注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再連涂其他答案標(biāo)號.在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線的傾斜角，再利用已知條件結(jié)合傾斜角的取值范圍求出的傾斜角．【詳解】直線，設(shè)直線斜率為，傾斜角為，，，直線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，又傾斜角的取值范圍為，直線的傾斜角為，故D正確．故選：D．2.已知等差數(shù)列滿足，則下列各式正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得：.故選：B.3.已知是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若.且，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，，將代入拋物線方程可得答案.【詳解】由題可得，如圖，做垂直于x軸，因，，則，，則，將代入，可得，則拋物線的方程為：.故選：C4.已知圓的圓心在軸上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓心到切點(diǎn)的斜率，進(jìn)而求出圓心，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】已知圓的圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓心到切點(diǎn)的連線斜率為，半徑為，則，解得，，解得，即圓心，圓心到切點(diǎn)的距離即為圓的半徑，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確．故選：A．5.已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)且滿足，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由題知，進(jìn)而在焦點(diǎn)三角形中結(jié)合余弦定理得，進(jìn)一步計(jì)算可知即可得答案.【詳解】由橢圓的方程得，由橢圓的定義知：，則故在中，因?yàn)椋矢鶕?jù)余弦定理知：，即，解得，所以所以，即，所以.故選：C6.已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是其漸近線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，是正三角形，則該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是正三角形及雙曲線的對稱性可得，從而可求，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)為，（其中，），因?yàn)椋?，由雙曲線的對稱性可得，故，故，故，而在第一象限的漸近線上，故，而，故，故，因此最終漸近線方程為：.故選：B.7.已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若為整數(shù)，則這樣的直線有（）條.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先分析直線的特征，再結(jié)合圓的性質(zhì)計(jì)算弦長（弦長，其中為圓的半徑，為圓心到直線的距離）的可能整數(shù)值，進(jìn)而確定直線的數(shù)量.【詳解】將直線的方程整理為：，令，解得，因此直線過定點(diǎn)，因?yàn)閳A：的圓心為，半徑，所以定點(diǎn)到圓心的距離為：（即點(diǎn)在圓內(nèi)），設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長公式：，由于直線過定點(diǎn)，則（點(diǎn)到直線的距離不超過點(diǎn)到定點(diǎn)的距離），因此：，代入弦長公式得：(時(shí)，；當(dāng)時(shí)，).因?yàn)闉檎麛?shù)，結(jié)合范圍，可能的整數(shù)值為、.當(dāng)時(shí)，(直線過圓心)，將代入直線的方程：，得，對應(yīng)1條直線；當(dāng)時(shí)，由弦長公式，解得，即，圓心到直線的距離，令其等于，平方后化簡得：，，，此方程判別式，有2個(gè)不同的實(shí)根，對應(yīng)2條直線.所以對應(yīng)1條，對應(yīng)2條，共條.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，，則下列判斷正確的是（）A.，使得 B.，使得C. D.，使得數(shù)列的最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式得，利用反證法推理判斷B；求出數(shù)列通項(xiàng)公式，確定的范圍判斷A；確定數(shù)列單調(diào)性判斷CD.【詳解】由，得，對于B，假定，使得，而，則，，于是，與矛盾，因此假定是錯的，即，B錯誤；，，而，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則，因此，，對于A，，則，對，A錯誤；對于CD，，而函數(shù)是減函數(shù)，又，則，即，，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，，且是數(shù)列的最小項(xiàng)，C正確，D錯誤.故選：C二、多項(xiàng)選擇題.本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為，為其前項(xiàng)和，則下列說法一定正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可判定A、B正確；結(jié)合特例法，可判定C、D不正確.【詳解】對于A，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，所以A正確；對于B，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，所以B正確；對于C，取，可得，而，所以C錯誤；對于D，取，可得，而，所以D錯誤.故選：AB.10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，不過原點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若直線過點(diǎn)，則的最小值為2B.若直線過點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，則直線的傾斜角為C.若，線段的中點(diǎn)為，則到軸的距離最小值是2D.若直線過點(diǎn)，則原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，由，可判定A錯誤；根據(jù)拋物線的焦半徑公式，求得，結(jié)合斜率和傾斜角的定義，可判定B正確；分析直線過拋物線的焦點(diǎn)和直線不過拋物線的焦點(diǎn)，兩種情況討論可求得到軸的距離，可判定C正確；根據(jù)拋物線的定義過點(diǎn)作，得到以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，可判定D正確.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，對于A，根據(jù)拋物線的定義，可得，則，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，所以，所以的最小值為，所以A錯誤；對于B,由拋物線的定義，可得，解得，則因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得，即，所以，設(shè)的傾斜角為，可得，所以，所以B正確；對于C，當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，則，可得，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以到軸距離為；當(dāng)直線不過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，可得，所以，解得因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，即到軸的距離大于，綜上可得，所以到軸的距離的最小值為，所以C正確；對于D，由直線過拋物線的焦點(diǎn)，過分別作，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，可得，且在過點(diǎn)作，垂足，可得，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以原點(diǎn)在以為直徑的圓的圓內(nèi)，所以D正確.故選：BCD.11.已知橢圓，是其左右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的最大值是4B.的最大值是4C.取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為D.若也在拋物線上，則到點(diǎn)的最小距離為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓及拋物線的定義，再結(jié)合基本不等式及柯西不等式可得.【詳解】由，得，即.如圖：對于A：由橢圓的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以A正確；對于B：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以B錯誤；對于C：由，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即代入，解得或，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故C正確；對于D：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線的定義，到點(diǎn)的距離等于P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.因?yàn)?，所以，得，所以到點(diǎn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即（負(fù)值舍去）時(shí)等號成立.故D正確.三、填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，是以1為公差，4為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_____【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，然后再根據(jù)和的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，因此.故答案為：13.已知與相交于點(diǎn)，則_____【答案】【解析】【分析】首先求兩圓相交弦所在的直線方程，再求弦長.【詳解】兩圓相減得直線的方程，圓心到直線距離，所以.故答案為：14.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，雙曲線在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)，使得直線的斜率，滿足，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_____【答案】【解析】【分析】設(shè).利用過兩點(diǎn)的斜率公式，及點(diǎn)在雙曲線上，變形化簡，得到，將其代入雙曲線方程得到，再根據(jù)及離心率公式計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)，則有，即，所以.由題意知，則.所以，即.將代入雙曲線方程可得，即因?yàn)?，所以，?由可得，所以離心率.所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：四、解答題.本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，（1）若直線的斜率為1，求線段的長度.（2）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直線方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，求出坐標(biāo)，進(jìn)而可求出線段的長度.（2）設(shè)，然后將其代入橢圓方程中，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線斜率，進(jìn)而求出其方程.【小問1詳解】若直線的斜率為1，那么該直線方程為，即.聯(lián)立直線與橢圓方程組得，解得.所以.所以.【小問2詳解】設(shè)，則滿足，兩式相減得，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，則有，所以直線的方程為，即，即.16.已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），.（2），.【解析】【分析】（1）設(shè)公差為，利用條件等式計(jì)算，分類討論的取值，驗(yàn)證再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）利用（1）的結(jié)論，分類討論的范圍，結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由，則或，若，則，此時(shí)，，滿足條件等式；若，則，此時(shí)，，不滿足條件等式，舍去；綜上，.【小問2詳解】由上可知，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，綜上，.17.如圖多邊形中，四邊形是矩形，，沿直線將進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置使得是正三角形.（1）求證：平面平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理確定，再結(jié)合，即可求證；（2）建系求得直線方向向量和平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槭钦切?，所以，又，所以，即，?為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，，又在平面內(nèi)，為平面，平面的交線，由（1）可知平面，連接，在平面內(nèi)，可知兩兩垂直，如圖建系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)，得，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值是.18.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，直線的斜率分別是，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出及該定值.若不存在說明理由.（3）若直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)使得.【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)使得為定值；（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合解方程即可得答案；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而根據(jù)代入整理得，此時(shí)，即時(shí)即為定值；（3）設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡整理得所以，解方程即可求得或，最后根據(jù)即可求得坐標(biāo).【小問1詳解】由題知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故焦點(diǎn)為，漸近線方程為因?yàn)槠潆x心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，又因?yàn)?，所以，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)辄c(diǎn)是直線上一點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，，為定值.所以，存在實(shí)數(shù)使得為定值；【小問3詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，所以，即，，，所以，即，整理得，即，解得或，滿足判別式.當(dāng)時(shí)，即，解得，，即；當(dāng)時(shí)，即，解得，，即.所以，當(dāng)點(diǎn)或時(shí)，.19.已知拋物線及點(diǎn)，直線過點(diǎn)且相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，過分別作拋物線切線，過兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，過兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn).（1）已知的軌跡是同一條直線，求直線的方程.（2）求線段的最小值.（3）求四邊形面積S的取值范圍.(注:（1）若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則過的拋物線的切線方程為（2）若點(diǎn)是拋物線外一點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則直線方程為)【答案】（1）；