第二十八章《銳角三角函數(shù)》單元測試卷一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA=1213，則tanA．513 B．135 C．1252．在△ABC中，若|cosA?12|+(tanB?1A．45° B．60° C．75° D．105°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，則sinB的值是（）A．23 B．35 C．344．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AB＝c，∠A＝α，則AD的為（）A．c?cos2α B．c?sin2α C．c?sinα?tanα D．c?sinα?cosα5．某露營愛好者在營地搭建一種“天幕”（如圖①），其截面示意圖是軸對稱圖形（如圖②），對稱軸是垂直于地面的支桿AB所在的直線，撐開的遮陽面AC和AD的長均為2m，∠CAD的度數(shù)為140°，則此時“天幕”的寬度CD是（）A．4sin70°m B．4cos70°m C．2sin20°m D．2cos20°m6．某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，如圖所示，在建筑物旁邊有一高度為12米的小樓房，琪琪同學(xué)在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60°，在小樓房樓頂A處測得C處的仰角為45°．（AB、CD在同一平面內(nèi)，B、D在同一水平面上），則需測量的建筑物的高是（）A．24米 B．18米 C．(16+63)米 D．7．小宇同學(xué)課間去老師辦公室，發(fā)現(xiàn)老師的辦公桌上放著部分同學(xué)的檔案盒，其中10個豎直放置，左邊一個向右側(cè)傾斜靠著其他10個放置，檔案盒CD與豎直放置的檔案盒的夾角∠DCB＝37°，DF＝71cm，檔案盒長CD＝35cm．小宇同學(xué)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識計算出了檔案盒的厚度，它是（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．定義：如果一個三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么這樣的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰長為1，則其底角的余弦值為（）A．22 B．5C．22或2 D．229．如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，AB＝18cm，杯中水面與CD的交點為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為30°時，杯中水的最大深度為（）A．9 B．15 C．63 D．9310．如圖，一艘軍艦在A處測得小島P位于南偏東60°方向，向正東航行40海里后到達B處，此時測得小島P位于南偏西75°方向，則小島P離觀測點A的距離是（）A．202海里 B．(203C．203海里 D．(2011．如圖，在△ABC中，AB＝AC，sinA=35，延長AC到點D，使得CD=25AC，連結(jié)BD，過點D作BD的垂線交BCA．25 B．105 C．5512．在如圖所示的小正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D均為小正方形的頂點，線段AB和CD相交于點O，則∠AOC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．46°二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）13．計算：2sin45°﹣2cos60°＝．14．如果α是銳角，sinα=12，那么cos（90°﹣α）＝15．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i＝．16．在直角坐標平面內(nèi)有一點A（2，4），求坐標原點O與點A的連線與x軸正半軸的夾角α的正弦值＝．17．構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計算tan22.5°時，構(gòu)造出如圖所示的圖形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°．根據(jù)此圖可求得tan22.5°的結(jié)果．18．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，點M是AD邊上一點，連接CM，以CM為邊向右作等邊△CMN，連接BN，則BN的最小值為．三、解答題（本題共8小題，共72分）19．（8分）計算：（1）cos（2）(sin30°)20．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，b+c＝24，∠A﹣∠B＝30°，解這個直角三角形．21．（8分）如圖，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BC＝a（a為常數(shù)且a≠0），延長CD到點A，使AD＝BD．（1）求∠A的度數(shù)及tanA的值；（2）作DE⊥AB，求DE的長．22．（8分）國慶假期，小明和小藍懷著對革命歷史的崇敬，從某紅色景區(qū)入口A．開啟紅色之旅．因參觀的景點不同，兩人決定各自沿不同路線參觀，再到達位于入口A正東方向的景點C處匯合．如圖為路線平面示意圖，小明從入口A出發(fā)，沿北偏東15°方向走4km到達景點B，參觀24分鐘，接著沿東南方向到達景點C、小藍從入口A出發(fā)，沿北偏東60°方向到達景點D，參觀15分鐘后，沿南偏西30°方向到達景點C．（參考數(shù)據(jù)：2=1.41，3≈1.73（1）求入口A與景點C之間的距離；（結(jié)果精確到0.1）（2）若小明步行的速度為4km/h，小藍步行的速度為6km/h，且兩人同時出發(fā)，請計算并說明小明和小藍誰先到達景點C？（結(jié)果精確到0.1）23．（10分）如圖，AB為圓O的直徑，C、D為圓O上不同于A、B的兩點，過點C作圓O的切線CF交直線AB于點F，直線DB⊥CF于點E．（1）求證：∠ABD＝2∠CAB；（2）若tan∠ACD=43，且BD=1824．（10分）為了監(jiān)控大橋下坡路段車輛行駛速度，通常會在下引橋處設(shè)置電子眼進行區(qū)間測速，如圖，電子眼位于點P處，離地面的鉛垂高度PQ為16米，區(qū)間測速的起點為下引橋坡面點A處，此時電子眼的俯角為27°；區(qū)間測速的終點為下引橋坡腳點B處，此時電子眼的俯角為53°（A、B、P、Q四點在同一平面）（1）求路段BQ的長；（2）當(dāng)下引橋坡度i＝1：3時，如果測速路段AB限速30km/h，小汽車用時2秒勻速通過電子眼區(qū)間測速路段AB，那么小汽車是否超速呢？（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈4325．（10分）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據(jù)詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）某公園有一秋千如圖2所示，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA′釋放，秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h，當(dāng)α＝46°，β＝28°，h＝0.8米時，請求出該秋千OA的長度（參考數(shù)據(jù)：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，結(jié)果精確到0.1米）．26．（10分）【特例猜想】如圖1，在Rt△ABC中，以AB為直徑作圓O，設(shè)其半徑為r，三邊長分別為a，b，c，由銳角三角函數(shù)定義可得：sinA=BCAB=a2r，sinB=AC（1）【推廣證明】進一步研究發(fā)現(xiàn)，asinA=b（2）【實際應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，∠B為鈍角，r為△ABC的外接圓半徑．若r=552，BC＝5，AC參考答案一、選擇題1．C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA=12∴設(shè)AC為12k，AB為13k，∴BC=AB2∴tanB=AC故選：C．2．C【解答】解：由條件可知|cosA?12|=0，（tanB∴cosA=12，tan∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．故選：C．3．D【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴sinB=AC故選：D．4．A【解答】解：由圖可得，AC＝AB?cosα，AD＝AC?cosα，∴AD＝AB?cos2α，即AD＝c?cos2α，故選：A．5．A【解答】解：設(shè)CD與AB交于點M，∵△ACD是軸對稱圖形，對稱軸是AB所在的直線，AC＝AD＝2m，∠CAD＝140°，∴CM＝MD，∠CAM＝∠DAM＝70°，∴AM⊥CD，CD＝2MD，∴∠AMD＝90°，∴MD＝AD?sin∠MAD＝2sin70°m，∴CD＝2MD＝4sin70°m，故選：A．6．D【解答】解：在建筑物旁邊有一高度為12米的小樓房，如圖，設(shè)過點A的水平線于CD交于點E，由題意知：四邊形ABDE是矩形DE＝AB＝12米，AE＝BD，在Rt△BCD中，BD=CD在Rt△ACE中，AE=BD=3∴CE=AE=3∴DE=CD?CE=CD?3∴3?3解得CD=(18+63故選：D．7．C【解答】解：由題意，在Rt△CBD中，∠DCB＝37°，CD＝35cm，sin∠DCB=BD∴BD＝CD?sin∠DCB＝35sin37°≈35×0.6＝21（cm），∴BF＝DF﹣BD＝71﹣21＝50（cm），∴檔案盒的厚度為50÷10＝5（cm），故選：C．8．D【解答】解：設(shè)等腰△ABC的底角為x，當(dāng)頂角為2x時，有2x+x+x＝180°，解得：x＝45°；此時，底角的余弦值為22當(dāng)頂角為x2時，有x2+x+x=180°如圖所示：作AF⊥BC，CE平分∠ACB，∵x＝72°，∴∠CAB=x∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∠CAB＝36°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACE=1∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝72°，∠ACE＝∠EAC，∴BC＝CE，AE＝CE，∴△ACB∽△CBE，設(shè)BC＝CE＝AE＝2y，則BE＝1﹣2y，∴1：2y＝2y：（1﹣2y），解得：y=5∴CF=1∴cos∠ACF=CF綜上所述：底角的余弦值為22或5故選：D．9．D【解答】解：過點A作AG⊥BH，垂足為G．如圖．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°．∵∠CBH＝30°，∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°．在Rt△AGB中，∵sin∠ABG=AG∴AG＝AB?sin∠ABG＝18?sin60°＝18×＝93（cm）．故選：D．10．B【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AP，交AP的延長線于H，則∠AHB＝90°，由題意可知：∠BAH＝90°﹣60°＝30°，AB＝40海里，∴BH=12AB=20∵∠ABP＝90°﹣75°＝15°，∴∠PBH＝60°﹣15°＝45°，∴∠HPB＝45°∴PH＝BH＝20海里，∵cos∠BAH=AH∴AH=203∴AP=AH?PH=(203故選：B．11．D【解答】解：如圖，過點B作BF⊥AC，交AC于點F，由條件可知BFAB設(shè)BF＝3x，則AB＝5x，∴AB＝AC＝5x，AF=A∴CF＝AC﹣AF＝x，∴BC=B∵CD=2∴CD＝2x，∴FD＝CF+CD＝3x，∴FD＝BF，由條件可知∠FDB＝45°，∵過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E，即BD⊥DE，∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠BDE﹣∠FDB＝45°，過點E作EG⊥CD，交CD于點G，∴∠GED＝∠CDE＝45°，∴GD＝GE，設(shè)GD＝GE＝y(tǒng)，∴CG＝CD﹣GD＝2x﹣y，∵∠CGE＝∠CFB＝90°，∠GCE＝∠FCB，∴△CGE∽△CFB，∴GEBF∴y3x∴y=3x∴CG=2x?y=x∴CE=10∴CEBC故選：D．12．B【解答】解：如圖，取格點E，連接AD，設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理得：BD=12+12=∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，tan∠DAB=DB在Rt△CDE中，tan∠CDE=CE∴∠DAB＝∠CDE，∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∴∠AOC＝∠CDE+∠ADC＝∠ADE＝45°，故選：B．二、填空題13．2?1【解答】解：2sin45°﹣2cos60°=2×2=2故答案為：2?114．12【解答】解：由條件可知α＝30°，∴cos(90°?α)=cos(90°?30°)=cos60°=1故答案為：1215．2：【解答】解：由題意可得：32＝12+L2，9＝1+L2，L2＝8，L=8坡度i=h：故答案為：2：16．25【解答】解：如圖，過A作AH⊥x軸于H，∵A（2，4），∴AH＝4，OH＝2，∴OA=AH2∴sinα=AH故答案為：2517．2?1【解答】解：設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD=2∴tan22.5°=AD故答案為：2?118．3+1【解答】解：由等邊三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN，∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°，如圖，以CD為邊向右作等邊△CDE，連接EN，則∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1，∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN，又∵CM＝CN，∴△MCD≌△NCE（SAS），∴∠NEC＝∠MDC＝90°，∴點N在射線EN上運動，如圖，過B作BN′⊥EN于N′，由垂線段最短可知，此時BN最小，最小值為BN′的長，延長BC交NE延長線于F，∴CE∥BN′，∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°，∴CF=CE∴BF=BC+CF=2+2∴BN′=BFcos∠FBN′=(2+2故答案為：3+1三、解答題19．解：（1）原式==1=?5（2）原式==3=1?320．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴c＝2b，∵b+c＝24，∴3b＝24，∴b＝8，∴c＝16，∴a＝8321．解：（1）∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD．∵∠BDC＝∠A+∠ABD．＝30°，∴∠A＝15°．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝30°，BC＝a，∴BD＝AD＝2a，CD=3a∴AC＝AD+CD＝2a+3a∴tanA=BCAC=（2）在Rt△ABC中，∵AC＝2a+3a，BC＝a∴AB=AC2+BC2=22+3a=2∵AD＝BD，DE⊥AB，∴AE=12AB=12（由（1）知，tanA＝2?3∵tanA=ED∴ED＝tanA?AE＝（2?3）?12（6=6?22．解：（1）根據(jù)題意可得∠ABC＝ABE+∠CBE＝∠FAB+∠MBC＝15°+45°＝60°，∠BCA＝∠MBC＝45°，AB＝4km，如圖，過點A作AH⊥BC，∴BH=2km，AH=AB?sin60°=4×3∴CH=AH=23∴AC=C（2）如圖，過點D作DG⊥AC交AC的延長線于點G，則∠CDG＝30°，∠DAG＝90°﹣60°＝30°，∴CD=2CG，DG=3∴26解得：DG=32∴AD=2DG=62根據(jù)（1）可得BC=BH+CH=(2+23∴小明步行時間=AB+BC小藍步行時間=AD+CD2.8h＞2.5h，∴小藍先到．23．解：（1）連接OC，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠1，∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1，∵OC是⊙O的半徑，CF切⊙O于C，∴OC⊥CF，∵DB⊥CF，∴OC∥DB，∴∠ABD＝∠2，∴∠ABD＝2∠CAB；（2）∵∠ACD，∠ABD為AD所對圓周角，∴∠ACD＝∠ABD，∴tan∠EBF=tan∠ABD=tan∠ACD=4連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴tan∠ABD=AD∴AD=4∴AB=A∴OB＝OC＝3，∵tan∠EBF=tan∠ACD=4∴設(shè)EF＝4x，BE＝3x，則BF＝5x，∵BE⊥CF，OC⊥CF，∴OC∥BE，∴△BEF～△OCF，∴BEOC∴3x33x（3+5x）＝3×5x，9x+15x2＝15x，﹣6x+15x2＝0，∴x=2∴BF＝5x＝2．24．解：（1）∵在坡角點B處時，電子眼的俯角為53°，∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°，∵∠PQB＝90°，∴∠PBQ＝53°，∵PQBQ=tan∠∴BQ=PQ答：路段BQ的長約為12米；（2）如圖，過點A作AC⊥BQ于點C，AD⊥PQ于點D，則四邊形ACQD是矩形，∴AD＝CQ，DQ＝AC，∵