（滿分150分，120分鐘完成）一、單選題（50分）1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【詳解】，，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是，故選D.2.方程表示橢圓，則n的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出參數(shù)范圍.【詳解】由于方程表示橢圓，所以，解得或．故選：B．3.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的判定條件進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時，兩直線方程為和，可見兩直線斜率相等，且兩直線不重合，所以兩直線平行，所以“”是“直線和直線平行”的充分條件；若直線和直線平行，若，則，解得.當(dāng)時，兩直線方程為和，斜率相等，平行；當(dāng)時，兩直線方程為和，斜率相等，平行；若，兩直線方程為和，兩直線垂直，不平行；所以若直線和直線平行，則或.綜上，“”是“直線和直線平行”的充分不必要條件.故選：A.4.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為：，將該漸近線與圓有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離小于或等于圓的半徑，列出相應(yīng)的關(guān)系式，求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由，得.記圓的圓心為，半徑為.設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為：，即.由題可知，，化簡得：.由，得.化簡，得，所以.雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B.5.設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，A是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化線段差為線段和，結(jié)合圖形及點(diǎn)到線的距離公式計算即可.【詳解】由，，設(shè)為該橢圓的右焦點(diǎn)，則，所以，于是，顯然當(dāng)，P，A三點(diǎn)共線，且PA與直線垂直時，有最小值，最小值為.故選：A．6.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與平面ACD1所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與平面所成角的向量求法求解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面ACD1的一個法向量為則，所以.令，則..所以直線與平面ACD1所成的角的正弦值是.故選：C.7.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程可得，結(jié)合橢圓定義可得，再利用余弦定理以及幾何性質(zhì)分析求解.【詳解】由橢圓方程可知：，即，因?yàn)?，且，可得，在中，，由橢圓性質(zhì)可知：，即四邊形為平行四邊形，所以.故選：A.8.直線l過點(diǎn)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為M則直線l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓中，作差化簡可得答案.【詳解】設(shè)

和

為直線與橢圓的交點(diǎn)，且

為

中點(diǎn)，因此：，點(diǎn)

和

滿足橢圓方程：，將方程(1)減去(2)：，因式分解：，代入中點(diǎn)坐標(biāo)：，得：，整理得：，因此，斜率

.故選：B9.已知雙曲線（，）的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，即可根據(jù)離心率求解.【詳解】由題意可得圖象如圖，是雙曲線的一條漸近線，即，，，，，則四邊形是梯形，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，所以，雙曲線的離心率為，可得，可得：，解得，則雙曲線的方程為．故選：C．10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則直線傾斜角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)的斜率公式求解直線的斜率，最后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求解傾斜角的正弦值即可.【詳解】已知拋物線，可得：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因此可得：準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限，由于，可得：直線的斜率為，即，又，聯(lián)立，得：，即，解得：或，當(dāng)時，，即，設(shè)直線的傾斜角為，則，由，且，又，得：.當(dāng)時，，即，則，同理可得：.綜上所述可得：則直線傾斜角的正弦值為.故選：A二、多選題（30分）11.已知圓，直線，，則（）A.B.與圓C相交C.若與圓C相交于A、B，則弦長的最大值為4D.與圓C相切，則【答案】ABD【解析】【分析】利用可判斷A；求得直線過定點(diǎn)，判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，進(jìn)而可判斷B；求得圓心到直線的最大距離，可求弦長判斷C；利用圓心到直線的距離等于半徑求得，進(jìn)而可判斷D.【詳解】∵，∴，故A正確．∵，∴過定點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)，∴與圓C相交，故B正確．∵圓心，，∴圓心C到的距離的最大值為，∴，∴，故C錯誤．∵圓心到的距離，若圓C與相切，則，即，，故D正確．故選：ABD．12.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，平面，為的中點(diǎn)，則（）A.B.異面直線與所成角的余弦值為C.D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可知A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法、向量模長的求解與點(diǎn)到平面距離的向量求法依次驗(yàn)證BCD選項即可.【詳解】對于A，，A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為，B正確；對于C，由B知：，，即，C錯誤；對于D，由B知：，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，D正確.故選：ABD.13.已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，P為拋物線C上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作：的一條切線，Q為切點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為B，則（）A.準(zhǔn)線l與圓A相切B.過點(diǎn)F，A的直線與拋物線C相交的弦長為5C.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，D.滿足的點(diǎn)P有且僅有2個【答案】BCD【解析】【分析】對于A，只需判斷圓的半徑是否等于1即可；對于B，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，焦點(diǎn)弦公式即可判斷；對于C，直接驗(yàn)算即可；對于D，聯(lián)立直線的垂直平分線方程與拋物線方程，判斷判別式是否大于0即可.【詳解】對于A，拋物線的準(zhǔn)線為，圓A的圓心在軸上，半徑，準(zhǔn)線l與圓A相離，A錯誤；對于B，直線的方程為，代入得，弦長為，B正確；對于C，中，令得，故，顯然⊥，由勾股定理得，所以，C正確；對于D，由拋物線的定義得，故滿足要求的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，其中直線的垂直平分線方程為，代入得，故點(diǎn)有且僅有2個，D正確．故選：BCD.14.截口曲線是由平面截取圓錐和圓柱時形成的交線，其形狀取決于截面與軸的夾角，當(dāng)夾角變化時可得到不同的截口曲線．如圖，在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為，現(xiàn)有一截面與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)M距離圓錐頂點(diǎn)S長度為2，則以下關(guān)于該截口曲線描述正確的命題有（）A.若該截面與圓錐的一條母線夾角為60°，則該曲線為圓B.若該截面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸夾角為60°，則該曲線的離心率為C.若該截面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸夾角為60°，則點(diǎn)M為該曲線的一個焦點(diǎn)D.若該截面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸夾角為60°，則該曲線上任意兩點(diǎn)之間的最大距離為3【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)截面與母線所成的角可知截面與旋轉(zhuǎn)軸垂直判斷A，根據(jù)截面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸夾角為60°可判斷曲線為橢圓，利用長軸的性質(zhì)判斷D，建立平面直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率判斷BC.【詳解】對于A，當(dāng)截面與圓錐一個軸截面的一條母線夾角為60°且與該軸截面的另一條母線平行線時，所以所得曲線是不是圓，A錯誤；對于BCD，根據(jù)圓錐曲線的概念可知截口曲線為橢圓，若該截面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸夾角為60°，則該截面與圓錐的一條母線垂直，設(shè)與截面垂直的母線垂足為A，平面SAM交橢圓曲線的另一交點(diǎn)為B，由對稱性知AB為該橢圓的長軸端點(diǎn)．如圖，在直角三角形SAB中，由，，，則有，，，，，所以該曲線上任意兩點(diǎn)之間的最大距離是長軸長，故D正確；再過M作平面垂直于旋轉(zhuǎn)軸，則可得該截面圓的半徑，在這個圓面內(nèi)作MP垂直于平面SAB，交橢圓于點(diǎn)P，則，如圖，在截面上取AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由MP垂直于平面SAB知MP垂直于x軸，則，設(shè)橢圓方程為，將代入得：，最后可得，由于，所以不是橢圓的焦點(diǎn)，故C錯誤；即橢圓離心率為，故B正確；故選：BD15.如圖，正方體中，為棱的中點(diǎn)，為平面上的動點(diǎn)，設(shè)直線與底面所成的角為，直線與底面所成的角為，平面與底面的夾角為，平面與底面的夾角為，則（）A.若，則點(diǎn)在圓上 B.若，則點(diǎn)在雙曲線上C.若，則點(diǎn)在拋物線上 D.若，則點(diǎn)在橢圓上【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義和可推導(dǎo)得到，建立平面直角坐標(biāo)系后，可整理得到點(diǎn)軌跡為圓，知A正確；由面面角定義和可推導(dǎo)得到，知B錯誤；由可推導(dǎo)得到，結(jié)合拋物線定義知C正確；由可推導(dǎo)得到，在平面直角坐標(biāo)系中求得動點(diǎn)軌跡后可知D正確.【詳解】對于A，平面，平面，，，，，又，，，在平面中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向可建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，由得：，整理可得：，點(diǎn)在圓上，A正確；對于B，作，垂足為，作交于點(diǎn)；作，垂足為，作交于點(diǎn)；平面平面，平面，平面與平面所成角即平面，平面與平面所成角，即，，，，又，，點(diǎn)在的平分線上，B錯誤；對于C，由AB知：，，又，，即在平面中，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，點(diǎn)在拋物線上，C正確；對于D，由AB知：，，又，，在選項A的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，則，，，，整理可得：，點(diǎn)在橢圓上，D正確.故選：ACD.三、填空題（20分）16.橢圓左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，，則___________．【答案】35【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可列得關(guān)于的方程，聯(lián)立可得.【詳解】由題可知，.所以，化簡得，所以.故答案：35.17.已知橢圓，直線，則橢圓C上的點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為______．【答案】【解析】【分析】方法一：當(dāng)過點(diǎn)P的直線與直線l平行且與橢圓相切時，點(diǎn)P到直線l的距離取得最小值；方法二：應(yīng)用三角換元設(shè)，再應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合三角函數(shù)值域計算求解最小值即可.【詳解】方法一：設(shè)，即，與橢圓C的方程聯(lián)立，得．，∴，當(dāng)時，點(diǎn)P到直線l的距離為，即橢圓C上的點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為．方法二：設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式∵，∴∴，∴．故答案為：.18.已知橢圓C：，，是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的動點(diǎn)，若內(nèi)切圓的面積為，則__________.【答案】##0.6【解析】【分析】設(shè).先求出內(nèi)切圓的半徑，并利用表示出的面積，在中，由余弦定理求出，并根據(jù)三角形面積公式列出等式，得到，結(jié)合求出即可.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則有，解得.由橢圓C：可知.設(shè)，在中，由余弦定理可知，即，即，即，所以.因?yàn)榈拿娣e，即，即，解得①.因?yàn)棰?，且，所以由①②解得，?故答案為：19.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，P，Q分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義及勾股定理，利用橢圓和雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓長半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，為兩曲線在第三象限的交點(diǎn)，如圖所示，由橢圓和雙曲線定義與對稱性知，，，，，則，，即，于是有，則，故答案為：.四、解答題20.已知四棱臺，底面四邊形為菱形，，且側(cè)棱平面.（1）證明：平面；（2）記，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）底面四邊形為菱形，，則為的中點(diǎn)，可得，從而得到平面；（2）取中點(diǎn)，可以得到以為原點(diǎn)，、、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，根據(jù)長度寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得到，從而得到，利用向量求出的坐標(biāo)，求出平面的法向量和，利用向量的數(shù)量積得到直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】，底面四邊形為菱形，，，則，設(shè)，連接，底面四邊形為菱形，為的中點(diǎn)，，，，平行四邊形，，平面，平面，平面；【小問2詳解】底面四邊形菱形，，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，，，平面，以為原點(diǎn)，、、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，解得，，則，，，，，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值.21.已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由可得與之間的關(guān)系，將代入雙曲線方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由此可得所求直線方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程可得韋達(dá)定理的形式，利用坐標(biāo)表示出，整理可得，由可化簡得到定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，由，可得：，即，將，代入雙曲線方程得，消去，解得：，又點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，，，，直線的方程為.（2）過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去整理得：，則，解得：，，，又，，，，，又，，即為定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示