第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的運(yùn)算法則；2.能利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則及其應(yīng)用.難點(diǎn)：綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

三、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入師生活動(dòng)：教師提出問題，請(qǐng)學(xué)生回答，后教師點(diǎn)評(píng)總結(jié).思考1：函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1答：幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為：思考2：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是什么？答：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為：思考3：在上節(jié)課的例2中，當(dāng)p0=5時(shí)，p(t)=5×1.05t.這時(shí)，求p關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)可以看成求函數(shù)f(t)=5與g(t)=1.05t設(shè)計(jì)意圖：通過回顧上節(jié)課的內(nèi)容，幾何上節(jié)課的例題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的客觀存在性，以及學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的必要性.（二）探究新知任務(wù)一：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則探究1：設(shè)f(x)=x2，g(x)=x，計(jì)算[f(x)+g(x)]'與[f(x)?g師生活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生探究.思考1：如何計(jì)算函數(shù)f(x)+g(x)=x答：設(shè)y=f(x)+g(x)=所以[f(x)思考2：函數(shù)y=f(x)+g(x)=x2師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論、交流.答：因?yàn)閒'(x)=(x2)'=2x，g思考3：類似地，函數(shù)y=f(x)?g(x)=x2?x師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，得出結(jié)論.答：[f(x)?g總結(jié)：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，有如下法則[f(x)±g設(shè)計(jì)意圖：通過利用導(dǎo)數(shù)的定義和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)以及兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和，進(jìn)而得出兩個(gè)函數(shù)的和與差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=x3?x+3；師生活動(dòng)：教師出示問題，找兩名學(xué)生板演，其他學(xué)生獨(dú)立完成解答.教師巡視，觀察學(xué)生的完成情況，適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo).學(xué)生完成后，教師點(diǎn)評(píng).解：(1)y'=x(2)y'=2設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)的解答，讓學(xué)生運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的和、差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).探究2：設(shè)f(x)=x2，g(x)=x，計(jì)算[f(x)g(x)]'與f'(x)思考1：請(qǐng)計(jì)算函數(shù)f(x)g(x)=x3的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)f(x)=答：[f(x)g(x)]'=(x思考2：f(x)與g(x)的積的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的積答：[f(x)思考3：f(x)與g(x)答：同樣地，f(x)g師生活動(dòng)：教師給出兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的總結(jié)：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的乘積(或商)的導(dǎo)數(shù)，我們有如下法則[f(x)gf(x)g探究3：如何求函數(shù)y=cf(x)的導(dǎo)數(shù)，其中c為常數(shù)？師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考回答，教師完善.答：由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+cf'(x)=cf'(x)，也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即[cf(x)]'=cf'(x).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行探討，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).做一做：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=x3ex師生活動(dòng)：教師出示問題，引導(dǎo)學(xué)生分析這兩個(gè)函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的運(yùn)算得到的，學(xué)生獨(dú)立完成求導(dǎo)，并在小組內(nèi)討論、交流、校對(duì)答案，教師點(diǎn)評(píng)完善.解：(1)y'=x(2)y'=2設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)的解答，讓學(xué)生運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).總結(jié)1：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)(1)[cf(x)]'=cf'(x)；(2)[f(x)±g(3)[f(x)g(4)f(x)g總結(jié)2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略:(1)先區(qū)分函數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)，即函數(shù)關(guān)系式中的和、差、積、商，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)；(2)對(duì)于三個(gè)及以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.任務(wù)二導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用師生活動(dòng)：師生共同回顧利用導(dǎo)數(shù)公式求切線方程的一般步驟，然后教師闡述：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可直接得到曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，可避免利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)的大量運(yùn)算，也能解決利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式無法解決的求導(dǎo)問題.需要注意直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征.當(dāng)問題中涉及相切但未出現(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要先設(shè)處切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo).做一做：(1)求曲線y=xex+2x+1(2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線C：y=x3?10x+13上，且在第一象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、探究，教師指導(dǎo)評(píng)價(jià).解：(1)由題意得y'=ex+xex+2，則曲線y=xex(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0.因?yàn)閥'=3x2?10，所以3x02?10=2，解得x0=±2.因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以設(shè)計(jì)意圖：通過問題，體會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的便捷性，進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義及其應(yīng)用的理解.（三）應(yīng)用舉例例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=x1+(2)y=x(3)y=1+sin師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生自主完成，教師點(diǎn)評(píng).分析：將原式化簡(jiǎn)變形成便于求導(dǎo)數(shù)的形式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).解：(1)因?yàn)閥=x1+2x(2)因?yàn)閥=x所以y'=(3)因?yàn)閥=1+sinx2例2：日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知將1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：

(1)90%;

(2)98%．師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意并提出問題，學(xué)生分組完成，然后每組選派一名代表匯報(bào)，教師點(diǎn)評(píng)并完善解題過程.思考1：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率與凈化費(fèi)用函數(shù)是什么關(guān)系？答：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

c'(x)=(5284100?x)'=5284'×(100?x)?5284×(100?x)'(100?x)2

=0×(100?x)?5284×(?1)(100?x)2=5284(100?x)2．

(1)因?yàn)閏'(90)=5284(100?90)2=52.84，思考2：你能根據(jù)求解的結(jié)果，說明本題的實(shí)際意義嗎？答：函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知，c'(98)=25c'(90).它表示凈化到純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.總結(jié)：本題是一個(gè)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)意義的實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率就是函數(shù)在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).在解答本題時(shí)，要先求出函數(shù)c(x)分別在x=90，98處的導(dǎo)數(shù)，然后再回答實(shí)際問題中，即將求導(dǎo)結(jié)果“翻譯”成瞬時(shí)變化率，得到實(shí)際問題的解答.設(shè)計(jì)意圖：通過例2的解答，使學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).例3：設(shè)函數(shù)f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．分析：(1)欲求在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．

(2)先在曲線上任取一點(diǎn)(x0,x0+1x0解：(1)f'(x)=a?1(x+b)2，(a,b∈Z)，

于是2a+12+b=3a?1(2+b)2=0，

解得a=1b=?1或a=94b=?83(舍)

故f(x)=x+1x?1．

(2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)(x0,x0+1x0?1).

由f'(x0)=1?1(x總結(jié)：本例主要涉及直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)解析式的求解，對(duì)運(yùn)算能力也有一定要求．第（1）小題用待定系數(shù)法求解，根據(jù)條件通過導(dǎo)數(shù)建立a,b的方程組，解方程組確定a,b的值，從而得到fx的解析式；第（2）小題要注意關(guān)于定值的證明思路，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)x0,fx（四）課堂練1.已知函數(shù)f(x)=3f'(1)x?4x2?2lnxA.5 B.4 C.?4 D.?5【答案】A

解：f'(x)=3f'(1)?8x?2x

，

令x=1，可得f'(1)=3f'(1)?8?2

，解得f'(1)=5

．

故選2.已知函數(shù)fx=sinA.12 B.32 C.3 D.【答案】B

解：f'(x)=coslimΔx→0故選：B．3.“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法求高次方程的根．如圖，r是函數(shù)fx的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近r的實(shí)數(shù)x0，x1，x2，…，xn，其中x1是fx在x=x0處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x2是fx在x=x1處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，…，依次類推．當(dāng)xn?r足夠小時(shí)，就可以把xn的值作為方程【答案】103解：由題可得f(4)=415，f'(x)=1所以fx在x=4處的切線方程為：y?令y=0，解得x=103，即方程fx故答案為：1034.已知函數(shù)fx=x3?ax(1)求a，b的值；(2)求曲線y=fx過點(diǎn)0,?1的切線方程．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)fx=x3又f'x=3x2?2ax由①②解得a=