第五章三角函數(shù)1.1.1任意角

一、教學目標

二、教學重難點重點：角，難點：

三、教學過程（一）創(chuàng)設情境情境：現(xiàn)實生活中，你接觸過超出0°~360°范圍的角嗎？請舉例說明.答：1.體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這樣的動作名稱，這里不僅有超出0°~360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同.2.被動輪與主動輪中OA繞點O旋轉(zhuǎn)所成的角與O'B繞點O'旋轉(zhuǎn)所成的角就會有不同的方向.3.鐘表慢了2小時，校準后分針轉(zhuǎn)過的角度師生活動：學生思考，教師多媒體出示出示體操比賽、齒輪傳動以及時鐘的圖片.(體操:“前空翻轉(zhuǎn)體度”，“后空翻轉(zhuǎn)體度”.齒輪：被動輪與主動輪的旋轉(zhuǎn)方向相反(順、逆時針).時鐘：慢了2小時，校準后分針轉(zhuǎn)過的角度)設計意圖：創(chuàng)設課堂情境，使學生產(chǎn)生認知上的沖突，說明角的概念的推廣的必要性，從而點明本節(jié)課的內(nèi)容，同時激發(fā)學生的學習興趣和主動探究的精神.（二）探究新知任務1：任意角的概念思考1：初中學過角的概念是什么？范圍是多大?有哪些種類？情境：定義：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.角的范圍：0°~360°角的種類：銳角、直角、鈍角、平角、周角設計意圖：通過復習初中角的概念，引入本節(jié)新課，建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.通過復習初中角的概念，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.說一說：用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要考慮什么？答：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度設計意圖：通過探究學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).思考2：根據(jù)情境中的案例，該如何度量生活中超出0°~360°范圍的角？答：上述案例中，角的度數(shù)已經(jīng)不再局限在360°內(nèi)，所以角的概念需進行推廣.旋轉(zhuǎn)所成的角就會有不同的方向，因此要準確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對角的概念進行推廣.總結(jié)：(一)角的分類1.三類不同角：正角：一條射線繞其端點逆時針旋轉(zhuǎn)形成的角.如：α=60o，α=425o.負角：一條射線繞其端點順時針旋轉(zhuǎn)形成的角.如：α=﹣540o，α=﹣120o.零角：一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn).(零角的始邊與終邊重合)2.兩類特殊角：相等角：旋轉(zhuǎn)方向相同，旋轉(zhuǎn)量相同，稱α=β.相反角：旋轉(zhuǎn)方向不同，旋轉(zhuǎn)量相同的兩個角叫做互為相反角，角α的相反角記為?α.(二)角的計算1.角的加法：設α，β是任意兩個角，我們規(guī)定，把角α的終邊再旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應的角是α+β.2.角的減法：減去一個角等于加上這個角的相反角.即：α?β=α+(?β).角的減法轉(zhuǎn)化為角的加法，角的“±”表示旋轉(zhuǎn)方向：“﹢逆﹣順”設計意圖：讓學生嘗試定義角的相等和加減法，體會定義的合理性．任務2：象限角與終邊相同的角我們通常在直角坐標系討論角，為了方便，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.注意：如果角的終邊落在坐標軸上，則該角稱為軸線角.設計意圖：通過探究學習，使學生掌握象限角的判斷方法，強化數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).探究：在直接坐標系中給定一個角有唯一的終邊與之對應.反之，對于直角坐標系內(nèi)任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？各抒己見：請同學們先認真思考，再表達出自己的想法答：不難發(fā)現(xiàn)，在圖中，如果?32°角的終邊是OB，那么328°，?392°，?角的終邊都是OB，并且與?32°角終邊相同的這些角都可以表示成?32°的角與k個(k∈Z)周角的和，如：328°=?32°+360°(這里k=1)?392°=?32°?360°(這里k=?1)設S={β|β=?32°+k?360°，k∈Z}，則328°，?392°角都是S的元素，?32°角也是S的元素(此時k=0).因此，所有與?32°角終邊相同的角，連同?32°角在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與?32°角的終邊相同.所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合：S={β│β=α+k?360°，k∈Z}即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.如果角α與角β的終邊相同，則：α?β=k?360°，k∈Z.在直角坐標系中，角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)360°后回到原來的位置.因此，在直角坐標系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復始”的變化規(guī)律.設計意圖：通過思考，進一步理解象限角的概念，讓學生明確“銳角”“第一象限角”“小于的角”之間的關(guān)系，提高學生解決問題的能力，并讓學生觀察終邊相同的角之間的關(guān)系，提高學生的觀察、概括能力.任務3：象限角和軸線角的集合思考：請分別寫出象限角和軸線角的集合象限角角的集合表示第一象限角{x|k?360°<x<90°+k?360°，k∈Z}第二象限角{x|90°+k?360°<x<180°+k?360°，k∈Z}第三象限角{x|180°+k?360°<x<270°+k?360°，k∈Z}第四象限角{x|270°+k?360°<x<360°+k?360°，k∈Z}角α終邊的位置角α的集合表示在x軸的非負半軸上{α|α=k?360°，k∈Z}在x軸的非正半軸上{α|α=180°+k?360°，k∈Z}在y軸的非負半軸上{α|α=90°+k?360°，k∈Z}在y軸的非正半軸上{α|α=270°+k?360°，k∈Z}在x軸上{α|α=k?180°，k∈Z}在y軸上{α|α=90°+k?180°，k∈Z}在坐標軸上{α|α=k?90°，k∈Z}設計意圖：通過思考，讓學生觀察終邊相同的角之間的關(guān)系，提高學生的觀察、概括能力.（二）應用舉例例1：在0°~360°范圍內(nèi)，找出與?950°12′角終邊相同的角，并斷定它是第幾象限角.解：因為?950°12′=129°48′?3×360°，所以在0°~360°范圍內(nèi)與?950°12′角終邊相同的角是129°48′，它是第二象限角.設計意圖：通過例題的講解讓學生進一步理解象限角，提高學生解決與分析問題的能力.例2：寫出終邊在y軸上的角的集合.解：在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個，即因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2于是，終邊在y軸上的角的集合：S=S1={β|β=90°+2k?180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k?180°，k∈Z}={β|β=90°+2k?180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)?180°，k∈Z}={β|β=90°+n?180°，n∈Z}.設計意圖：通過例題的講解讓學生進一步理解終邊相同的角，提高學生解決與分析問題的能力.例3：寫出終邊在y=x上的角的集合S.S中滿足不等式?360°≤β≤720°的元素β有哪些？解：如圖，在直角坐標系中畫出直線y=x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°，在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=x上的角有兩個，45°，225°.因此，終邊在直線y=x上的角的集合：S中適合不等式?360°≤β≤720°的元素β有：45°?2×180°=?315°，45°?1×180°=?135°，45°+0×180°=45°，45°+1×180°=225°，45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°.總結(jié)：要表示終邊在某一位置的角，可以先表示出終邊在該位置的0°～360°間的一個角，然后再加上k·360°.設計意圖：通過例題的講解讓學生進一步理解終邊相同的角，提高學生解決與分析問題的能力.例4：如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OM上；(2)終邊落在直線OM上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)．解：(1)終邊落在射線OM上的角的集合為A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.(2)終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}，則終邊落在直線OM上的角的集合為A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，同理，得終邊落在直線ON上的角的集合為{β|β=60°+n·180°,n∈Z}，故終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.設計意圖：通過分析解題思路，給出解答示范，提升學生推理論證的能力，提高學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).課堂練習1.下列說法正確的是(

)A.第二象限角比第一象限角大

B.60°角與600?°角是終邊相同角

C.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角

D.2.終邊與坐標軸重合的角α的集合是(

)A.{α|α=k?360°,k∈Z} B.{α|α=90°+k?180°3.如果φ是第二象限角，那么φ2和90°?φ都不是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角4.終邊為一、三象限角平分線的角的集合是(

)A.{α|α=2kπ+π4,k∈Z} B.{α|α=kπ+π2,k∈Z}

C5.若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是(

)

A.30°<α<60°B.120°<α<180°

C.120°<α<210°D.120°+360°·k