培優(yōu)專題04概率與統(tǒng)計(jì)題型1非線性回歸一、非線性回歸模型解答非線性擬合問題，要先依據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將生疏的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們生疏的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后依據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)猜測(cè)，留意計(jì)算要細(xì)心，避開計(jì)算錯(cuò)誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定爭(zhēng)辯對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀看它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由閱歷確定非線性回歸方程的類型（如我們觀看到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）依據(jù)公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有特別．若存在特別，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．一、解答題1．（24-25高三上·四川眉山·階段練習(xí)）臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，方案加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬(wàn)元）和年銷售量（單位：百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：444.81040.31.61219.58.06現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).(1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?(2)依據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并猜測(cè)年廣告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少?2．（23-24高三下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)期望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，依據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）和增加收益（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)對(duì)增加收益的影響，通過對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①，②．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．依據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)的回歸模型，并猜測(cè)時(shí)的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估量以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．3．（23-24高三下·河南南陽(yáng)·期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發(fā)投入方案，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額，該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).經(jīng)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令，計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

2066770200144604.2031250000.30821500(1)設(shè)變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)與相關(guān)性較強(qiáng)的模型.(2)（i）依據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的閱歷回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，猜測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量.附：；樣本相關(guān)系數(shù)；閱歷回歸方程，其中.4．（2025·山東日照·二模）某公司為考核員工，接受某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成果以確定員工績(jī)效等級(jí)．(1)已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：(2)該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成果（滿分100分）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94依據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步推斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計(jì)算得，（?。┮阎巢块T測(cè)試的平均成果為60分，估量其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；（ⅱ）依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成果，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經(jīng)計(jì)算，求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：①?。诰€性回歸方程中，，．③若隨機(jī)變量，則，，．5．（23-24高三下·山西長(zhǎng)治·期中）蝗蟲能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)峻損害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）和平均溫度（單位：）有關(guān)，依據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，發(fā)覺兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①與模型②作為平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度的回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.平均溫度21232527293235平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè)59222565118324441529625729841102412251.612.203.093.224.174.775.7827.43773.4381.143.5520.030.370.290.0052其中.(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出模型①，請(qǐng)建立模型②下關(guān)于的回歸方程；并在兩個(gè)模型下分別估量溫度為時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)；（與估量值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：）(2)模型①，②的打算系數(shù)分別為，請(qǐng)依據(jù)打算系數(shù)推斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；(3)依據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲會(huì)對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)峻損害，需要人工防治，其他狀況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為，該地今后年恰好需要2次人工防治的概率為.①求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；②當(dāng)取最大值時(shí)，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為，求的均值和方差.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估量分別為：.題型2殘差與打算系數(shù)1、殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過回歸方程得到的稱為猜測(cè)值，觀測(cè)值減去猜測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估量結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以推斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及推斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，假如殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）打算系數(shù)用打算系數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．一、解答題1．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）近年來(lái)，政府相關(guān)部門引導(dǎo)鄉(xiāng)村進(jìn)展旅游業(yè)的同時(shí)，鼓舞農(nóng)戶建設(shè)溫室大棚種植高品質(zhì)農(nóng)作物.為了解某農(nóng)作物的大棚種植面積對(duì)種植管理成本的影響，甲?乙兩名同學(xué)一起收集了6家農(nóng)戶的數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，得到兩個(gè)回歸模型：模型①；模型②.對(duì)以上兩個(gè)回歸方程進(jìn)行殘差分析，得到下表：種植面積畝234579每畝種植管理成本/百元252421221614模型①估量值25.2723.6221.9717.0213.72殘差0.380.28模型②估量值26.8420.1718.8317.3116.46殘差0.833.17注：表中.(1)將以上表格補(bǔ)充完整，推斷哪個(gè)模型擬合效果更好，并簡(jiǎn)要說明理由；(2)視殘差的確定值超過1.5的數(shù)據(jù)為特別數(shù)據(jù)，針對(duì)（1）中擬合效果較好的模型，剔除特別數(shù)據(jù)后，重新求其閱歷回歸方程.參考公式：.2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）一年一度的“雙11”促銷活動(dòng)落下帷幕，各大電商平臺(tái)發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，在消費(fèi)品以舊換新、家電政府補(bǔ)貼等促消費(fèi)政策和活動(dòng)的帶動(dòng)下，消費(fèi)市場(chǎng)潛能加速釋放，帶動(dòng)相關(guān)商品銷售保持增長(zhǎng).經(jīng)過調(diào)研，得到2019年到2025年“雙11”活動(dòng)當(dāng)天某電商平臺(tái)線上日銷售額（單位:百億元）與年份（第年）的6組數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的取值依次為），對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下散點(diǎn)圖（圖1）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中.48.73.59112041.19.4388.1分別用兩種模型：①；②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖（圖2）（殘差值真實(shí)值猜測(cè)值）.(1)依據(jù)題中信息，通過殘差圖比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型進(jìn)行擬合？請(qǐng)說明理由；(2)依據(jù)（1）中所選模型，（i）求出關(guān)于的閱歷回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；（ⅱ）若該電商平臺(tái)每年活動(dòng)當(dāng)天線上日銷售額與當(dāng)日營(yíng)銷成本及年份存在線性關(guān)系:，則在第幾年活動(dòng)當(dāng)日營(yíng)銷成本的猜測(cè)值最大?參考公式:；參考數(shù)據(jù):.3．（24-25高三上·福建泉州·階段練習(xí)）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與肯定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：溫度212324272932產(chǎn)卵數(shù)個(gè)61120275777經(jīng)計(jì)算得：線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫差和產(chǎn)卵數(shù)，.(1)若用線性回歸方程，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1）；(2)若用非線性回歸模型求得關(guān)于回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)0.9522.（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.（ii）用擬合效果好的模型猜測(cè)溫度為時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估量為；相關(guān)指數(shù).4．（23-24高三下·河北滄州·期中）2025年全國(guó)競(jìng)走大獎(jiǎng)賽（第1站）暨世錦賽及亞運(yùn)會(huì)選拔賽3月4日在安徽黃山開賽．重慶隊(duì)的賀相紅以2小時(shí)22分55秒的成果打破男子35公里競(jìng)走亞洲紀(jì)錄．某田徑協(xié)會(huì)組織開展競(jìng)走的步長(zhǎng)和步頻之間的關(guān)系的課題爭(zhēng)辯，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長(zhǎng)（單位：）909599103117(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長(zhǎng)近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程猜測(cè)，當(dāng)步長(zhǎng)為時(shí)，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測(cè)值，為猜測(cè)值，為對(duì)應(yīng)的殘差，求（1）中步長(zhǎng)的殘差的和，并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．題型3二項(xiàng)分布概率最大問題一、二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示大事發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中大事發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么大事恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中其次行恰好是二項(xiàng)式開放式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量聽從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)覺，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的大事是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：大事要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中大事發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一大事發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．一、解答題1．（24-25高三上·甘肅酒泉·期末）在2025年“五四青年節(jié)”，某校舉辦了有關(guān)五四運(yùn)動(dòng)的學(xué)問競(jìng)賽活動(dòng)，為了調(diào)查同學(xué)對(duì)本次活動(dòng)的滿足度，從該校同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為（）的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：滿足不滿足合計(jì)男生女生合計(jì)(1)完成上面的列聯(lián)表，若有不少于的把握認(rèn)為“性別與滿足度有關(guān)系”，求樣本容量的最小值；(2)本次學(xué)問競(jìng)賽的晉級(jí)環(huán)節(jié)設(shè)置3道必答題目，至少答對(duì)2道題目則晉級(jí)，否則被淘汰．某班級(jí)有20名同學(xué)進(jìn)入晉級(jí)環(huán)節(jié)，依據(jù)統(tǒng)計(jì)，每人對(duì)這3道題目答對(duì)的概率分別為，且3道題目答對(duì)與否互不影響．①設(shè)表示這20人中晉級(jí)的人數(shù)，求；②記這20人中（）人晉級(jí)的概率為，求取得最大值時(shí)的取值．附：，其中．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.8282．（24-25高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）某單位在“全民健身日”進(jìn)行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃玩耍.玩耍的規(guī)章如下:每局玩耍需投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，該局得3分，否則得1分.已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在一局玩耍中投籃命中次數(shù)的分布列與期望；(2)若參與者連續(xù)玩局投籃玩耍獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2，即可獲得一份大獎(jiǎng).現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)當(dāng)如何選擇?請(qǐng)說明理由.3．（2025·山東聊城·模擬猜測(cè)）2025年2月27日，電動(dòng)垂直起降航空器eVTOL“盛世龍”成功飛越深圳至珠海的航線，實(shí)現(xiàn)了“飛行汽車”的首飛，打開了將來(lái)城際通勤的巨大想象空間.某市教育局為了培育同學(xué)的科技創(chuàng)新素養(yǎng)，在全市高三、高三班級(jí)舉辦了一次科技學(xué)問競(jìng)賽，兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)人數(shù)基本相同.已知高三班級(jí)同學(xué)成果的優(yōu)秀率為0.24（優(yōu)秀：競(jìng)賽成果，單位：分），現(xiàn)從高三班級(jí)隨機(jī)抽取100名同學(xué)的競(jìng)賽成果，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從高三班級(jí)競(jìng)賽分?jǐn)?shù)在中的同學(xué)中，接受分層抽樣的方法抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人，記成果優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以樣本的頻率估量概率，從參與競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取1人，求這名同學(xué)競(jìng)賽成果優(yōu)秀的概率；(3)若從參與競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取人，求為何值時(shí)，競(jìng)賽成果優(yōu)秀的人數(shù)為8的概率最大.4．（2025·山東·模擬猜測(cè)）已知兩個(gè)不透亮?????的袋子中均裝有若干個(gè)大小，質(zhì)地完全相同的紅球和白球，從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從袋中摸出一個(gè)紅球的概率是．在每輪中，甲同學(xué)先選擇一個(gè)袋子摸一次球并放回，乙再選擇一個(gè)袋子摸一次球并放回，則該輪結(jié)束．已知在每輪中甲選兩袋的概率均為．假如甲選袋，則乙選袋的概率為；假如甲選袋，則乙選的概率為．(1)若，求在一輪中乙從袋中摸出紅球的概率；(2)求在一輪中乙摸出紅球的概率；(3)若甲，乙兩位同學(xué)進(jìn)行了3輪摸球．乙同學(xué)認(rèn)為，越大，3輪摸球后他摸出2個(gè)紅球的概率越大，你同意他的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)多選題6分制的模式轉(zhuǎn)變了傳統(tǒng)的多選題賦分模式，每題具有多個(gè)正確答案，答對(duì)全部正確選項(xiàng)得滿分，答對(duì)部分選項(xiàng)也可得分，強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)問點(diǎn)理解和全面把握的要求．在某次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中，第11題（6分制多選題）得分的同學(xué)有100人，其中的同學(xué)得部分分，的同學(xué)得滿分，若給每位得部分分的同學(xué)贈(zèng)送1個(gè)書簽，得滿分的同學(xué)贈(zèng)送2個(gè)書簽．假設(shè)每個(gè)同學(xué)在第11題得分狀況相互獨(dú)立．(1)從第11題得分的100名同學(xué)中隨機(jī)抽取4人，記這4人得到書簽的總數(shù)為個(gè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從第11題得分的100名同學(xué)中隨機(jī)抽取人，記這人得到書簽的總數(shù)為個(gè)的概率為，求的值；(3)已知王老師班有20名同學(xué)在第11題有得分，若以需要贈(zèng)送書簽總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問王老師應(yīng)當(dāng)提前預(yù)備多少個(gè)書簽比較合理？題型4競(jìng)賽、下棋、玩耍問題中的分布列1、多人競(jìng)賽或者傳球模型，一般狀況下涉及到獨(dú)立大事與互斥大事的識(shí)別，及概率運(yùn)算，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，假如符合常見的二項(xiàng)分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進(jìn)行運(yùn)算。假如限制條件較多，可以進(jìn)行排列方式進(jìn)行分類爭(zhēng)辯計(jì)算2、競(jìng)賽模式，要考慮以下可能狀況：（1）競(jìng)賽幾局？（2）“誰(shuí)贏了”；（3）有沒有平局（4）贏了的必贏最終一局；（5）競(jìng)賽為啥結(jié)束？一、解答題1．（23-24高三下·河南新鄉(xiāng)·期中）甲、乙兩位圍棋選手進(jìn)行圍棋競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)章如下：競(jìng)賽實(shí)行三局兩勝制（假定沒有平局），任何一方領(lǐng)先贏下兩局競(jìng)賽時(shí)，競(jìng)賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通過抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從其次局開頭，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知甲下黑棋獲勝的概率為，下白棋獲勝的概率為，每位選手按有利于自己的方式選棋.(1)求甲選手以2:1獲勝的概率；(2)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，記這兩人下圍棋的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望.2．（2025·山東煙臺(tái)·一模）為加強(qiáng)中學(xué)?？茖W(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局?jǐn)M于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中學(xué)校機(jī)器人挑戰(zhàn)賽.競(jìng)賽共設(shè)置穿越障礙、搬運(yùn)物品兩個(gè)項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)先挑戰(zhàn)穿越障礙項(xiàng)目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必需挑戰(zhàn)搬運(yùn)物品項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)每個(gè)項(xiàng)目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎(jiǎng)金2000元，該項(xiàng)目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必需其次次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目，若其次次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎(jiǎng)金1000元，否則，不獲得獎(jiǎng)金.假設(shè)甲參賽隊(duì)在每個(gè)項(xiàng)目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但其次次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目成功的概率為；兩個(gè)項(xiàng)目是否挑戰(zhàn)成功相互獨(dú)立.(1)設(shè)大事“甲參賽隊(duì)兩個(gè)項(xiàng)目均挑戰(zhàn)成功”，求；(2)設(shè)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；(3)假設(shè)本屆競(jìng)賽共有36支參賽隊(duì)，且依據(jù)往屆競(jìng)賽成果，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)近似為各參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)的平均水平.某贊助商方案供應(yīng)全部獎(jiǎng)金，試估量其需供應(yīng)的獎(jiǎng)金總額.3．（2025·遼寧·模擬猜測(cè)）某商場(chǎng)開業(yè)期間為鼓舞顧客消費(fèi)，樂觀為顧客辦理睬員卡，辦理了會(huì)員卡的顧客購(gòu)物時(shí)能享受肯定的優(yōu)待．為統(tǒng)計(jì)顧客辦理睬員卡的狀況，商場(chǎng)接受隨機(jī)抽樣的方法統(tǒng)計(jì)了200名開業(yè)當(dāng)天的顧客的辦卡狀況，得到如下列聯(lián)表：性別辦理睬員卡未辦理睬員卡合計(jì)男1585100女2575100合計(jì)40160200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為辦理睬員卡與顧客的性別有關(guān)？(2)該商場(chǎng)給持有會(huì)員卡的顧客設(shè)置了“石頭、剪刀、布”玩耍環(huán)節(jié)，玩耍中每名顧客勝、負(fù)、平的概率均為，商場(chǎng)依據(jù)玩耍結(jié)果設(shè)置了兩種嘉獎(jiǎng)方案，持卡會(huì)員只能自主選擇其中一種方案參與玩耍，且只能參與一次玩耍．方案一：兩名持有會(huì)員卡的顧客間進(jìn)行一次玩耍對(duì)決，每局競(jìng)賽中勝者積1分，敗者積0分，消滅平局時(shí)雙方各積1分，消滅連勝2局時(shí)，勝者額外嘉獎(jiǎng)1分，先積滿3分者獲勝，競(jìng)賽結(jié)束，勝者嘉獎(jiǎng)100元，敗者無(wú)嘉獎(jiǎng)；三局競(jìng)賽后，沒有人積夠3分或同時(shí)積夠3分，競(jìng)賽結(jié)束，玩耍雙方平分100元嘉獎(jiǎng)．方案二：兩名持有會(huì)員卡的顧客間進(jìn)行一次玩耍對(duì)決，一局競(jìng)賽中勝者嘉獎(jiǎng)50元，敗者無(wú)嘉獎(jiǎng)，若消滅平局，雙方均無(wú)嘉獎(jiǎng)．競(jìng)賽共進(jìn)行三局，當(dāng)消滅連勝2局，但未消滅連勝3局時(shí)，勝者額外嘉獎(jiǎng)20元；當(dāng)消滅連勝3局時(shí)，勝者額外嘉獎(jiǎng)50元．（?。╊櫩托±顓⑴c了方案一的玩耍，求在小李獲勝的狀況下，競(jìng)賽消滅一局平局的概率；（ⅱ）從節(jié)省資金的角度考慮，商場(chǎng)期望持有會(huì)員卡的顧客選擇哪種嘉獎(jiǎng)方案．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.8794．（2025·江西新余·模擬猜測(cè)）小郅與小宏同學(xué)玩一個(gè)玩耍，他們每人面前都有一個(gè)不透光的盒子，盒子中均分別裝有標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球各1個(gè)，玩耍開頭時(shí)先各自隨機(jī)從盒中取出一個(gè)球，相互交換放入盒中，再晃勻后各自從盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，球上數(shù)字較大者獲勝.(1)設(shè)開頭時(shí)小郅與小宏取出球的序號(hào)分別為，，求分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若開頭時(shí)小郅取球編號(hào)為2，求小宏最終獲勝的概率；(3)若開頭時(shí)小郅、小宏取球編號(hào)分別為3、2，求在小宏獲勝的條件下，小郅其次次取球編號(hào)為2的概率.5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某商場(chǎng)為了促進(jìn)消費(fèi)，對(duì)于消費(fèi)滿200元以上的顧客，將有參與玩耍并贏得獎(jiǎng)品的機(jī)會(huì)．商場(chǎng)預(yù)備了兩個(gè)玩耍，顧客可以自主選擇參與其中的一個(gè)玩耍．玩耍一：顧客隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子消滅6點(diǎn)，則稱拋擲成功，當(dāng)恰好消滅1次拋擲成功時(shí)，玩耍結(jié)束，顧客贏得獎(jiǎng)品，否則連續(xù)，每位顧客最多可以拋擲3次．玩耍二：顧客隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子消滅3點(diǎn)或6點(diǎn)，則稱拋擲成功，當(dāng)恰好消滅2次拋擲成功時(shí)，玩耍結(jié)束，顧客贏得獎(jiǎng)品，否則連續(xù)，每位顧客最多可以拋擲次．(1)若某位顧客選擇參與玩耍一，求該顧客贏得獎(jiǎng)品的概率；(2)若某位顧客選擇參與玩耍二，求該顧客贏得獎(jiǎng)品的概率；(3)若顧客選擇參與玩耍二贏得獎(jiǎng)品的概率不小于參與玩耍一贏得獎(jiǎng)品的概率，求的最小值．6．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）育才中學(xué)為普及法治理論學(xué)問，舉辦了一次法治理論學(xué)問闖關(guān)競(jìng)賽．競(jìng)賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，按挨次依次闖關(guān)，無(wú)論成敗，每位隊(duì)員只闖關(guān)一次．假如某位隊(duì)員闖關(guān)失敗，則由該隊(duì)下一隊(duì)員連續(xù)闖關(guān)，假如該隊(duì)員闖關(guān)成功，則視作該隊(duì)獲勝，余下的隊(duì)員無(wú)需連續(xù)闖關(guān)；若三位隊(duì)員闖關(guān)均不成功，則視為該隊(duì)競(jìng)賽失?。?jìng)賽結(jié)束后，依據(jù)積分獵取排名，每支獲勝的隊(duì)伍積分Y與派出的闖關(guān)人數(shù)X的關(guān)系如下：，競(jìng)賽失敗的隊(duì)伍則積分為0．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，且每人能否闖關(guān)成功互不影響．(1)已知，，，（i）若按甲、乙、丙的挨次依次參賽，求該隊(duì)競(jìng)賽結(jié)束后所獲積分的期望；（ii）若第一次闖關(guān)從三人中隨機(jī)抽取，求該隊(duì)競(jìng)賽結(jié)束后所獲積分的概率．(2)若甲只能支配在其次位次參賽，且，要使該隊(duì)競(jìng)賽結(jié)束后所獲積分的期望最大，試確定乙、丙的參賽挨次，并說明理由．題型5條件概率、全概率、貝葉斯公式一、條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)大事，且，我們稱為在大事發(fā)生的條件下，大事發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．二、條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)大事與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）假如和是兩個(gè)互斥大事，則；三、全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的大事,,且，,則對(duì)任意的大事,有,我們稱此公式為全概率公式.四、貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的大事,,且，，則對(duì)任意的大事,，有，.一、解答題1．（2025·河北保定·模擬猜測(cè)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)抽題箱，兩抽題箱內(nèi)放有大小、質(zhì)量、顏色均相同的小球，且小球內(nèi)放有題目.已知甲箱內(nèi)有4個(gè)A類題目的小球，5個(gè)B類題目的小球，3個(gè)C類題目的小球；乙箱內(nèi)有2個(gè)A類題目的小球，2個(gè)B類題目的小球，6個(gè)C類題目的小球.(1)從甲箱、乙箱內(nèi)各隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記表示抽取的小球內(nèi)放有B類題目的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)先從甲箱內(nèi)抽取一個(gè)小球放入乙箱內(nèi)，再?gòu)囊蚁鋬?nèi)抽取一個(gè)小球，求這個(gè)小球內(nèi)放有A類題目的概率.2．（2025·廣西南寧·一模）有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.(1)先等可能地選擇一個(gè)盒子，再?gòu)慕窈兄忻?個(gè)球．若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率；(2)假如從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個(gè)球的得分之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.3．（2025·黑龍江·一模）第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在哈爾濱圓滿落下帷幕．在這場(chǎng)盛大的亞洲冰雪盛會(huì)中，獎(jiǎng)牌榜見證了各國(guó)運(yùn)動(dòng)員的榮耀與拼搏．中國(guó)隊(duì)以32金27銀26銅，總計(jì)85枚獎(jiǎng)牌的傲人成果，強(qiáng)勢(shì)登頂獎(jiǎng)牌榜，成為最大贏家．這一成果不僅制造了中國(guó)隊(duì)亞冬會(huì)歷史最佳，更是追平了單屆金牌數(shù)紀(jì)錄，書寫了中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的嶄新篇章．冰球深受寬敞球迷的寵愛，每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支冰球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某階段全部競(jìng)賽中，甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝敗狀況如表：甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝敗狀況合計(jì)勝負(fù)上場(chǎng)3845未上場(chǎng)3合計(jì)40(1)完成列聯(lián)表，并推斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝敗與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān)聯(lián)？(2)由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，依據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.9，0.5．（?。┊?dāng)甲球員上場(chǎng)參與競(jìng)賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；

（ⅱ）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參與競(jìng)賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)競(jìng)賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率．附：．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.7415.0246.63510.7284．（24-25高三下·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）生物工程科研小組為爭(zhēng)辯某顯性基因與患疾病之間的關(guān)系，從某地區(qū)基因信息庫(kù)中隨機(jī)抽取了2000份，得到如下數(shù)據(jù)：患疾病不患疾病合計(jì)攜帶顯性基因100200300不攜帶顯性基因44012601700合計(jì)54014602000(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為患有疾病與攜帶顯性基因有關(guān)？請(qǐng)說明理由；(2)用頻率估量概率，在全部參與調(diào)查者中按是否攜帶顯性基因進(jìn)行分層抽樣，并隨機(jī)抽取了20份基因樣本，再?gòu)倪@20份樣本中隨機(jī)抽取2份樣本進(jìn)行家族患病史分析，記2份基因樣本中來(lái)自于攜帶顯性基因且患疾病的份數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0．1000．0500．0250．0100．0050．0012．7063．8415．0246．6357．87910．8285．（2025·河北保定·一模）某商場(chǎng)進(jìn)行周年慶大型促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特殊推出“玩玩耍，送禮券”的活動(dòng)，活動(dòng)期間在商場(chǎng)消費(fèi)達(dá)到肯定金額的人可以參與玩耍.玩耍規(guī)章如下：在一個(gè)盒子里放著6個(gè)大小相同的小正方體，其中有3個(gè)A類小正方體，4個(gè)面印著奇數(shù)，2個(gè)面印著偶數(shù)；有2個(gè)B類小正方體，6個(gè)面都印著奇數(shù)；1個(gè)C類小正方體，6個(gè)面都印著偶數(shù).玩耍者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一個(gè)小正方體并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是奇數(shù)，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，否則玩耍結(jié)束，不獲得任何禮券.最終挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)是進(jìn)行第三次投擲，有兩個(gè)方案可供選擇，方案一：連續(xù)投擲之前抽取的那枚小正方體，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得200元禮券；方案二：不使用之前抽取的小正方體，從盒子中剩余的5個(gè)小正方體里再次隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行投擲，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得300元禮券，不管選擇方案一還是方案二?若投擲后向上的面為偶數(shù)，則獲得100元禮券，(1)求第一次投擲后向上的面為奇數(shù)的概率；(2)若某位顧客抽取一個(gè)小正方體后連續(xù)投擲兩次，向上的面均為奇數(shù)，求該小正方體是A類小正方體的概率；(3)在某位顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，試分別計(jì)算他選擇兩種投擲方案最終獲得的禮券金額的數(shù)學(xué)期望，并以此推斷選擇哪種投擲方案更合適.題型6概率中的決策性問題決策問題的解決策略：決策的工具是有關(guān)概率，決策方案的最佳選擇是將概率最大（最小）作為最佳方案，可能需要借助函數(shù)的性質(zhì)去實(shí)現(xiàn)。一、解答題1．（2025·新疆·二模）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式把圖案設(shè)計(jì)和制作添加在編織物上的一種藝術(shù)，大致分為三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序，工序，工序．經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，．現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過三道工序最終的嘉獎(jiǎng)金額是200元，為了更好地激發(fā)參與者的愛好，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在活動(dòng)開頭前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序，技術(shù)員只完成其中一道工序，且只能聘請(qǐng)一位技術(shù)員，需另付聘請(qǐng)費(fèi)用100元，若制作完成后沒有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用．(1)求小李獨(dú)立成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，且接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)，求他成功完成三道工序的概率；(3)為了使小李獲得收益的期望值更大，請(qǐng)問小李是否需要聘請(qǐng)一位技術(shù)員？請(qǐng)說明理由．2．（24-25高三上·山東濰坊·期末）甲、乙兩位同學(xué)參與學(xué)問答題競(jìng)賽，得分高者獲勝．已知共20道試題，甲能答對(duì)其中的15道題，乙答對(duì)每道題的概率為，每答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)不扣分．兩人協(xié)商后商定：甲隨機(jī)選擇其中的3道題作答；乙依次作答，且每答對(duì)一題連續(xù)答下一題，題目答錯(cuò)或者答完則結(jié)束答題．設(shè)甲答題總得分為，乙答題總得分為．(1)求甲答題總得分的概率；(2)求乙答題總得分的期望，并從期望角度說明甲、乙誰(shuí)勝出？（參考數(shù)據(jù)：）3．（24-25高三上·云南德宏·期末）為更好的發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考數(shù)學(xué)試卷接受了多選題這一題型．教育部考試中心通過科學(xué)測(cè)量分析，指出該題型擴(kuò)大了試卷考點(diǎn)的掩蓋面，有利于提高試卷的區(qū)分度，也有利于提高同學(xué)的得分率．多選題評(píng)分規(guī)章如下：對(duì)于多選題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，滿分6分．全部選對(duì)得6分，有錯(cuò)選或全不選得0分，正確答案為兩項(xiàng)時(shí)，選對(duì)1個(gè)得3分；正確答案為三項(xiàng)時(shí)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分．多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為p，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）．(1)在一次模擬考試中，同學(xué)甲對(duì)某個(gè)多選題完全不會(huì)，打算隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，若，求同學(xué)甲該題得2分的概率；(2)針對(duì)某道多選題，同學(xué)甲完全不會(huì)，此時(shí)他有三種答題方案：Ⅰ：隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；

Ⅱ：隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；

Ⅲ：隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)．（i）若，且同學(xué)甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；（ii）以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案Ⅰ最好?4．（24-25高三上·山西運(yùn)城·期末）新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，由于正確選項(xiàng)有4個(gè)的概率極低，可視作0，因此我們可以認(rèn)為多項(xiàng)選擇題至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多有3個(gè)正確選項(xiàng).多項(xiàng)選擇題題目要求：“在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.”其中“部分選對(duì)的得部分分”是指：若正確答案有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分；若正確答案有3個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分.(1)已知某道多選題的正確答案是BD，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少1個(gè)選項(xiàng)，至多3個(gè)選項(xiàng)，且每種選擇是等可能的.請(qǐng)依據(jù)已知材料，分析該生可能的得分狀況與所得分值的相應(yīng)概率，并求該生得分的期望(2)已知某道多選題的正確答案是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率相等，一考生只能推斷出A選項(xiàng)是正確的，其他選項(xiàng)均不能推斷正誤，試列舉出該生全部可能的符合實(shí)際的答題方案，并以各方案得分的期望作為推斷依據(jù)，幫該考生選出最優(yōu)方案.5．（23-24高三上·山東日照·期末）普法宣揚(yáng)教育是依法治國(guó)、建設(shè)法治社會(huì)的重要內(nèi)容，也是構(gòu)建社會(huì)主義和諧社會(huì)的應(yīng)有之意．為加強(qiáng)對(duì)同學(xué)的普法教育，某校將舉辦一次普法學(xué)問競(jìng)賽，共進(jìn)行5輪競(jìng)賽，每輪競(jìng)賽結(jié)果互不影響．競(jìng)賽規(guī)章如下：題庫(kù)中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪競(jìng)賽中，參賽者在30分鐘內(nèi)完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優(yōu)勝獎(jiǎng)”，5輪競(jìng)賽中，至少獲得4次“優(yōu)勝獎(jiǎng)”的同學(xué)將進(jìn)入決賽．甲同學(xué)經(jīng)受多次限時(shí)模擬訓(xùn)練，指導(dǎo)老師從訓(xùn)練題庫(kù)中隨機(jī)抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．(1)從這10道題目中，隨機(jī)抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學(xué)在一輪競(jìng)賽中獲“優(yōu)勝獎(jiǎng)”的概率；(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學(xué)的參賽成果，指導(dǎo)老師對(duì)該同學(xué)進(jìn)行賽前強(qiáng)化訓(xùn)練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優(yōu)勝獎(jiǎng)”的次數(shù)期望為參考，試猜測(cè)該同學(xué)能否進(jìn)入決賽．6．（23-24高三下·湖北武漢·期末）某疫苗生產(chǎn)單位通過驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體狀況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無(wú)抗體，說明這份血液樣本全無(wú)抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，接受逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)取其中份血液樣本，記接受逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；接受混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗(yàn)總次數(shù)的期望為依據(jù)，爭(zhēng)辯接受何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：，，，，．題型7概率結(jié)合導(dǎo)數(shù)一、解答題1．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次與甲、乙、丙三位棋手各競(jìng)賽一盤，各盤競(jìng)賽的結(jié)果相互獨(dú)立．該棋手與甲、乙、丙競(jìng)賽獲勝的概率分別為，，，該棋手恰好勝兩盤且兩盤相連的概率為p．(1)若，，，求p；(2)若，，求p取最大值時(shí)的值．2．（2025·福建·模擬猜測(cè)）為慶祝“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，某校舉辦“五一”文藝匯演活動(dòng)，本次匯演共有40個(gè)參賽節(jié)目，經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)評(píng)委評(píng)分，分成六組：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，第六組，得到如下頻率分布直方圖：(1)估量全部參賽節(jié)目評(píng)分的第85百分位數(shù)（保留1位小數(shù)）；(2)若評(píng)分結(jié)束后只對(duì)全部評(píng)分在區(qū)間的節(jié)目進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)（每個(gè)節(jié)目都能獲獎(jiǎng)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)），其中每個(gè)節(jié)目獲評(píng)為一等獎(jiǎng)的概率為，獲評(píng)為二等獎(jiǎng)的概率為，每個(gè)節(jié)目的評(píng)獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立．（?。┰O(shè)參評(píng)節(jié)目中恰有2個(gè)一等獎(jiǎng)的概率為，求的極大值點(diǎn)；（ⅱ）以（?。┲凶鳛閜的值，若對(duì)這部分評(píng)獎(jiǎng)節(jié)目進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，已知一等獎(jiǎng)節(jié)目獎(jiǎng)金為500元，若要使得總獎(jiǎng)金期望不超過1400元，請(qǐng)估量二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的最大值．3．（23-24高三下·福建三明·期中）醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，假如檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液到底哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為．(1)現(xiàn)有4份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若接受逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率．(2)現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記接受逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，接受混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次為．（i）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，且接受混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，，．4．（24-25高三上·四川自貢·期中）某學(xué)校為豐富同學(xué)活動(dòng)，樂觀開展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局連續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；(2)記甲同學(xué)第i局贏的概率為；（?。┣螅áⅲ┤舸嬖趇，使成立，求整數(shù)k的最小值．5．（2025·湖北襄陽(yáng)·模擬猜測(cè)）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球，并且各箱中是紅球，是白球.(1)當(dāng)時(shí)，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，求2個(gè)球的顏色不同的概率.(2)由概率學(xué)學(xué)問可知，當(dāng)總量足夠多而抽出的個(gè)體足夠少時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布，現(xiàn)從甲箱中不放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率記作；從乙箱中有放回地取3個(gè)小球，恰有2個(gè)白球的概率記作.①求，.②當(dāng)至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布？（參考數(shù)據(jù)：）.題型8概率結(jié)合數(shù)列遞推(馬爾科夫鏈)一、馬爾科夫鏈①基本原理1、轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.2、馬爾可夫鏈：若，即將來(lái)狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無(wú)關(guān).無(wú)記憶性：下一個(gè)狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與更前面的狀態(tài)沒有關(guān)系高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實(shí)很簡(jiǎn)潔，找到初始狀態(tài)和遞推關(guān)系即可3、完備大事組：假如樣本空間中一組大事組符合下列兩個(gè)條件：（1）；（2）.則稱是的一個(gè)完備大事組，也稱是的一個(gè)分割.4、全概率公式：設(shè)是一個(gè)完備大事組，則有5、一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸取壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸取壁時(shí)被吸取，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種狀況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么依據(jù)全概率公式可得：②解題技巧①找到當(dāng)下狀態(tài)下的“前一次大事”的全部可能性②結(jié)合對(duì)應(yīng)概率寫出“前一次”狀態(tài)下全部可能性的數(shù)列遞推關(guān)系（一階遞推數(shù)列或二階遞推數(shù)列）③利用數(shù)列遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式一、解答題1．（24-25高三上·遼寧丹東·期末）某駕校的張教練帶領(lǐng)甲、乙、丙三名學(xué)員進(jìn)行科目三練習(xí)，由于教練車只有一輛，張教練在排隊(duì)系統(tǒng)中設(shè)定：每次甲練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到乙練習(xí)的概率為，每次乙練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到丙練習(xí)的概率為，每次丙練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到乙練習(xí)的概率為，直到這天練習(xí)結(jié)束，一共練習(xí)了n（，）輪，已知練習(xí)從甲開頭.(1)當(dāng)時(shí)，求甲一共參與練習(xí)次數(shù)X的分布列與期望；(2)求第n輪為甲練習(xí)的概率.2．（2025·廣東佛山·一模）ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种校环桨l(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒有觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球．甲、乙兩人進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)章如下：每次由其中一人發(fā)球，若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán)．設(shè)甲，乙發(fā)出ACE球的概率均為，記“第次發(fā)球的人是甲”．(1)證明：；(2)若，，求和．3．（2025·貴州六盤水·模擬猜測(cè)）深圳是一個(gè)沿海城市，擁有大梅沙等多樣的海濱景點(diǎn)，每年夏天都有大量游客來(lái)游玩.為了合理配置旅游資源，文旅部門對(duì)來(lái)大梅沙游玩的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的人選擇只巡游海濱棧道，另外的人選擇既巡游海