寧波市2025第一學(xué)期學(xué)年期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名.準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知全集，集合，如圖陰影部分表示的集合是（）A. B.或C. D.2.已知，則下列等式中成立是（）A. B.C D.3.已知，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C D.5.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.6.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.7.模型是常用于描述物種數(shù)量增長或信息傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.某學(xué)者根據(jù)社交平臺上某熱點(diǎn)話題的轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)，建立了該話題累計(jì)轉(zhuǎn)發(fā)量（的單位：小時(shí)）的模型：，其中為平臺潛在最大轉(zhuǎn)發(fā)量，為增長速率.已知當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)發(fā)量達(dá)到最大轉(zhuǎn)發(fā)量的.當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著該話題已進(jìn)入傳播飽和階段，則從到進(jìn)入傳播飽和階段大約還需要（）小時(shí).（注：為自然對數(shù)的底數(shù)，）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則不等式解集為（）A. B. C. D.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.B.的值域是C.的對稱中心是D.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圖象的對稱軸方程為B.當(dāng)時(shí)，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則為偶函數(shù)C.若函數(shù)的圖象在上恰有三條對稱軸，則D.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或11.已知，若，且，則下列說法正確的有（）A.若，則且B.若，則的最小值為-1C.若，則有兩個(gè)不同的取值D.不存在，使得均為正數(shù)第II卷三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，均為單位向量，且，則，的夾角為__________.13.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍為__________.14.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如：.若，則的取值范圍為__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）15.計(jì)算：（1）；（2）已知，且，求.16.已知等邊三角形的邊長為2，以頂點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓弧，設(shè)是弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.（1）求陰影部分的面積；（2）求的取值范圍.17.已知二次函數(shù).（1）若，且都有，求的最小值；（2）解關(guān)于不等式：.18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知函數(shù).①若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍：②若，關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域：（2）①證明：；②若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，寧波市2025第一學(xué)期學(xué)年期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名.準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知全集，集合，如圖陰影部分表示的集合是（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】由韋恩圖得陰影部分為,利用集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】由韋恩圖得陰影部分為，因?yàn)?，所以，所以故選：D.2.已知，則下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因，所以，即，所以，故選：C3.已知，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡命題p，再根據(jù)充分不必要條件的定義求解.【詳解】由，得，解得，設(shè)，因?yàn)槭浅浞植槐匾獥l件，所以A?B，則，故選：A4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，故選：B5.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，圖象在軸上方，故B、D錯(cuò)誤，利用排除法C選項(xiàng)正確.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，圖象在軸上方，故B、D錯(cuò)誤.利用排除法C選項(xiàng)正確.故選：C.6.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩角和正弦公式、兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，由，又因?yàn)?，所以解?因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所?，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B7.模型是常用于描述物種數(shù)量增長或信息傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.某學(xué)者根據(jù)社交平臺上某熱點(diǎn)話題的轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)，建立了該話題累計(jì)轉(zhuǎn)發(fā)量（的單位：小時(shí)）的模型：，其中為平臺潛在最大轉(zhuǎn)發(fā)量，為增長速率.已知當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)發(fā)量達(dá)到最大轉(zhuǎn)發(fā)量的.當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著該話題已進(jìn)入傳播飽和階段，則從到進(jìn)入傳播飽和階段大約還需要（）小時(shí).（注：為自然對數(shù)的底數(shù)，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件得到方程，從中求出的值，再求出當(dāng)時(shí)的所需時(shí)間的值，再用即可得解.【詳解】已知，由題意知.當(dāng)時(shí)，，即，即.兩邊同時(shí)取自然對數(shù)可得，則.當(dāng)話題已進(jìn)入傳播飽和階段，即時(shí)，可得，即，即，即.兩邊同時(shí)取自然對數(shù)可得.將代入上式可得，解得，即.將代入上式可得.即話題從開始轉(zhuǎn)發(fā)到進(jìn)入傳播飽和階段所需要的時(shí)間約為小時(shí)，所以從到進(jìn)入傳播飽和階段大約還需要小時(shí).故選：D8.已知函數(shù)，則不等式解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，即可判斷的奇偶性與單調(diào)性，則不等式等價(jià)于，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)?，令，則的定義域?yàn)榍?，所以為奇函?shù)，又、、均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式，即，即，即，等價(jià)于，解得，所以不等式解集為.故選：C二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.B.的值域是C.的對稱中心是D.【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)正確；B：因?yàn)椋?，所以的值域是，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以的對稱中心是，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)椋?，所以，因此本選項(xiàng)正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圖象的對稱軸方程為B.當(dāng)時(shí)，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則為偶函數(shù)C.若函數(shù)的圖象在上恰有三條對稱軸，則D.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸驗(yàn)證A錯(cuò)誤，利用函數(shù)變換得到為偶函數(shù)則B正確，利用函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的對稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間驗(yàn)證C、D即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令,得到圖象的對稱軸方程為，故A錯(cuò)誤；將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則為偶函數(shù)，故B正確；函數(shù)的對稱軸滿足，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在上恰有三條對稱軸，即存在三個(gè)值使得，時(shí)，，時(shí)，，所以，解得，故C正確，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，所以即，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，所以，解得，綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或，故D正確；故選：BCD.11.已知，若，且，則下列說法正確的有（）A.若，則且B.若，則的最小值為-1C.若，則有兩個(gè)不同的取值D.不存在，使得均為正數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】先通過展開已知等式得到關(guān)鍵關(guān)系式，再用完全平方公式整體換元，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，最后通過代入求值及判別式分析根的情況，即可判斷各選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)?，所以：，，即，①又由完全平方公式：代入①，得整理得②令，代入②得③選項(xiàng)A：若，則且把代入③得，所以，即，所以，代入①：A正確；選項(xiàng)B：若，則的最小值為由，得：則，代入則是方程的實(shí)根，故判別式，所以所以，所以所以，，即因此的最小值為.B正確；選項(xiàng)C：若，則有兩個(gè)不同的取值③的判別式：當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即有兩個(gè)不同取值.C正確；選項(xiàng)D：不存在，使得均為正數(shù)，假設(shè)，我們驗(yàn)證是否存在這樣：由①得，即，由③得，所以，取，則，，要證明存在使得且，只需說明存在使得關(guān)于的方程，（其中）有三個(gè)正實(shí)根，令，則，令，解得，,所以極大值（在處）：極小值（在處）：，所以當(dāng)時(shí)，方程在上有三個(gè)不同的正實(shí)根，這三個(gè)根即為，滿足，說明存在使得均為正數(shù).D錯(cuò)誤.故選：ABC.第II卷三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，均為單位向量，且，則，的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，均為單位向量，且，所以，所以，所以，所?的夾角余弦值為，所以,的夾角為.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)圖象及對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)不等式計(jì)算求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)且，則，即，所以，，因?yàn)椋裕瑒t的取值范圍為.故答案為：.14.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如：.若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由“取整函數(shù)”的定義可知，分和兩種情況求解即可.【詳解】由“取整函數(shù)”的定義可知，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)，所以，即，所以，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，所?當(dāng)，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以且，?dāng)時(shí)，即且，所以且，所以，當(dāng)時(shí)，即且，所以且，所以無解；當(dāng)時(shí)，即且，所以且，所以無解；綜上所述，則的取值范圍為.故答案：.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）15.計(jì)算：（1）；（2）已知，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則化簡；（2）根據(jù)指對互化以及對數(shù)的單調(diào)性求出代入化簡即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】由，得，則，得，解得，則.16.已知等邊三角形的邊長為2，以頂點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓弧，設(shè)是弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.（1）求陰影部分的面積；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形及三角形的面積公式分別求出及，然后兩式相減即可得解；（2）以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，進(jìn)而得到的解析式，再利用三角函數(shù)求出其值域即可得解.【小問1詳解】設(shè)陰影部分的面積為，則；【小問2詳解】以為原點(diǎn)，為軸，過作垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.所以所以，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以，.所以的取值范圍為.17.已知二次函數(shù).（1）若，且都有，求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式：.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題得到，所以，再利用基本不等式求解即可.（2）不等式等價(jià)于，對分三種情況討論即可【小問1詳解】由題，對稱軸為，所以，變形得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，的最小值為.【小問2詳解】不等式即求解①當(dāng)時(shí)，，解集為②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，若，即時(shí)，恒成立，解集為若，即時(shí)，則，解集為若，即時(shí)，不等式解集為③當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，此時(shí)恒成立，不等式解集為18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知函數(shù).①若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍：②若，關(guān)于的不等式對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）①且.；②【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求出；（2）①先化簡函數(shù)進(jìn)而得到的解析式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可；②令，將不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，得到關(guān)于的函數(shù)，分類討論即可.【小問1詳解】由題意得，對恒成立，.【小問2詳解】①，，易知，原方程可轉(zhuǎn)化為，得或，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)可得，解得且.②令，原不等式可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，，可得，故，當(dāng)時(shí)，，