湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級(jí)上冊(cè)第5章

直角三角形5.2.3勾股定理的逆定理思考我們已經(jīng)學(xué)會(huì)用勾股定理解決實(shí)際問題，那么勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用呢？船只在航行的時(shí)候需要確定方向和位置.課堂導(dǎo)入#5.2.3勾股定理的逆定理（七年級(jí)數(shù)學(xué)課件）##幻燈片1：封面-標(biāo)題：5.2.3勾股定理的逆定理-副標(biāo)題：七年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)/上冊(cè)，根據(jù)教材版本調(diào)整）-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：目錄1.復(fù)習(xí)回顧：勾股定理的核心內(nèi)容與應(yīng)用2.情境導(dǎo)入：反過來，三邊滿足什么關(guān)系的三角形是直角三角形？3.探究活動(dòng)：驗(yàn)證三邊滿足$a^2+b^2=c^2$的三角形是直角三角形4.勾股定理的逆定理的內(nèi)容與符號(hào)表示5.逆定理的推理證明6.逆定理的核心應(yīng)用（判定直角三角形、找直角）7.勾股數(shù)的概念與常見勾股數(shù)8.勾股定理與逆定理的區(qū)別與聯(lián)系9.易錯(cuò)點(diǎn)辨析10.課堂練習(xí)（基礎(chǔ)題+提升題）11.課堂小結(jié)12.作業(yè)布置##幻燈片3：復(fù)習(xí)回顧-提問：1.勾股定理的內(nèi)容是什么？（直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）2.符號(hào)表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，則$a^2+b^2=c^2$（a、b為直角邊，c為斜邊）；3.勾股定理的作用是什么？（已知直角三角形，求邊長或證明線段關(guān)系）-思考：

反過來，如果一個(gè)三角形的三邊a、b、c滿足$a^2+b^2=c^2$，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？這就是我們今天要探究的核心問題。-過渡：勾股定理是“直角三角形→三邊滿足$a^2+b^2=c^2$”，而逆命題是“三邊滿足$a^2+b^2=c^2$→直角三角形”，這個(gè)逆命題是否成立？我們通過實(shí)驗(yàn)和證明來驗(yàn)證。##幻燈片4：情境導(dǎo)入——古代的直角判斷方法-情境：

古埃及人在建造金字塔時(shí)，沒有量角器，卻能準(zhǔn)確畫出直角：他們將一根繩子打上等距離的13個(gè)結(jié)，分成12段，然后用釘子固定成一個(gè)三角形，使三角形的三邊長分別為3段、4段、5段，此時(shí)最長邊所對(duì)的角就是直角。-提問：1.這個(gè)三角形的三邊滿足什么關(guān)系？（$3^2+4^2=5^2$）2.為什么這樣的三角形是直角三角形？-引出課題：古埃及人的方法蘊(yùn)含著勾股定理的逆定理，今天我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)重要定理，掌握判斷直角三角形的新方法。##幻燈片5：探究活動(dòng)——驗(yàn)證三邊滿足$a^2+b^2=c^2$的三角形是直角三角形###探究目標(biāo)：驗(yàn)證“如果一個(gè)三角形的三邊長a、b、c滿足$a^2+b^2=c^2$，那么這個(gè)三角形是直角三角形”。###探究材料：直尺、圓規(guī)、量角器、白紙、繩子（或細(xì)木棒）。###探究步驟：1.畫圖驗(yàn)證：-用直尺和圓規(guī)畫三角形：

①

三邊長分別為3cm、4cm、5cm（滿足$3^2+4^2=5^2$）；

②

三邊長分別為5cm、12cm、13cm（滿足$5^2+12^2=13^2$）；

③

三邊長分別為6cm、8cm、10cm（滿足$6^2+8^2=10^2$）；-用量角器測(cè)量三個(gè)三角形中最長邊所對(duì)的角，記錄角度（均為90°）。2.動(dòng)手操作：-用繩子打13個(gè)結(jié)，固定成3段、4段、5段的三角形，用手感知最長邊所對(duì)的角是否為直角；-畫一個(gè)三邊長為2cm、3cm、4cm的三角形（不滿足$2^2+3^2=4^2$），測(cè)量最長邊所對(duì)的角（不是90°）。###探究結(jié)論：如果一個(gè)三角形的三邊長a、b、c滿足$a^2+b^2=c^2$，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且最長邊c所對(duì)的角為直角。##幻燈片6：勾股定理的逆定理的內(nèi)容與符號(hào)表示###定理內(nèi)容：**如果一個(gè)三角形的三邊長a、b、c滿足$a^2+b^2=c^2$，那么這個(gè)三角形是直角三角形**。###符號(hào)表示：如圖，在△ABC中，若$a^2+b^2=c^2$（c為最長邊），則△ABC是直角三角形，且∠C=90°（最長邊c所對(duì)的角為直角）。###核心要點(diǎn)：1.判定條件：①三角形的三邊滿足$a^2+b^2=c^2$；②c是三邊中最長的邊（避免混淆直角的位置）；2.作用：判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形（無需測(cè)量角度，通過邊長關(guān)系即可判定）；3.地位：是勾股定理的逆命題，且為真命題，可作為獨(dú)立的判定定理使用。##幻燈片7：逆定理的推理證明###已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且$a^2+b^2=c^2$。###求證：△ABC是直角三角形（∠C=90°）。###證明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b?！咴赗t△A'B'C'中，∠C'=90°（已作），∴由勾股定理得：$A'B'^2=B'C'^2+A'C'^2=a^2+b^2$（勾股定理）。又∵在△ABC中，$a^2+b^2=c^2$（已知），∴$A'B'^2=c^2$（等量代換）。∵A'B'、c均為線段長度，且長度為正，∴A'B'=c（算術(shù)平方根的性質(zhì)）。在△ABC和△A'B'C'中：```BC=B'C'=a（已作），AC=A'C'=b（已作），AB=A'B'=c（已證），```∴△ABC≌△A'B'C'（SSS全等判定）?！唷螩=∠C'=90°（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）。##幻燈片8：逆定理的核心應(yīng)用1——判定直角三角形###例題1：判斷下列各組線段能否構(gòu)成直角三角形，若能，指出哪條邊所對(duì)的角為直角：（1）a=5，b=12，c=13；（2）a=4，b=5，c=6；（3）a=√3，b=√2，c=√5。-解題步驟：1.先確定最長邊c；2.驗(yàn)證$a^2+b^2$是否等于$c^2$；3.得出結(jié)論。-解答過程：

（1）最長邊c=13，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，∴能構(gòu)成直角三角形，13所對(duì)的角為直角；

（2）最長邊c=6，$4^2+5^2=16+25=41≠36=6^2$，∴不能構(gòu)成直角三角形；

（3）最長邊c=√5，$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2=3+2=5=(\sqrt{5})^2$，∴能構(gòu)成直角三角形，√5所對(duì)的角為直角。###例題2：已知△ABC的三邊長分別為m2-n2、2mn、m2+n2（m>n>0），求證：△ABC是直角三角形。-解題步驟：1.確定最長邊：m2+n2（∵m>n>0，∴(m2+n2)2-(m2-n2)2=4m2n2>0，(m2+n2)2-(2mn)2=(m2-n2)2>0）；2.驗(yàn)證平方和：$(m2-n2)^2+(2mn)^2=m?-2m2n2+n?+4m2n2=m?+2m2n2+n?=(m2+n2)^2$；3.得出結(jié)論：△ABC是直角三角形，且最長邊m2+n2所對(duì)的角為直角。##幻燈片9：逆定理的核心應(yīng)用2——實(shí)際場景中找直角###例題3：如圖，某工地需要搭建一個(gè)三角形支架，已測(cè)量三邊長度分別為6m、8m、10m，工人師傅想知道這個(gè)支架的角是否為直角，如何判斷？-解題思路：

用勾股定理的逆定理判定，驗(yàn)證62+82是否等于102。-解答過程：∵62+82=36+64=100=102，∴這個(gè)三角形是直角三角形，且10m邊所對(duì)的角為直角。

答：支架的最長邊所對(duì)的角為直角，符合要求。###例題4：一艘輪船從港口A出發(fā)，向正南方向行駛了15km到達(dá)B港，再向正東方向行駛了20km到達(dá)C港，然后返回港口A，求返回時(shí)的航程（即AC的長度），并判斷△ABC的形狀。-解題步驟：1.確定三邊關(guān)系：AB=15km（正南），BC=20km（正東），AB⊥BC，∴△ABC為直角三角形（可通過逆定理驗(yàn)證）；2.求AC：$AC=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$km；3.驗(yàn)證逆定理：152+202=252，∴△ABC是直角三角形。

答：返回時(shí)的航程為25km，△ABC是直角三角形。##幻燈片10：勾股數(shù)的概念與常見勾股數(shù)###定義：**能夠成為直角三角形三邊長的三個(gè)正整數(shù)，叫做勾股數(shù)**（也叫勾股弦數(shù)）。###常見勾股數(shù)：1.基礎(chǔ)勾股數(shù)：3、4、5；2.倍數(shù)拓展：6、8、10（3×2、4×2、5×2）；9、12、15（3×3、4×3、5×3）；12、16、20（3×4、4×4、5×4）等；3.其他常見勾股數(shù)：5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等。###核心性質(zhì)：1.勾股數(shù)的倍數(shù)仍是勾股數(shù)（如3、4、5的k倍（k為正整數(shù)）：3k、4k、5k，滿足(3k)2+(4k)2=(5k)2）；2.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理逆定理的應(yīng)用新知探究通過題目已知條件可以得出：1.PR的長度2.PQ的長度3.∠1的度數(shù)4.RQ的長度分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了.

解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，RQ=30.

所以∠RPQ=90?.由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45?.因此∠2=45?，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.為何是45°呢？1.A，B，C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？跟蹤訓(xùn)練新知探究分析：根據(jù)圖示的距離，可以判斷出以A，B，C三地位置構(gòu)成的三角形是直角三角形.解：設(shè)A，B，C三地對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，C，則在△ABC中，

所以△ABC是直角三角形，且∠B=90?，所以C地在B地的正北方向.2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，

∠B=90?.求四邊形ABCD的面積.CBAD分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜邊AC.根據(jù)AC，CD，AD的長度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90?.

知識(shí)點(diǎn)2：勾股數(shù)