一、單選題1.已知：，那么一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義，分析即可得答案.【詳解】要求命題的一個(gè)充分不必要條件，只需要的真子集即可，分析選項(xiàng)，只有C符合題意.故選：C2.設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算得解.【詳解】由題意可得或，故，由韋恩圖可知圖中表示的集合為，故選：B.3.下列命題是真命題的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】舉例說(shuō)明判斷ACD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷B.【詳解】對(duì)于A，取，滿足，而，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：B4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)運(yùn)算，判斷可得答案.【詳解】，，，又∵在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，所以.故選：B.5.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到方程，求出，從而，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意得且，解得，故，令得，則，所以的過(guò)定點(diǎn).故選：B6.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)有意義，結(jié)合抽象函數(shù)的定義列不等式式求出定義域.【詳解】由函數(shù)的定義域是及有意義，得，解得，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C7.《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖（1），用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖（3），設(shè)D為斜邊BC的中點(diǎn)，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形的對(duì)角線AE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，下列推理正確的是（）A.由題圖（1）和題圖（2）面積相等得B.由可得C.由可得D.由可得【答案】D【解析】【分析】利用圖（1）和圖（2）面積相等直接列式可判斷A；根據(jù)三角形相似比求（3）中正方形邊長(zhǎng)，然后可得，利用等面積可得，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，然后根據(jù)題意推導(dǎo)可判斷BCD.【詳解】A選項(xiàng)：由圖（1）和圖（2）面積相等可得，所以，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)椋?，得，設(shè)圖（3）中正方形邊長(zhǎng)為t，因?yàn)樾∪切危ㄇ啵┡c相識(shí)，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，整理得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)镈為斜邊BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，整理得，D正確.故選：D8.設(shè)符號(hào)表示中的最小者，已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別畫(huà)出的圖象，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)，結(jié)合圖象即可選出正確選項(xiàng).【詳解】解:如圖所示:由題意可得中，.中，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)，恒有，所以不正確，也不正確；中，從圖象上看，.令，則所以，即，故正確，不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查了分段函數(shù).本題關(guān)鍵是分別畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象.在畫(huà)的函數(shù)圖象時(shí)，一般地，先畫(huà)出的圖象，再將軸下方的圖象向上翻折即可.二、多選題9.下列命題中，是真命題的有（）A.有理數(shù)集可以表示為B.若（其中），則C.D.【答案】BC【解析】【分析】舉反例判斷A；根據(jù)集合相等求解判斷B；根據(jù)空集是任何集合的子集判斷C；根據(jù)數(shù)集關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，是有理數(shù)，而，A為假命題；對(duì)于B，由，得，則，B為真命題；對(duì)于C，方程的解為，集合是非空集合，則，C為真命題；對(duì)于D，，則，D為假命題.故選：BC10.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A.xy有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為5 D.有最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求出最值判斷AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判斷C；利用基本不等式等號(hào)成立的條件判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，因此不能取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：BC11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是B.類比上述推論，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)C.已知方程有實(shí)根，則D.已知函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，且與的圖象共有20個(gè)交點(diǎn)，記為，則的值為40【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，得到，故為奇函數(shù)，得到圖象的對(duì)稱中心是，A正確；B選項(xiàng)，類比上述推論，充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，的解中不包含，參變分離可得，由于，故，從而得到的取值范圍，C正確；D選項(xiàng)，變形換元得到為奇函數(shù)，故關(guān)于中心對(duì)稱，故20個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于中心對(duì)稱，分組求和得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，令，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故圖象的對(duì)稱中心是，A正確；B選項(xiàng)，類比上述推論，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，其中，故的解中不包含，參變分離可得，由于，故，所以，C正確；D選項(xiàng)，，，令，定義域?yàn)?，則，故為奇函數(shù)，故關(guān)于中心對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，故與的圖象的20個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于中心對(duì)稱，設(shè)關(guān)于對(duì)稱的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，故，則，D正確.故選：ACD三、填空題12.命題“，使成立”的否定命題是______.【答案】“，”【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式可得.【詳解】命題“，使成立”的否定命題是“，”故答案為：，13.《南京照相館》?《浪浪山小妖怪》?《長(zhǎng)安的荔枝》位列2025年暑期檔票房前三名.高一（1）班共有30名同學(xué)，有17人觀看了《南京照相館》，有11人觀看了《浪浪山小妖怪》，有14人觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》，有5人同時(shí)觀看了《南京照相館》和《浪浪山小妖怪》，有3人同時(shí)觀看了《南京照相館》和《長(zhǎng)安的荔枝》，沒(méi)有人同時(shí)觀看三部電影.只觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的有_________人.【答案】7【解析】【分析】用集合的觀點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)出相應(yīng)的圖，根據(jù)已知人數(shù)關(guān)系列方程求解同時(shí)觀看的人數(shù)，進(jìn)而可求只觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的人數(shù).【詳解】不妨將觀看了《南京照相館》?《浪浪山小妖怪》?《長(zhǎng)安的荔枝》的同學(xué)分別用集合表示，設(shè)同時(shí)觀看了《浪浪山小妖怪》和《長(zhǎng)安的荔枝》有人，根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖，在相應(yīng)的位置填上數(shù)字，則，解得，因此有4人同時(shí)觀看了《浪浪山小妖怪》和《長(zhǎng)安的荔枝》，所以只觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的有人.故答案為：.14.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類討論，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得，即，解得或，即在上有2個(gè)零點(diǎn)；若，，其圖象對(duì)稱軸為，函數(shù)的大致圖像如圖：則此時(shí)，即，則，即無(wú)解，則無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；故需，此時(shí)函數(shù)的大致圖像如圖：由得或，要使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，需滿足在上有一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)只有一個(gè)解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無(wú)交點(diǎn)，則需，解得，結(jié)合，可得，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解答時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，即作出函數(shù)的大致圖像，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，即可解決.四、解答題15.（1）已知：，求；（2）已知，試用表示.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先對(duì)進(jìn)行平方，得到的值，再進(jìn)行平方得到的值即可求出；（2）先利用換底公式再運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)即可求出.【詳解】（1）；；；；.（2）.16.設(shè)，已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)元素與集合的關(guān)系列不等式并化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)集合之間的關(guān)系列不等式，最后兩種情況取并集即可.【小問(wèn)1詳解】，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】若，則，解，得，集合，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，滿足，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖2所示的徽章圖案，其由三塊全等的矩形經(jīng)過(guò)如圖1所示的方式折疊后拼接而成.已知矩形的周長(zhǎng)為8cm，設(shè)其中較長(zhǎng)邊為，將沿向折疊，折過(guò)后交于點(diǎn).（1）用表示圖1中的面積：（2）現(xiàn)決定按此方案制作一枚徽章，要求將徽章六個(gè)直角（如圖2陰影部分）雙面鍍金（厚度忽略不計(jì)），已知鍍金的價(jià)格是2元/cm2，試求將這枚徽章鍍金所需的最大費(fèi)用.【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再結(jié)合面積公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉檩^長(zhǎng)邊，所以，即.設(shè)，則因?yàn)椋?，所以，所以，在中，由勾股定理得，即，解得，所以，所以的面積（單位：）【小問(wèn)2詳解】設(shè)一枚徽章的鍍金費(fèi)用為元，則,由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，,所以當(dāng)時(shí)，一枚徽章的鍍金部分所需的最大費(fèi)用為元.18.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求，的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），在上是減函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)和定義求，由單調(diào)性定義判斷單調(diào)性；（2）由函數(shù)單調(diào)性及奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為變量關(guān)系，分離參數(shù)并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【小問(wèn)1詳解】是定義在上的奇函數(shù)，，解得；，，，即對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，，故.，，在上是減函數(shù).證明：任取，且，則，，，，，，即，在上是減函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】不等式，，，是上的減函數(shù)，恒成立，由對(duì)恒成立，.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)，．（1）若對(duì)任意，不等式恒成立，求m的取值范圍；（2）若對(duì)任意，存在，使得，求m的取值范圍；（3）若，對(duì)任意，總存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)即可求m的取值范圍；（2）將題中條件轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域，再根據(jù)區(qū)間的兩端點(diǎn)的函數(shù)值可得到的對(duì)稱軸在區(qū)間之間，從而可得到，進(jìn)而可求得m的取值范圍；（3）將不等