìn)行研究呢？合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào).解：A，B兩地的游客人次均在增長(zhǎng)，但A地增長(zhǎng)速度慢一下，而B(niǎo)地則更快.可以才采用作圖的方式繼續(xù)研究16年，17年乃至后面的游客人次.根據(jù)上表，分別畫(huà)出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖象(圖4.2?1和圖4.2?2)．

思考：觀(guān)察圖象，A，B兩地景區(qū)的游客人次呈現(xiàn)什么變化？合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào).解：觀(guān)察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次近似于直線(xiàn)上升，呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，年增加量大致相等，約為10萬(wàn)次；B地景區(qū)的游客人次則是非線(xiàn)性增長(zhǎng)，年增加量越來(lái)越大．且從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2003年游客人次??2015年游客人次值不變，所以，B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為1.11?1=0.11，是一個(gè)常數(shù).結(jié)論：像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱(chēng)為指數(shù)增長(zhǎng).因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng).問(wèn)題2當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減(稱(chēng)為衰減率)，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.思考：按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量呈什么形式衰減？合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)解：設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1?p死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1?p死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1?p??死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為(1?p)根據(jù)已知條件，(1?p)5730=12，從而所以，死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以1?1結(jié)論：像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱(chēng)之為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的具體實(shí)例，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減模型，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.任務(wù)2：探究指數(shù)函數(shù)的概念.探究：(1)問(wèn)題1中，x年后游客人次與2001年的游客人次之間有怎樣的關(guān)系？解：從2001年開(kāi)始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.1112年后，游客人次是2001年的1.1123年后，游客人次是2001年的1.113??x年后，游客人次是2001年的1.11x如果設(shè)經(jīng)過(guò)x年后游客人次為2001年的y倍，那么y=這是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，其中指數(shù)x是自變量.(2)問(wèn)題2中，生物體內(nèi)碳14含量和死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？解：設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么y=(1?p)y=1所以，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間存在著函數(shù)關(guān)系，指數(shù)x是自變量.如果用字母代替上述兩式中的底數(shù)1.11和1215730，那么函數(shù)y=y=的形式，其中指數(shù)x是自變量，底數(shù)a是一個(gè)大于0且不等于1的常量.由此，我們得出指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減模型抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).（三）應(yīng)用舉例例1已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，提示：要求f(0)，f(1)，f(?3)的值，應(yīng)先求f(x)=ax的解析式，即先求解：因?yàn)閒(x)=ax，且f(3)=π，則a3f(x)=所以f(0)=π0=1，f(1)=π例2(1)在問(wèn)題1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門(mén)票之外的收入，A地景區(qū)的門(mén)票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．(2)在問(wèn)題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來(lái)的百分之幾？解：(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x年，游客給A，B兩地帶來(lái)的收入分別為f(x)和g(x)，則f(x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11利用計(jì)算工具可得，當(dāng)x=0時(shí)，f(0)?g(0)=412000當(dāng)x≈10.22時(shí)，f(10.22)≈g(10.22)．

結(jié)合圖可知：當(dāng)x<10.22時(shí)，f(x)>g(x)，當(dāng)x>10.22時(shí)，當(dāng)x=14時(shí)，g(14)?f(14)≈347303這說(shuō)明，在2001年，游客給A地帶來(lái)的收入比B地多412000萬(wàn)元；隨后10年，雖然f(x)>g(x)，但g(x)的增長(zhǎng)速度大于f(x)；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年3月某個(gè)時(shí)刻就有f(x)=g(x)，這時(shí)游客給A地帶來(lái)的收入和B地差不多；此后，f(x)<g(x)，游客給B地帶來(lái)的收入超過(guò)了A地；由于g(x)增長(zhǎng)得越來(lái)越快，在2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多347303萬(wàn)元了．(2)設(shè)生物死亡x年后，它體內(nèi)碳14含量為?(x).如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么?(x)=1當(dāng)x=10000?(10000)=1所以，生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14含量衰減為原來(lái)的約30%．例3下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是

(填序號(hào))．

①y=4x；②y=x4；③y=(?4)x；④y=4解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)是y=ax，其中a>0且a≠1，

判斷①y=4x是指數(shù)函數(shù)，

②y=x4不是指數(shù)函數(shù)，

總結(jié)：判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法形如y=ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，其中x1.底數(shù)a的值要符合a>0且a≠1；2.ax3.指數(shù)要為x.例4函數(shù)fx=a2A.2 B.1 C.3 D.2或?1提示：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，ax前的系數(shù)要為1，且底數(shù)a的值要符合a>0，且a≠1解：由指數(shù)函數(shù)的定義，得a2?a?1=1，解得a又因?yàn)榈讛?shù)a的值要符合a>0，且a≠1，所以a=2，

故選A設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，熟悉指數(shù)函數(shù)的概念，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力．（四）課堂練習(xí)1.函數(shù)y=a?2ax是指數(shù)函數(shù)，則A.a=1或a=3 B.a=1

C.a=3 D.a>0且a≠1解：因?yàn)楹瘮?shù)y=a?2所以a?2=1，a>0且解得a=3故選：C．2.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=max的圖象過(guò)點(diǎn)2,14，則aA.1 B.2 C.12 D.解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的解析式為f(x)=max，所以m=1，

將點(diǎn)2,14，代入可得f(2)=a2=14，

因?yàn)閍>0且a3.下列函數(shù)：①y=x2；②y=?2x；③y=2x+1；④y=A.1 B.2 C.3 D.4解：①函數(shù)y=x2是二次函數(shù)；

②函數(shù)y=?2x底數(shù)小于0，故不是指數(shù)函數(shù)；

③函數(shù)y=2x+1指數(shù)部分為x+1，故不是指數(shù)函數(shù)；

④∵a>1且a≠2，

可得出a?1>0故選：A．4.若函數(shù)y=(m2?m?1)?mx是指數(shù)函數(shù)，則A.?1或2 B.?1 C.2 D.1解：∵函數(shù)y=(m2?5m+5)mx是指數(shù)函數(shù)，

∴m>0且m≠1m2?m?1=1,5.某商品的價(jià)格y(單位：元)因上架時(shí)間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價(jià)格與上架時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù)，即y=k·ax(a>0且a≠1，x∈N?).當(dāng)商品上架第1天的價(jià)格為96元，上架第3天的價(jià)格為54解：由題意可得方程組：

k×a1=96k×a3=54，結(jié)合a>0且a≠1，

可得：

a=34k=128，即：

y=128×34x6.截止到2018年年底，我國(guó)某市人口數(shù)量約為130萬(wàn).若今后能將人口數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率控制在3‰，經(jīng)過(guò)x年后，此市人口數(shù)量為y(單位：萬(wàn))．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)，并寫(xiě)出定義域;(2)若按此增長(zhǎng)率，則2029年年底的人口數(shù)量約是多少?(3)哪一年年底的人口數(shù)量將達(dá)到135萬(wàn)?(參考數(shù)據(jù)：1.00311≈1.033，1.解：(1)2018年年底的人口數(shù)量約為130萬(wàn);經(jīng)過(guò)1年，即2019年年底的人口數(shù)量約為130+130×3‰=130(1+3‰)萬(wàn);經(jīng)過(guò)2年，即2020年年底的人口數(shù)量約為130(1+3‰)+130(1+3‰)×3‰=130(1+3‰)2經(jīng)過(guò)3年，即2021年年底的人口數(shù)量約為130(1+3‰)2......所以經(jīng)過(guò)x年后的人口數(shù)量約為130(1+