搶分專練02立體幾何一、單選題1．（2025·江西南昌·二模）校足球社團(tuán)為學(xué)校足球競賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐的三個(gè)側(cè)面沿AB，BC，AC開放得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個(gè)點(diǎn)在球的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為，且，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖：連接、、，取、、中點(diǎn)、、，連接、、，由已知側(cè)棱長為的正三棱錐，即，又由于，所以，由于平面，，均與平面垂直，設(shè)，，三點(diǎn)所在的圓為圓，底面的中心為，則，又由于獎(jiǎng)杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，由于，所以是邊長為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，則在直角中，，即，解得，所以．故選：C．2．（2025·全國·模擬猜測）在長方體中，，過頂點(diǎn)作平面，使得平面，若平面，則直線l和直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于平面，平面，平面平面，所以，所以即直線l和直線所成角或其補(bǔ)角，在中，，，，由余弦定理得，故直線l和直線所成角的余弦值為．故選：C．3．（2025·全國·模擬猜測）已知中，C為直角，若分別以邊CA，CB，AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體的體積為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，，則由題意得，，，所以，，.故選：A．4．（2025·河北·二模）已知一個(gè)底面內(nèi)口直徑為的圓柱體玻璃杯中盛有高為的水，向該杯中放入一個(gè)半徑為的實(shí)心冰球和一個(gè)半徑為的實(shí)心鋼球，待實(shí)心冰球溶化后實(shí)心鋼球恰好沉沒在水中（實(shí)心鋼球與杯中水面、杯底均相切），若實(shí)心冰球溶化為水前后的體積變化忽視不計(jì)，則實(shí)心鋼球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，實(shí)心冰球溶化前后體積不變，則有，化簡可得：，即，，解得：，所以鋼球的表面積為.故選：D5．（2025·陜西安康·模擬猜測）隨著古代瓷器工藝的高速進(jìn)展，在有名的宋代五大名窯之后，又增加了三種瓷器，與五大名窯并稱為中國八大名瓷，其中最受歡迎的是景德鎮(zhèn)窯．如圖，景德鎮(zhèn)產(chǎn)的青花玲瓏瓷(無蓋)的外形可視為一個(gè)球被兩個(gè)平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可視為球冠(截得的圓面是底，垂直于圓面的直徑被截得的部分是高，其面積公式為，其中為球的半徑，為球冠的高)．已知瓷器的高為，在高為處有最大直徑(外徑)為，則該瓷器的外表面積約為(取3.14)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知：球的半徑為，上球冠的高，下球冠的高，設(shè)下底面圓的半徑為，則，所以該瓷器的外表面積為.故選：C.6．（2025·青?！つM猜測）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．對于空間任意兩點(diǎn)，，若線段上不存在也在線段，上的點(diǎn)，則稱，兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)“可視”的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點(diǎn)，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯(cuò)誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯(cuò)誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.7．（2025·全國·模擬猜測）如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接CE，過Q作，垂足為M，過M作，垂足為N，連接QN，PE，

則，且，點(diǎn)E到BC的距離為.由直三棱柱的性質(zhì)知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，則，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，則，可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，等號成立，所以面積的最大值為.故選：A.8．（2025·北京·模擬猜測）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，是正方體表面上的一點(diǎn)，若，則線段長度的最大值是（

）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】連接，在正方體中，平面，四邊形是正方形，由于平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，由于平面，所以，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段（點(diǎn)除外）時(shí)，，取的中點(diǎn)E，連接，在正方形中，由于E為的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以，由于，且平面，平面，所以平面，又平面，所以，由于，且平面，平面，所以平面，設(shè)平面平面，則，所以，則是棱的中點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)在正方體的表面線段上時(shí)，,由題意可知，在梯形中，，，，，所以線段長度的最大值是.

故選：C9．（2025·甘肅定西·一模）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)，由于在矩形中，，所以，由于底面，所以分別是與底面所成的角，即，所以.由于，所以，解得(負(fù)根舍去)，所以.故選：D.10．（2025·河南信陽·模擬猜測）棱長為1的正方體中，點(diǎn)P為上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，則OP的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得OP的最小值為點(diǎn)到線段的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，，，平面，由于平面，則，由于，故，即.故選：C.11．（2025·北京東城·一模）《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一班級方案實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們預(yù)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全班級共500人，需要預(yù)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由條件可得四片瓦的體積（）所以500名同學(xué)，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為，故選：B.12．（2025·全國·模擬猜測）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面開放圖為一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于底面半徑，所以底面積，底面周長，圓錐母線長，圓錐側(cè)面積，故圓錐的表面積為．故選：C.13．（2025·山東棗莊·一模）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，側(cè)面開放圖是半個(gè)圓環(huán)，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，設(shè)圓臺的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為，依題意有：，解得,所以圓臺的側(cè)面積.故選：B二、多選題14．（2025·河北·二模）一般地，假如一個(gè)四周體存在由同一點(diǎn)動(dòng)身的三條棱兩兩垂直，我們把這種四周體叫做直角四周體，記該點(diǎn)為直角四周體的直角頂點(diǎn)，兩兩垂直的三條棱叫直角四周體的直角棱，任意兩條直角棱確定的面叫直角四周體的直角面，除三個(gè)直角面外的一個(gè)面叫斜面．若一個(gè)直角四周體的三條直角棱長分別為，，，直角頂點(diǎn)到斜面的距離為，其內(nèi)切球的半徑為，三個(gè)直角面的面積分別為，，，三個(gè)直角面與斜面所成的角分別為，，，斜面的面積為，則（

）A．直角頂點(diǎn)在斜面上的射影是斜面的內(nèi)心 B．C． D．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，連接，由于⊥，⊥，且，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，由于⊥平面，平面，所以⊥，由于，平面，所以⊥平面，由于平面，所以⊥，同理可得⊥，⊥，故為的垂心，不肯定為內(nèi)心，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A可知，⊥平面，⊥平面，延長交于點(diǎn)，連接，由于平面，平面，則⊥，⊥，設(shè)，在Rt中，，，故，又，所以，故，設(shè)直角面與斜面所成角分別為，則，同理可得，故，B正確；C選項(xiàng)，明顯，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，綜上，，C正確；D選項(xiàng)，直角四周體的體積，故，，又，，所以，D正確.故選：BCD15．（2025·全國·模擬猜測）已知正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成角為D．直線與平面所成角為【答案】AC【詳解】對于選項(xiàng)A：在正方體中，由于與平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，則∥，所以異面直線與所成的角是，由于是正三角形，所以，故A正確；

對于選項(xiàng)B：由于平面，平面，則．在中，則，所以直線與所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：由于平面即為平面，由，∥，可得，由為正方形可得，由于，平面，可知與平面，所以直線與平面所成角為，故C正確；

對于選項(xiàng)D：由于平面，平面，則，且，，平面，可知與平面，由與平面，可得，同理可得：，且，平面，可得直線平面，設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)O，，所以直線與平面所成的角為，為的余角，則，所以直線與平面所成角不為，故D錯(cuò)誤．

故選：AC．16．（2025·全國·模擬猜測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點(diǎn)的球的表面積為【答案】ABC【詳解】A：如圖，在正方體中，連接．由于N，P分別是的中點(diǎn)，所以．又由于，所以．所以四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，故A正確；B：連接，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，由于，所以．由于平面平面，所以平面，故B正確；C：連接，由于，則，故C正確；D：分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，則經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長方體的外接球．設(shè)所求外接球的直徑為，則長方體的體對角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC17．（2025·全國·模擬猜測）已知球O是正三棱錐的外接球，，點(diǎn)E在線段上，且．過點(diǎn)E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（

）A．π B． C． D．【答案】BCD【詳解】如圖，作平面，是等邊的中心，O是正三棱錐外接球的球心，點(diǎn)在上，連結(jié)，連結(jié)交于點(diǎn)，，設(shè)該球半徑為，則．由可得，在中，,解得，由于，，所以，所以，在中，,所以，設(shè)球心O到過點(diǎn)E的截面圓的距離為d,可知，截面圓半徑，所以截面圓的面積的取值范圍為，故選：BCD．18．（2025·貴州貴陽·一模）如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)．使得B．存在點(diǎn)，使得平面C．三棱錐的體積不是定值D．存在點(diǎn)．使得三、填空題19．（2025·遼寧·二模）如圖，經(jīng)過邊長為1的正方體的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的平面截正方體得到一個(gè)正三角形，將這個(gè)截面上方部分去掉，得到一個(gè)七面體，則這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是．【答案】【詳解】如圖，七面體為正方體截去三棱錐的圖形，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的球最大時(shí)，該球與三個(gè)正方形面和等邊三角形面相切，且球心在體對角線上，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)球心，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則球心到平面的距離為，由于球與三個(gè)正方形面和等邊三角形面相切，所以，解得，所以這個(gè)七面體內(nèi)部能容納的最大的球半徑是.故答案為：.20．（2025·河北邢臺·二模）如圖，四邊形和是兩個(gè)相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個(gè)相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個(gè)無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為．【答案】【詳解】由題意設(shè)，由于面積為，所以，依據(jù)題意有：，所以，則長方體的體積為，，令，有，所以時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：21．（2025·全國·模擬猜測）如圖，在棱長為2的正方體中，已知分別是棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為，若為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為．

【答案】【詳解】如圖1，擴(kuò)展過M,N,P三點(diǎn)的平面，

可知平面與正方體相交的截面即為正六邊形，其邊長為，因此面積為．由上可知，平面，且垂足H為的中點(diǎn)，如圖2，動(dòng)直線是以為軸、直線與直線的夾角為的圓錐的母線，點(diǎn)Q的軌跡為圓錐底面圓．

圖2由于，所以底面圓的半徑，所以點(diǎn)Q的軌跡長度為．故答案為：；22．（2025·全國·模擬猜測）已知A，B，C，D分別為球O的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為E，且，四棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為，此時(shí)．【答案】1【詳解】由于，則平面過球O的球心O．又的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E是以為直徑的球截面的小圓圓心，連接，如圖，則，四邊形為梯形．令球O的半徑為R，設(shè)，則，

四棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)梯形的面積最大，并且點(diǎn)D到平面的距離最大，明顯球面上的點(diǎn)D到平面的最大距離為R．梯形面積，令，，求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，于是四棱錐體積的最大值為，解得，所以球O的表面積為．故答案為：.23．（2025·廣東·二模）將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為.【答案】【詳解】如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，由于在中，,，則，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)A到的距離最大．由于⊥，所以是BC與平面所成的角，則，則，于是，，即A到的最大距離為．故答案為：．四、解答題24．（2025·全國·模擬猜測）如圖，將繞邊旋轉(zhuǎn)得到，其中平面，連結(jié)分別是的中點(diǎn)，平面．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）過點(diǎn)D作，連接．由于，所以平面，由于平面，所以平面平面．又由于，平面，平面平面，所以平面．由于平面，所以，所以平面．由于平面平面平面，同時(shí)，所以平面平面，所以平面．由于平面，平面平面，所以，所以H是中點(diǎn)，所以，所以，所以．（2）如圖，以中點(diǎn)H為原點(diǎn)，為x軸，為z軸，過點(diǎn)H作的平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則取，則，所以，所以與平面所成角的正弦值為．25．（2025·寧夏石嘴山·三模）在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，為棱上的點(diǎn)．

(1)證明：；(2)是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在一點(diǎn)，且為中點(diǎn)，理由見解析【詳解】（1）由于，，所以，又由于直三棱柱中，，又平面，所以平面，又平面，所以，所以、、兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題知，，所以，，，，，設(shè)，且且，即，則，所以，又，所以，所以.（2）存在一點(diǎn)，且為中點(diǎn)，理由如下：由（1）易知，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，所以，由于平面與平面的夾角的余弦值為，所以，即，解得或（舍去），所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，符合題意.26．（2025·山東濟(jì)南·二模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，E為線段PF上一點(diǎn).(1)證明：；(2)當(dāng)EF為何值時(shí)，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.【答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）過作，垂足為，由題意知：為矩形，可得，由，則為等邊三角形，且F為線段BC的中點(diǎn)，則，又由于平面平面ABCD，平面平面，平面，可得平面ABCD，且平面，所以.（2）由（1）可知：平面ABCD，取線段的中點(diǎn)，連接，則∥，，又由于，可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于E為線段PF上一點(diǎn)，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可得：，整理得，解得，所以當(dāng)，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.27．（2025·河北·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2).【詳解】（1）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接.由于分別為的中點(diǎn)，底面是菱形，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）連接，由于是邊長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以.由于底面是菱形且，易知為等邊三角形，所以.易知，所以，所以.由于，所以，所以.所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，得，則，取，則，所以.所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.28．（2025·山東棗莊·一模）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由于平面平面，所以，由于與平面所成的角為平面，所以，且，所以，又為的中點(diǎn)，所以，由于四邊形為正方形，所以，又平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面．（2）由于底面為正方形，為的內(nèi)心，所以在對角線上．如圖，設(shè)正方形的對角線的交點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，又由于，所以．由題意知兩兩垂直，以所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．所以，由（1）知，所以，所以．又由于平面，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則．29