1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解實(shí)際意義.2.把握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)潔應(yīng)用．1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，假如?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．相關(guān)結(jié)論（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．（2）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．（3）函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．（4）函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)結(jié)論：設(shè)?x1，x2∈D（x1≠x2），則：①f(x1)-f(x2)x1-x2＞0（或（x1－x2）[f（②f(x1)-f(x2)x1-x2＜0（或（x1－x2）[f（3．易錯(cuò)點(diǎn)提示（1）求單調(diào)區(qū)間時(shí)要先求函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間肯定是定義域的子集；（2）多個(gè)單調(diào)區(qū)間一般用“和”或“，”連接，而不能用“”連接.推斷函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法：(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．例1．（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意對(duì)于AC，舉出反例說(shuō)明其不是偶函數(shù)即可；對(duì)于D，舉出反例說(shuō)明其在區(qū)間上不是增函數(shù)即可；對(duì)于B，按偶函數(shù)的定義證明并且由冪函數(shù)的單調(diào)性推斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故不是偶函數(shù)，不符題意；對(duì)于B，由于冪函數(shù)滿足，且其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意；對(duì)于C，，故不是偶函數(shù)，不符題意；對(duì)于D，，所以在區(qū)間上不是增函數(shù)，不符題意.故選：B.【類題演練1】（2025·安徽蚌埠模擬）下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意的，使得”成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依據(jù)題意，可知在上為減函數(shù)，據(jù)此分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，“對(duì)任意的，使得”，則函數(shù)在上為減函數(shù).對(duì)于選項(xiàng)A，，為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x＝－1，在上遞減，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，，其導(dǎo)數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，為一次函數(shù)，所以在上遞增，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，在上單調(diào)遞增，不符合題意.故選：A.【類題演練2】（2025·上海奉賢·一模）函數(shù)在定義域上是（

）A．嚴(yán)格增的奇函數(shù) B．嚴(yán)格增的偶函數(shù)C．嚴(yán)格減的奇函數(shù) D．嚴(yán)格減的偶函數(shù)【答案】A【分析】依據(jù)題意，分別推斷函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【詳解】令，任取，則，由于是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，則，所以，則函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)；又，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在定義域上是嚴(yán)格增的奇函數(shù).故選：A例2．（2025·廣西南寧·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】C【分析】對(duì)A，令求解即可；對(duì)B，令化簡(jiǎn)可得即可；對(duì)C，設(shè)，結(jié)合題意推斷推斷即可；對(duì)D，依據(jù)是增函數(shù)推斷即可.【詳解】對(duì)A，令，則，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，令，得，由整理可得，將變換為，則，故，故，故是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，則，且，故，則.又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，故C正確；對(duì)D，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C【類題演練1】（2025·湖南常德·三模）已知奇函數(shù)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在R上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】依據(jù)已知設(shè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)確定AB錯(cuò)誤；由冪函數(shù)的性質(zhì)推斷C正確；由反比例函數(shù)的形式確定D錯(cuò)誤.【詳解】由于是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上也為單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于A：不妨令，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：不妨令，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，其定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，取，則，，故所以，則函數(shù)在為遞增函數(shù)；所以函數(shù)在也為遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：不妨令，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知在和上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：C.【類題演練2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且、在單調(diào)遞減，則（

）A．在單調(diào)遞減B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞淢D．在單調(diào)遞減【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知在單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.設(shè)，則，，所以在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，設(shè)，則，，所以在單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，所以在單調(diào)遞減，故C正確；取，則，，，此時(shí)在不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：C.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間高次函數(shù)或超越函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體步驟是：（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的定義域；（3）解不等式或；（4）寫出單調(diào)區(qū)間.例3（2025湖南懷化二模）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】/【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【類題演練1】（2025桂林三模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【分析】先確定函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或（由于，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．故答案為：含確定值的函數(shù)可以利用函數(shù)的對(duì)稱性畫出函數(shù)的圖像求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例4（2025海南省海口三模）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】將確定值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【詳解】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B【類題演練1】（2025寧夏固原五高三月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】作出的圖像，依據(jù)圖像即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到或，函數(shù)的圖像如圖所示，由圖知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：.

解題過(guò)程中留意利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例5．（2025北市第十三中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)【答案】D【分析】首先推斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明函數(shù)在上的單調(diào)性，即可推斷.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，由于與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.【類題演練】（2025云南民族高校附中高三聯(lián)考）已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【分析】由題設(shè)得是周期為8的奇函數(shù)，結(jié)合區(qū)間解析式畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合確定一個(gè)遞增區(qū)間，由周期性寫出遞增區(qū)間.【詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則，所以，即，所以函數(shù)是周期為8的奇函數(shù)，作出大致圖象如下圖所示：依據(jù)圖象知，是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，依據(jù)周期性知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)，可利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間.例6（2025廣東廣州試驗(yàn)中學(xué)期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A【類題演練】（2025江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”，外層是增函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間是整個(gè)函數(shù)的增區(qū)間，留意定義域.【詳解】要滿足，解得：或，又是增函數(shù)，所以只需求出的單調(diào)遞增區(qū)間，的對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向上，結(jié)合函數(shù)的定義域可得：的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D已知單調(diào)性求參數(shù)例7（2025河南省中原名校高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定由和復(fù)合而成，依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】令，則，即由和復(fù)合而成，而在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在上單調(diào)遞減，需滿足在上恒成立，且在上單調(diào)遞減，即得，解得，即，故選：A【類題演練1】（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可.【詳解】由于在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故的取值范圍是.故選：A．故選：D【類題演練2】（2025湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得且，解之即可求解.【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：B【類題演練3】（2025湖北宜荊高三5月聯(lián)考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題設(shè)條件證明，再驗(yàn)證時(shí)條件滿足即可.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則必定在處有定義，所以，即；若，則當(dāng)時(shí)，所以在上有定義，再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：C.【類題演練4】（2025湖南省衡陽(yáng)市名校聯(lián)考聯(lián)合體聯(lián)考）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，故，解得.故選：D例8（2025陜西省銅川高三三模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)一次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，解得.故選：C.【類題演練】）已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)題意，利用分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，由于函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C．例9（2025重慶西南高校附屬中學(xué)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用分別參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)辯最值即可得到答案.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即的最大值為，故選：B【類題演練1】（2025海南?？诤Ｄ现袑W(xué)高三上學(xué)期第四次月考）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，求出取值范圍即可.【詳解】由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍是.故選：D.【類題演練2】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為.【答案】【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，求參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，與目標(biāo)式比較，令，得，因此令(等比例賦值法),則.(時(shí)等號(hào)成立).所以的最小值為.故答案為：【類題演練3】若函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求或在上恒成立，留意到，從而轉(zhuǎn)化成在上恒成立，從而求得，再求其補(bǔ)集，即可解決問(wèn)題.【詳解】若在上單調(diào)函數(shù)，則或在上恒成立，由題意，，留意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，所以，解得：，由于在上不是單調(diào)函數(shù)，所以的取值范圍是.故答案為：.單調(diào)性的應(yīng)用比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．例10（2025四川省成都石室中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)，利用奇偶性對(duì)函數(shù)值進(jìn)行等價(jià)變形，最終利用單調(diào)性進(jìn)行比較大小.【詳解】解：已知的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，.由于在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，由于在上為增函數(shù)，所以，由于在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，依據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以.故選：A．【類題演練1】（2025陜西西安三模）已知函數(shù)，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)給定條件，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較大小即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，而，所以，即.故選：A【類題演練2】（2025云南高三診斷性聯(lián)考）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)條件推斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；又有為上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.由于我們有，即，故.而，，，故.故選：C.【類題演練3】（2025安徽省A10聯(lián)盟三模）數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，即可得解.【詳解】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.故選：A.求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)留意函數(shù)的定義域．例11（2025新疆喀什地高三下學(xué)期4月適應(yīng)性檢測(cè)）已知函數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先結(jié)合冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則得到，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且，則時(shí)，單調(diào)遞增，若有，則有，解得，故選：A.【類題演練】已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，利用圖象推斷函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由于，所以等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集是．故選：D．

例121．（2025·安徽淮北·二模）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，函數(shù)最大值的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先對(duì)內(nèi)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根的狀況分類爭(zhēng)辯，得出時(shí)，結(jié)果為16，對(duì)于時(shí)，求出兩根，依據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的位置進(jìn)行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.【詳解】若，即時(shí)，，其對(duì)稱軸為，，此時(shí)，因，故的最小值為16；若，由可得，（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，①當(dāng)時(shí)，，故，而在上單調(diào)遞減，則此時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，故，而在上單調(diào)遞增，則此時(shí)，.（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則此時(shí)，而在上單調(diào)遞減，則.綜上，函數(shù)最大值的最小值為8.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主考查確定值函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于難題.解決確定值函數(shù)的方法，主要是依據(jù)其內(nèi)部函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合圖象，就參數(shù)分類爭(zhēng)辯去掉確定值，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求其最值.【類題演練1】（2025·全國(guó)·模擬猜測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：令，求出，令，可證得函數(shù)是奇函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：令可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】法一：令，得，所以；令，則有，即，則，故是定義在上的奇函數(shù)．設(shè)，則，又當(dāng)時(shí)，，則有，即，則，故在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．又由于存在，使得成立，所以，解得．故選D．法二：令，則．由于，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．由于存在，使得成立，所以為在區(qū)間上的最大值．由于在上單調(diào)遞增，，所以，所以．解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由賦值法證得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求出在區(qū)間上的最大值，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【類題演練2】（23-24高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，有最大值，并將其記為，則說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為，的最大值為2 B．的最大值為，的最小值為C．的最大值為，的最大值為2 D．的最小值為，的最小值為【答案】B【分析】先求出的增減狀況，再結(jié)合題意可得到，從而可求解.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由題意知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由于函數(shù)有最大值，則可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，解得，或，令，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最大值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最大值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最大值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最大值為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)無(wú)最大值，綜上：的最大值為，的最小值為.故B正確.故選：B.【類題演練3】（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推斷的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，綜上可知，的最大值為.故選：B.一、單選題1．（2025·北京東城·二模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性推斷A、B、D，利用導(dǎo)數(shù)推斷C選項(xiàng)的單調(diào)性.【詳解】對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C：，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在定義域上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：B2．（2025·廣東揭陽(yáng)·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C3．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性，只需比較對(duì)數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的大小即可得解.【詳解】由于函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.4．（23-24高三下·重慶·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．（2025·江蘇宿遷·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：推斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.解法二：特值排解法.【詳解】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故選：A解法二：特值當(dāng)時(shí)，，排解B，D，當(dāng)時(shí)，，排解C，對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.故選A．6．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)題設(shè)得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到在上恒成立，再利用幾何法或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值來(lái)處理，即可解決問(wèn)題.【詳解】由于，不妨設(shè)，則有，即，令，由函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，則在上恒成立.法一：若，則，又過(guò)點(diǎn)且與相切的切線方程為，由函數(shù)圖象可知，只需即可.法二：若，則，令，，若，則，在上單調(diào)遞增，，符合題意，所以；若，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，綜上.法三：若，則，令，則，令，，所以在上單調(diào)遞增，，則，所以在上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則知，所以.故選：7．（2025·廣東深圳·模擬猜測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.又由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.綜上可得函數(shù)的最小值為.由于，使得成立，所以，解得：或.故選：C.8．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)小于0在上有解求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得在上有解，即不等式在上有解，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得成立；若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則，使得成立.二、多選題9．（23-24高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此可得的大致圖象；分別在和的狀況下，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可確定的單調(diào)性，結(jié)合的圖象可構(gòu)造不等式組求得的范圍.【詳解】令，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；令，解得：或，的大致圖象如下圖所示，

當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，或，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，可能的取值為和.故選：AC.10．（2025·浙江杭州·二模）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均滿足，則（

）A． B．C． D．函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)【答案】ACD【分析】令等價(jià)于，則，可推導(dǎo)出，進(jìn)而可推斷A，利用賦值法