重難點(diǎn)2-5導(dǎo)數(shù)與不等式綜合應(yīng)用三年考情分析2025年考向猜測近三年高考中，本節(jié)內(nèi)容涉及選擇題、填空題和解答題，其中解答題常作為壓軸題消滅，難度較大。常與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等結(jié)合考查．估計(jì)2025年在題型上不會(huì)有大的變動(dòng)。內(nèi)容上重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)爭辯函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，進(jìn)而解決不等式的恒成立、能成立問題．還需多留意雙變量問題、函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題、導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題等．題型1依據(jù)不等式恒成立求參1、利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種方法（1）分別參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分別開，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，爭辯新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類爭辯法：依據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，依據(jù)臨界值作分類爭辯，分別解出滿足題意的參數(shù)范圍最終取并集。2、不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化：（1），（2），．1．（24-25高三上·寧夏銀川·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，得，得，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，故當(dāng)時(shí)，，故，由于，所以，，故，故選：D2．（23-24高三下·江西上饒·考前全真模擬）已知不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A．－ B．1 C．0 D．－1【答案】B【解析】由條件不等式可知，，設(shè)，，則，令，得或，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以或，，所以函數(shù)的最小值為，則，即，所以的最小值為1.故選：B3．（24-25高三上·山東青島·期末）已知，若不等式對任意恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①若，則當(dāng)時(shí)，有，從而原不等式對不成立，不滿足條件；這表明若原不等式恒成立，則必有；②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，下面證明該不等式恒成立：設(shè)，則對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，故.這就意味著，即.從而此時(shí)原不等式恒成立，滿足條件.綜合①②兩個(gè)方面可知，的最大值是.故選：B.4．（23-24高三下·河南焦作·四模）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線與直線平行，求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為，無微小值；(2)【解析】（1）由，可得，由條件可得，即.則，令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值為，無微小值.（2），即對任意的恒成立，即，其中，令，則，即，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，列表如下：+0-增極大值減所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，即時(shí)，恒成立.題型2依據(jù)不等式恒成立求參1、形如有解問題的求解策略（1）構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成馬上可．（2）參數(shù)分別法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求的函數(shù)的單調(diào)性與最值即可．2、單變量不等式能成立問題轉(zhuǎn)化（1），（2），．3、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）函數(shù)，若存在，使有解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若存在，使得有解，即．設(shè)，，則．令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以．故的取值范圍為．故選：A2．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】不等式等價(jià)于，即.令，由可知，在上為增函數(shù)，，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以結(jié)合題意可知，即實(shí)數(shù)的最小值為1.故選：B3．（24-25高三上·吉林長春·月考）已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得：，由于本題中，所以，所以單調(diào)遞減，所以，由得：，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，由于，使得，所以，所以，故選：D.4．（24-25高三上·山東青島·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)【解析】（1）由于函數(shù)，所以，令，則或(舍去).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，又，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故在上的最大值為，最小值為.（2）易知的定義域?yàn)椋什坏仁娇苫癁?記，則原不等式有解可轉(zhuǎn)化為.易得，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型3單變量不等式的證明不等式證明的常用思路1、移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造幫助函數(shù)；2、最值法：若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處與取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”．3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是依據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，依據(jù)相像結(jié)構(gòu)構(gòu)造幫助函數(shù)．1．（24-25高三上·浙江杭州·月考）已知函數(shù).(1)爭辯函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以.2．（24-25高三上·安徽合肥·二調(diào)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求；(2)設(shè)函數(shù)．證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）令,則,由題知得，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故為的極值點(diǎn)，滿足題意.綜上有.（2）由（1）得,,定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.要證，即證，即證.而，即證.令，則且，即證，即證(且).令，且,則,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又時(shí)，，所以，即.3．（24-25高三上·陜西榆林·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)求的極值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)1；(2)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，微小值，無極大值；(3)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.（2）的定義域?yàn)?若時(shí)，則，故在單調(diào)遞減，無極值；若時(shí)，令得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故有微小值，無極大值.（3）解法1：令，，令，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞增，，即，故在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，.解法2：由于，所以，要證當(dāng)時(shí)，，即證，令，令，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞增，，即，故在單調(diào)遞減，，故原不等式成立.解法3：令，，由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，即，故在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，.解法4：令，則，故在單調(diào)遞減.由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，所以，即：，故，而，所以.解法5：令，由于，所以在單調(diào)遞減.由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，所以，即：，故，而，所以.4．（24-25高三上·山東名校聯(lián)盟·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析【解析】（1）函數(shù)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由于，，要證，即證，即證.令函數(shù)，則，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則，所以.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則，所以，故，即當(dāng)時(shí)，得證.題型4雙變量不等式的證明雙變量不等式的處理策略：含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分別變量，選取主元.1．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)爭辯函數(shù)的單調(diào)性；(3)設(shè)，證明：對任意，，.【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3)證明見解析【解析】（1）要證即證，令，，由，得；由，得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，可得成立，即成立；（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）不妨設(shè)，由于，由（1）可得在上單調(diào)遞減.所以等價(jià)于，即.令，則.于是.從而在上單調(diào)遞減，故，即，故對任意，，.2．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）已知函數(shù).(1)求的最值；(2)求正整數(shù)，使其滿足且；(3)若，求證：.【答案】(1)最大值是，無最小值；(2)，；(3)證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，所以的最大值是，無最小值.（2）當(dāng)時(shí)，且，令，明顯，即是方程的一組解，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，令,，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，因此當(dāng)且時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，，因此與沖突，于是時(shí)，方程無解，所以是方程的唯一一組正整數(shù)解.（3）設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，函數(shù)在上遞增，由，得，即，則，即，所以，即.3．（24-25高三上·山東·月考）已知函數(shù)；(1)求函數(shù)的極值;(2)若不等式當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間上成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值;(3)實(shí)數(shù)滿足，求證:.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，無極大值；(2)；(3)證明見解析【解析】（1）由函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，無極大值（2）由題意得，令，則，若，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即.所以，當(dāng)時(shí)，取最大值若，由于，所以當(dāng)時(shí)，不等式在成立，不合題意，當(dāng)時(shí)，，綜上的最大值.（3）（法一）依題意得，令，由，得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，即，于是;，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，則，所以（法二），令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以成立，即原不等式成立.4．（24-25高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，爭辯的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，則，由于，所以對任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，，，即．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）定義域?yàn)椋O(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，由于，所以，所以，即，故在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．綜上所述，．題型5對稱化構(gòu)造解決極值點(diǎn)偏移1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題．2、積型問題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④依據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論．1．（24-25高三上·河北·月考）已知函數(shù).(1)若該函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又該函數(shù)在單調(diào)遞增，故，綜上可知，的取值范圍為（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，令，則，故，又在上單調(diào)遞增，，所以，故2．（24-25高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1），則，令，得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故的取值范圍為．（2）由于是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以．由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，明顯．由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證，而，所以即證．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，原不等式得證．3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，(1)證明：有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)記是的導(dǎo)數(shù)，為的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）由，得，即，令，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，因此使得，使得，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）知函數(shù)的零點(diǎn)滿足：，求導(dǎo)得，要證，即證，即證明，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由，得，即，由，得，且在上單調(diào)遞增，因此，即，命題得證．4．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函數(shù)(1)爭辯函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在處切線方程；(3)若有兩解，，且，求證：．【答案】(1)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)；(2)；(3)證明見解析【解析】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)；（2），，所以處切線方程為：，即；（3）先證，由（1）可知：，且在區(qū)間為減函數(shù)，要證，即證：，令，，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，即，即；再證，由（2）可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，，∴在處取得極大值為0，故當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，，∴，得證.題型6比值代換法解決極值點(diǎn)偏移比值代換，是處理雙變量問題的策略之一．通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達(dá)到消元的效果，在處理比值代換時(shí)，要留意一些常見的變換結(jié)構(gòu)，如以下的結(jié)構(gòu)變換方法：（1）引元：如設(shè)，消元，回代入已知等式解方程（組），進(jìn)而消元，將所求證不等式轉(zhuǎn)化為等形式，再構(gòu)造函數(shù)可得；（2）對數(shù)相加減：，；（3）齊次式：，等；（4）組合型：對數(shù)，分式，整式等形式加以組合，如，等等．1．（24-25高三上·河北衡水·模擬測試）已知函數(shù).(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：.（為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)2；(2)證明見解析【解析】（1），定義域?yàn)?設(shè)切點(diǎn)，.且，解得，，故實(shí)數(shù)的值為2；（2），定義域?yàn)?，由于有兩個(gè)極值點(diǎn)和，所以至少有兩個(gè)不相等的正根.令，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.當(dāng)；當(dāng)，則至多兩個(gè)零點(diǎn)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，.由，兩式作差得①，令，由得，則，代入①式得，，則，故所證不等式轉(zhuǎn)化為，，只需證，即證：.令，，，，，在上單調(diào)遞增，，其中，故，，即不等式得證.2．（24-25高三上·江蘇無錫·月考）已知函數(shù).(1)若，當(dāng)與的微小值之和為0時(shí)，求正實(shí)數(shù)的值；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）定義域均為，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取微小值，且；又，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取微小值，且所以，解得：.（2）令，由于，所以，由可得：，（1）—（2）得：，所以，要證：，只要證：，只要證：，不妨設(shè)，所以只要證：，即證：，令，只需證：，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即有成立，所以成立.3．（24-25高三上·山西呂梁·期中）已知函數(shù)．(1)令，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在使得，求證：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明見解析【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，存在兩根，，由于，所以，所以時(shí)，，所以單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2），解得，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由于，令，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以只需證明即可，所以只需證明，令，，令，函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證.4．（24-25高三下·安徽·月考）已知函數(shù)．(1)爭辯的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求的取值范圍，并證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn)；(2),證明見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?求導(dǎo)得,令,,若,解得或,當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,,由,,得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),由于函數(shù)的定義域?yàn)?所以,故在恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,函數(shù),即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).綜上:當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn).（2）由于,所以方程,令,求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,最多一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在時(shí)有極大值，又由于當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以要使方程有兩個(gè)不同實(shí)根,則,即,解得,故的取值范圍為:;由方程有兩個(gè)不同實(shí)根,得,,所以,由,得,,令,則,由于要證明,即要證明,也就是要證明,即證明,令,求導(dǎo)得,所以在單調(diào)遞增,所以,即,整理得,,即,所以.（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．（24-25高三上·河南·期中）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，明顯，由，即，即，設(shè)，，則，而，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，又，所以a的取值范圍是.故選：B.2．（24-25高三上·廣東潮州·期末）若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則恒成立，即，由于，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得微小值，即最小值，，令，得．故選：D．3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，∴時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，∵，∴時(shí)，，∴單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，由題意可知，∴.故選：B二、填空題4．（24-25高三上·黑龍江·月考）已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，得，恒成馬上，恒成立.，恒成立，化簡可得，，，，令，，故單調(diào)遞增，，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，取最大值為，，即.故答案為：.5．（24-25高三上·山西·月考）若對任意，當(dāng)時(shí)恒有，則的取值范圍是.【答案】【解析】由得，即，設(shè)，則，所以問題轉(zhuǎn)化為在上沒有零點(diǎn).當(dāng)0時(shí)，沒有零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)，則，由于，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，所以，所以.綜上，的取值范圍是.6．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式對任意恒成立，轉(zhuǎn)化為，即，所以且在上恒成立，①若在上恒成立，則，解得；②若在上恒成立，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題7．（24-25高三上·貴州貴陽·月考）已知函數(shù)在處的切線為軸.(1)求數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，證明.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；(3)證明見解析.【解析】（1）由于，所以，又由于函數(shù)在處的切線為軸，所以，解得；（2）由（1）可知，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（3）證明：由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所