第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異

一、教學目標1.能夠利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，對幾種常見增長類型的函數(shù)的增長方式進行比較，體會它們的增長差異；2.理解“直線上升”、“指數(shù)爆炸”、“對數(shù)增長”的含義；3.體會函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，認識基本初等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.

二、教學重難點重點：一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異.難點：函數(shù)增長快慢的因素.

三、教學過程（一）導入新課師生活動：教師提出問題，引導學生結(jié)合初中學習的函數(shù)知識進行回顧與思考.思考：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一:每天回報40元；方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元；方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？教師說明：這個問題涉及了不同函數(shù)增長的比較，我們今天就來研究三種不同函數(shù)-----一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異.設(shè)計意圖：通過實際問題引入課題，激發(fā)學生的學習興趣.（二）探究新知任務1：探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長方式的差異.探究1：畫出函數(shù)y=2x與y=2x在區(qū)間師生活動：教師提出問題，學生自主探究.作出圖象后，師生合作觀察、研究函數(shù)y=2x與y=2x在區(qū)間0,1，答：列表，畫圖如下：通過圖象可以看到，函數(shù)y=2x與y=2x有兩個交點1,2，2,4.在區(qū)間0,1上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x的圖象之上，2x>2x；在區(qū)間1,2上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x的圖象之下，2x<探究2：為了突出增長的差異，在更大的范圍內(nèi)觀察這兩個函數(shù)的增長情況.師生活動：教師指導學生列表，畫圖，師生再次合作觀察、研究函數(shù)y=2x與答：列表，畫圖如下：通過圖象可以看到，雖然函數(shù)y=2x與y=2x在區(qū)間0,+∞上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，2x會小于2x，但由于y=2x設(shè)計意圖：通過數(shù)形結(jié)合，讓學生直觀感受一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長差異.總結(jié)：一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似，即使k的值遠遠大于a注意：指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長，而是越來越快，呈爆炸性增長.師生活動：教師再出示幾個函數(shù)實例來說明.設(shè)計意圖：通過實例，推導出結(jié)論，培養(yǎng)學生分析、推理的能力.任務2：探究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長方式的差異.探究：畫出函數(shù)y=lgx，y=1師生活動：教師提出問題，學生自主探究，教師引導學生進行分析.師生合作觀察、研究函數(shù)y=lgx，答：列表，畫圖如下：觀察圖象可知，雖然函數(shù)y=lgx，y=110x在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增，但增長速度存在明顯的差異：函數(shù)y=110x的增長速度保持不變，而y=lg思考：如果將y=lgx放大1000倍，再對函數(shù)y=1000lg答：仍保持上述規(guī)律，如下圖所示：設(shè)計意圖：類比前面的探究過程繼續(xù)學習，學生易于接受，并能夠較快得出正確的結(jié)論，提高學生類比學習的能力.師生活動：師生共同總結(jié)一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異.總結(jié)：一般地，雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.即使k的值很小，在一定范圍內(nèi)，logax可能會大于kx注意：對數(shù)函數(shù)比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律.設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生歸納總結(jié)的能力.任務3：探究一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的增長差異師生活動：教師出示問題，學生自主探究.探究1：畫出一次函數(shù)y=2x，對數(shù)函數(shù)y=lg答：作圖如下：隨著x的增大，①y=2x在(0,+∞②y=2x在(0,+∞③y=lgx在探究2：試概括一次函數(shù)y=kx(k>0)，對數(shù)函數(shù)y=logax答：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著①y=kx(k>0)保持固定的增長速度；②y=log③y=bx(b>1)增長得越來越快.探究3：討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.答：直線上升→勻速增長；對數(shù)增長→緩慢增長；指數(shù)爆炸→增長越來越快.應用說明：1.當描述增長速度變化很快時，常常選用指數(shù)函數(shù)模型；2.當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長到很大時，常常選用對數(shù)函數(shù)模型；3.當變化趨勢穩(wěn)定、平穩(wěn)，選用一次函數(shù)模型.設(shè)計意圖：通過對本節(jié)課進行總結(jié)性探究，加深學生對一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長差異的認識.（三）應用舉例例1：在同一坐標系內(nèi)畫出下列函數(shù)的大致圖象，并比較它們的增長情況.y=0.1ex?100y=20y=20x師生活動：教師出示例題，讓學生自主解答，并比較它們的增長情況.解：三個函數(shù)的大致圖象如下圖所示.由圖象可以看到，函數(shù)y=0.1ex?100以“爆炸”式的速度增長；函數(shù)y=設(shè)計意圖：通過例題讓學生進一步熟悉不同函數(shù)的增長情況.例2：函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩個函數(shù)的圖象交于點A((1)請指出圖中曲線C1，C2(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2020)，g

分析：（1）隨著自變量x的增大，圖象位于上方對應的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)f(x)=2x，另一個圖象對應的函數(shù)就是冪函數(shù)g解：（1）當x充分大時，位于上方的圖象對應的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)f(x)=2x，另一個函數(shù)就是冪函數(shù)g(x)=x3，

∴曲線C1對應的函數(shù)為（2）∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，∴1<x1<2∴x從圖象上可以看出，當x1<x<x2當x>x2時，∴f(2020)>g(2020).又∴f(2020)>g例3：某公司2024年上半年五個月的收入情況如下表所示：月份23456月收入(萬元)1.42.565.311121.3根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2024年月收入y(萬元)與月份x的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型y=x1(1)你認為哪個函數(shù)模型較好？并說明理由．(2)試用你認為較好的函數(shù)模型，分析大約從幾月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，分析：(1)

確定自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，將這些點描到坐標系中，發(fā)現(xiàn)這些點更與哪一個函數(shù)吻合是解決本題的關(guān)鍵．

(2)選擇出好的模型之后利用方程思想求出相應的自變量，注意指數(shù)式與對數(shù)式的互相轉(zhuǎn)化．解：(1)畫出散點圖，如圖：由圖可知點(2,1.4),(3,2.56),(4,5.31),(5,11),(6,21.30)基本上是落在函數(shù)y=2x3的圖像的附近，

因此用函數(shù)y=2x3這一模型較好．

(2)當2x∴x>2+lg3lg2≈2+0.4771設(shè)計意圖：通過例題，幫助學生進一步理解不同函數(shù)模型的增長差異，并發(fā)展學生的數(shù)學建模、解模及數(shù)學運算等核心素養(yǎng).（四）課堂練習1.下列函數(shù)中隨著x(x>1)的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是(

)A.y=4lgx B.y=x4 C.解：當x>1時，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函教其次，對數(shù)函數(shù)最慢，

故函數(shù)y=4×3x的增長速度最快．

故選2.如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，用下列哪個函數(shù)模型擬合紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系最好(

)

A.指數(shù)函數(shù)：y=2t B.對數(shù)函數(shù)：y=log2t

解：由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長的比較快，且圖象過(1,2)點，∴圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好，

故選：A．3.當a>1時，有下列結(jié)論：①指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;

②指數(shù)函數(shù)y=ax，當a越小時，其函數(shù)值的增長越快;

③對數(shù)函數(shù)y=logax，當a越大時，其函數(shù)值的增長越快;

④對數(shù)函數(shù)y=A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解：當a>1時，

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知，指數(shù)函數(shù)y=ax，當對數(shù)函數(shù)y=loga?x故①④正確．故選：B4.下表為2018年?2022年的中國數(shù)字經(jīng)濟規(guī)模(單位：萬億元):年份20182019202020212022年份代碼x12345中國數(shù)字經(jīng)濟規(guī)模y31.335.839.245.550.2則下列所給函數(shù)模型中比較適合這一數(shù)據(jù)關(guān)系的是(

)A.y=2x+30 B.y=30+log2(x+1)

C.y=28×(98)x D.y=2x+30

解：對于y=2x+30，當x=5時，y=40，與50.2相差較大;

對于y=30+log2(x+1)，當x=5時，y<33，與50.2相差較大;

對于y=2x+30，當x=55.函數(shù)f(x)=lgx，g(x)=0.3x?1的圖象如圖所示．(1)指出曲線C1，C2(2)比較兩函數(shù)增長速度的差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的大小進行比較)．解：(1)由函數(shù)圖象特征及變化趨勢，知曲線C1對應的函數(shù)為g曲線C2對應的函數(shù)為(2)當